2025年甘肅省蘭州市中考數(shù)學試題一、單選題(★)1.下列各數(shù)中，最小的數(shù)是（）

A．B．0C．1D．2(★)2.計算：（）

A．6B．C．D．1(★★)3.如圖是集熱板示意圖，集熱板與太陽光線垂直時，光能利用率最高．春分日蘭州正午太陽光線與水平面的夾角為．若光能利用率最高，則集熱板與水平面夾角度數(shù)是（）

A．B．C．D．(★★)4.如圖，在平面直角坐標系中，與位似，位似中心是原點O，已知，則的對應點的坐標是（）

A．B．C．D．(★★)5.圖1是通過平面圖形的鑲嵌所呈現(xiàn)的圖案，圖2是其局部放大示意圖，由正六邊形、正方形和正三角形構成，它的輪廓為正十二邊形，則圖2中的大小是（）

A．B．C．D．(★★)6.若關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則a的值可以是（）

A．3B．2C．1D．0(★★)7.若點與在反比例函數(shù)的圖象上，則與的大小關系是（）

A．B．C．D．(★★)8.現(xiàn)有甲、乙兩個不透明盒子，其中甲盒裝有分別寫著d，t，l的三張聲母卡片，乙盒裝有分別寫著a，e，i的三張韻母卡片（卡片除漢語拼音字母外，其余完全相同），若小明分別從甲、乙盒中隨機各抽取一張卡片，則兩張卡片剛好拼成“德”字讀音的概率是（）

A．B．C．D．(★★★)9.《九章算術》是中國傳統(tǒng)數(shù)學最重要的數(shù)學著作之一，“方程章”第11題大意是：兩匹馬一頭?？們r超過1萬，超過部分等于半匹馬的價格；一匹馬兩頭牛的總價不足1萬，不足部分等于半頭牛的價格，問一匹馬、一頭牛的價格分別是多少？若設一匹馬價格為x，一頭牛價格為y，則可列方程組為（）

A．B．C．D．(★★★)10.如圖，四邊形是矩形，對角線相交于點O，點E，F(xiàn)分別在邊上，連接交對角線于點P．若P為的中點，，則（）

A．B．C．D．(★★★)11.如圖，在正方形中，，對角線相交于點O，動點P從點O出發(fā)沿方向以的速度運動，同時點Q從點C出發(fā)沿方向以的速度運動，當點Q到達點D時，P，Q同時停止運動．若運動時間為x（s），的面積為，則點P分別在上運動時，y與x的函數(shù)關系分別是（）

A．均為一次函數(shù)B．一次函數(shù)，二次函數(shù)C．均為二次函數(shù)D．二次函數(shù)，一次函數(shù)二、填空題(★★)12.因式分解：__________．(★★)13.射箭運動項目中，新手成績通常不太穩(wěn)定．甲和乙同時進行12次射箭練習后，成績的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表，請根據(jù)表中信息估計新手是__________．（填寫“甲”或“乙”）

甲乙平均成績（單位：環(huán)）6.587.67方差6.910.72(★★★★)14.如圖，在菱形中，，垂足為E，交于點F，．若，則__________．(★★★)15.如圖，黃金矩形中，以寬為邊在其內部作正方形，得到四邊形是黃金矩形，依此作法，四邊形，四邊形也是黃金矩形．依次以點E，G，L為圓心作，，，曲線叫做“黃金螺線”．若，則“黃金螺線”的長為__________．（結果用表示）三、解答題(★★★)16.計算：．(★★★)17.解方程：．(★★)18.解不等式組：．(★★★)19.如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象相交于點，與x軸相交于點，與y軸相交于點C．(1)求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；(2)點P為y軸負半軸上一點，連接．若的面積為6，求點P的坐標．(★★★)20.天文學家運用三角函數(shù)解決了曾困擾古人數(shù)百年的難題．某天文研究小組探究用三角函數(shù)知識計算月球與地球之間距離的方法，通過查閱資料、實際觀測、獲得數(shù)據(jù)和計算數(shù)據(jù)，得出月球與地球之間的近似距離．具體研究方法與過程如下表：

問題月球與地球之間的距離約為多少？工具天文望遠鏡、天文經(jīng)緯儀等月球、地球的實物圖與平面示意圖說明為了便于觀測月球，在地球上先確定兩個觀測點A，B，以線段作為基準線，再借助天文經(jīng)緯儀從A，B兩點同時觀測月球P（將月球抽象為一個點），并測得和的度數(shù)．根據(jù)實際問題畫出平面示意圖（如上圖），過點P作于點H，連接，．數(shù)據(jù)萬千米，，．根據(jù)以上信息，求月球與地球之間的近似距離．（結果精確到1萬千米）（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）(★★★)21.綜合與實踐在學校項目化學習中，某研究小組開展主題為“生長素濃度對植物種子發(fā)芽率的影響”的研究．請你閱讀以下材料，解決“數(shù)學建?！敝械膯栴}．【研究背景】已知一定濃度的生長素既能促進種子發(fā)芽，也會因濃度過高抑制種子發(fā)芽．探索生長素使用的適宜濃度等最優(yōu)化問題，可以借助數(shù)學模型進行解決．【數(shù)據(jù)收集】研究小組選擇某類植物種子和生長素，以生長素濃度x（標準單位）為自變量，種子的發(fā)芽率y（%）為因變量，進行“生長素濃度對植物種子發(fā)芽率的影響”的實驗，獲得相關數(shù)據(jù)：

生長素濃度：x（標準單位）00.611.722.52.733.344.2發(fā)芽率y（%）35.0049.2856.0062.3763.0061.2559.5756.0051.1735.0029.12【數(shù)據(jù)分析】如圖，小組成員以表中各組對應值作為點的坐標，在平面直角坐標系中描出相應的點．說明：①當生長素濃度時，種子的發(fā)芽率為自然發(fā)芽率；②當發(fā)芽率大于等于零且小于自然發(fā)芽率時，該生長素抑制種子發(fā)芽；③當生長素抑制種子發(fā)芽，使得發(fā)芽率減小到0時，停止實驗．【數(shù)學建?！空埬憬Y合所學知識解決下列問題：(1)觀察上述各點的分布規(guī)律，判斷y關于x的函數(shù)類型，并求出該函數(shù)的表達式；(2)請計算抑制種子發(fā)芽時的生長素濃度范圍．(★★★)22.“三等分角”是兩千多年來數(shù)學史上最著名的古典四大問題之一，阿基米德等數(shù)學家通過巧妙的幾何作圖得到了解決“三等分角”問題的特例方法．某數(shù)學興趣小組通過折紙與尺規(guī)作圖相結合的方法探究“三等分銳角”問題的解法，解決過程如下：

操作步驟與演示圖形如圖①，已知一個由正方形紙片的邊PK與經(jīng)過頂點P的直線構成的銳角．按照以下步驟進行操作：解決問題（1）請依據(jù)操作步驟與演示圖形，通過尺規(guī)作圖完成以下兩個作圖任務：（保留作圖痕跡．不寫作法）

任務一：在圖③中，利用已給定的點作出點；

任務二：在圖⑥中作出折痕．

（2）若銳角為，則圖⑤中與相交所成的銳角是__________．任意折出一條水平折痕，與紙片左邊交點為Q；再折疊將PK與重合得到折痕，與紙片左邊交點為N，如圖②．→折疊使點Q，P分別落在和上，得到折痕m，對應點為，，m交于M，如圖③④．→保持紙片折疊，再沿MN折疊，得到折痕的一部分，如圖⑤．→將紙片展開，再沿折疊得到經(jīng)過點P的完整折痕，如圖⑥．→將紙片折疊使邊PK與重合，折痕為．則直線和就是銳角的三等分線，如用⑦⑧．(★★★)23.豌豆莢里有幾粒豆子不確定，那么豆子粒數(shù)是否有規(guī)律？同學們對這個問題很感興趣．為此，調查小組從一批豌豆莢中隨機抽取了若干個豌豆莢，進行豆子粒數(shù)的統(tǒng)計，以下是本次調查的過程．【收集數(shù)據(jù)】打開每個豌豆莢，數(shù)清其中的豆子（直徑大于3毫米）粒數(shù)，記錄數(shù)據(jù)．【整理數(shù)據(jù)】將收集的豆子粒數(shù)進行數(shù)據(jù)整理，用x表示每個豌豆莢中的豆子粒數(shù)，將數(shù)據(jù)分為5類：其中A類（），B類（），C類（），D類（），E類（）．【描述數(shù)據(jù)】根據(jù)整理的數(shù)據(jù)，繪制出如下統(tǒng)計圖．【分析數(shù)據(jù)】根據(jù)以上信息，解答下列問題：(1)本次調查活動中隨機抽取了__________個豌豆莢，圖中__________，__________；(2)所調查豆子粒數(shù)的中位數(shù)落在__________類中；（只填寫字母）(3)如果甲同學調查了20個豌豆莢，其中B類有7個，乙同學調查了10個豌豆莢，其中D類有3個．能否得到B類豌豆莢一定比D類豌豆莢多的規(guī)律？請說明理由．(★★★)24.如圖，是的外接圓，是的直徑，過點B的切線交的延長線于點D，連接并延長，交于點E，連接．(1)求證：；(2)若，，求的長．(★★★)25.【提出問題】數(shù)學討論課上，小明繪制圖1所示的圖形，正方形與正方形（），點E，G分別在上，根據(jù)圖形提出問題：如圖2，正方形繞點B順時針旋轉，旋轉角為，直線與相交于點H，連接，探究線段，，之間的數(shù)量關系．【解決問題】（1）小明將上述問題特殊化，如圖3，當點G，H重合時，請你寫出，，之間的數(shù)量關系，并說明理由；（2）小明借鑒（1）中特殊化的解題策略后，再解決圖2所示的一般化問題，當點G，H不重合時，請你寫出，，之間的數(shù)量關系，并說明理由；【拓展問題】（3）小明將圖2所示問題中的旋轉角的范圍再擴大，正方形繞點B順時針旋轉，旋轉角為，直線與相交于點H，連接，請直接寫出，，之間的數(shù)量關系．(★★★★)26.在平面直角坐標系中，對于圖上或內部有一點（不與原點重合），及平面內一點，給出如下