滬科版八年級數(shù)學(xué)上冊

第14章全等三角形本章復(fù)習(xí)課回顧與思考導(dǎo)入新課經(jīng)過本章內(nèi)容的學(xué)習(xí)，相信同學(xué)們對全等三角形的知識有了一定的認(rèn)識，這節(jié)課就一起來回顧本章所學(xué)的知識，反思所學(xué).高效課堂環(huán)節(jié)一：復(fù)習(xí)回顧高效課堂1.全等三角形(1)全等形：能夠完全重合的兩個圖形叫作全等形.(2)全等三角形：能夠完全重合的兩個三角形叫作全等三角形.高效課堂①把兩個全等的三角形重合到一起，重合的頂點叫作對應(yīng)頂點，重合的邊叫作對應(yīng)邊，重合的角叫作對應(yīng)角.用符號“≌”表示兩個三角形全等時，要把對應(yīng)頂點的字母寫在對應(yīng)位置上.兩個全等三角形的長邊與長邊，短邊與短邊分別是對應(yīng)邊，大角與大角，小角與小角分別是對應(yīng)角；有對頂角的，兩個對頂角一般是一對對應(yīng)角；有公共邊的，公共邊一般是對應(yīng)邊；有公共角的，公共角一般是對應(yīng)角.高效課堂②一個圖形經(jīng)過平移、旋轉(zhuǎn)、翻折變換后，前后兩個圖形全等.常見圖形如下：高效課堂2.全等三角形的判定全等三角形判定方法除定義外還有如下方法：(1)兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等.簡記為“邊角邊”或“SAS”.(2)有兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等.簡記為“角邊角”或“ASA”.(3)三邊分別相等的兩個三角形全等.簡記為“邊邊邊”或“SSS”.高效課堂(4)兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等.簡記為“角角邊”或“AAS”(5)判定兩直角三角形全等，除一般三角形判定方法外，還有如下定理：斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等.簡記為“斜邊、直角邊”或“HL”.高效課堂①兩個三角形全等，通常需要三個條件，這三個條件中至少需要一條邊對應(yīng)相等.“HL”只適合直角三角形，其他三角形不成立.②兩邊及其中一邊的對角分別相等的兩個三角形不一定全等.(SSA)三個角對應(yīng)相等的兩個三角形不一定全等.(AAA)③注意書寫格式，線段和角的位置不能錯.高效課堂3.全等三角形的性質(zhì)全等三角形的對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等.利用全等三角形的判定和性質(zhì)，還可得出全等三角形的其他性質(zhì)：全等三角形的對應(yīng)線段(中線、高、角平分線)相等、周長相等、面積相等.高效課堂環(huán)節(jié)二：例題解析例1

如圖，已知AC∥DF，且BE=CF.(1)請只添加一個條件，使△ABC≌△DEF，添加的條件是_____；(2)添加條件后，證明△ABC≌△DEF.由已知易證得BC=EF，∠ACB=∠F，因此要證△ABC≌△DEF，由SAS，需添加AC=DF；由ASA，需添加∠B=∠DEF；由AAS，需添加∠A=∠D；對于∠B=∠DEF，也可由AB∥DE得到.高效課堂(1)AC=DF(或AB∥DE，∠B=∠DEF，∠A=∠D)(2)∵BE=CF，(已知)∴BE+EC=CF+EC，(等式的性質(zhì))即BC=EF.∵AC∥DF，(已知)∴∠ACB=∠F.(兩直線平行，同位角相等)高效課堂①若添加的條件是AC=DF，證明如下：在△ABC和△DEF中，

BC=EF，(已證)∵∠ACB=∠F，(已證)

AC=DF，(已知)∴△ABC≌△DEF.(SAS)高效課堂②若添加的條件是∠B=∠DEF，證明如下：在△ABC和△DEF中，∠B=∠DEF，(已知)

BC=EF，(已證)∠ACB=∠F，(已證)∴△ABC≌△DEF.(ASA)高效課堂③若添加的條件是AB∥DE，證明如下：∵AB∥DE，(已知)∴∠B=∠DEF.(兩直線平行，同位角相等)在△ABC和△DEF中，∠B=∠DEF，(已證)

BC=EF，(已證)∠ACB=∠F，(已證)∴△ABC≌△DEF.(ASA)高效課堂④若添加的條件是∠A=∠D，證明如下：在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，(已證)∵∠ACB=∠F，(已證)

BC=EF，(已知)∴△ABC≌△DEF.(AAS)高效課堂(1)證明的步驟：①準(zhǔn)備條件：證全等時要用的條件要先證好；②指明范圍：寫出在哪兩個三角形中；③擺齊根據(jù)：用大括號括起來需要的判定條件；④寫出結(jié)論：寫出全等結(jié)論.高效課堂(2)全等三角形證明思路：①已知兩邊找夾角→SAS

找直角找另一邊→SSS兩邊為直角邊→SAS兩邊為直角邊和斜邊→HL高效課堂(2)全等三角形證明思路：②已知一邊一角邊為角的對邊邊為角的鄰邊找任一角→AAS若這個角是直角，找任意一條直角邊→HL找角的另一邊→SAS找邊的另一角→ASA找邊的對角→AAS高效課堂(2)全等三角形證明思路：③已知兩角找兩角的夾邊→ASA找兩角夾邊外的任一邊→AAS高效課堂例2

如圖，已知點D在AB邊上，點E在AC邊上，BE和CD相交于點O，AB=AC，∠B=∠C.求證：BD=CE.高效課堂在△AEB和△ADC中，∠A=∠A，(公共角)

AB=AC，(已知)∠B=∠C，(已知)∴△AEB≌△ADC，(ASA)∴AD=AE.(全等三角形的對應(yīng)邊相等)又∵AB=AC，(已知)∴AB-AD=AC-AE，(等式的性質(zhì))即BD=CE.高效課堂例3

如圖，AB=DC，AE=DF，CE=BF.求證：∠AFB=∠DEC.要證∠AFB=∠DEC，只需證△ABF≌△DCE

即可.但在△ABF和△DCE中，只有AB=DC，CE=BF，還缺∠B=∠C或AF=ED，要證∠B=∠C，只需證△ABE≌△DCF即可，這可由已知證得.高效課堂∵CE=BF，(已知)∴BF+EF=CE+EF，(等式的性質(zhì))即BE=CF.在△ABE和△DCF中，

AB=DC，(已知)

AE=DF，(已知)

BE=CF，(已證)∴△ABE≌△DCF，(SSS)∴∠B=∠C.在△ABF和△DCE中，

AB=DC，(已知)

∠B=∠C(已證)

BF=CE，(已知)∴△ABF≌△DCE，(SAS)∴∠AFB=∠DEC.(全等三角形的對應(yīng)角相等)高效課堂例4

四邊形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC.求證：AB=CD，AD=BC.要證AB=CD，AD=BC，連接BD，利用ASA證明△ABD≌△CDB即可.高效課堂連接BD，如圖.∵AB∥CD，(已知)∴∠DBA=∠BDC.同理，∠ADB=∠CBD.在△ABD和△CDB中，

∠ABD=∠CDB，(已證)

BD=DB，(公共邊)∠ADB=∠CBD，(已證)∴△ABD≌△CDB，(ASA)∴AB=CD，AD=BC.(全等三角形的對應(yīng)邊相等)高效課堂規(guī)律總結(jié)：(1)全等三角形是證明兩條線段或兩個角相等的重要方法之一，證明時要觀察待證的線段或角，在哪兩個可能全等的三角形中.看它們?nèi)鹊臈l件已有哪些，還缺什么；有時會用到等角轉(zhuǎn)換，等角轉(zhuǎn)換的途徑很多，如：余角、補角的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)等，必要時需添加輔助線.(2)在應(yīng)用全等三角形的性質(zhì)時，有時需要用到二次全等.高效課堂例5

如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經(jīng)過點C，且AD⊥MN于點D，BE⊥MN于點E.(1)當(dāng)直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時，求證：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE.圖1高效課堂例5

如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經(jīng)過點C，且AD⊥MN于點D，BE⊥MN于點E.(2)當(dāng)直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時，求證：DE=BE-AD.(3)當(dāng)直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時，試問DE，AD，BE具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出這個等量關(guān)系，并加以證明.圖2圖3高效課堂(1)AD⊥MN，BE⊥MN，又∠ACB=90°，在Rt△ADC和Rt△CEB中，直角對應(yīng)相等，斜邊對應(yīng)相等.又∠DAC與∠BCE都為∠ACD的余角，所以∠DAC與∠BCE相等，所以△ADC≌△CEB.進(jìn)一步可證得DE=AD+BE.(2)(3)問與(1)的證明思路類似，需先證明△ADC≌△CEB，再證明DE，AD，BE三條線段之間的數(shù)量關(guān)系.高效課堂(1)①∵AD⊥MN，BE⊥MN，(已知)∴∠ADC=∠BEC=90°.(垂直的定義)∵∠ACB=90°，(已知)∴∠CAD+∠ACD=∠BCE+∠ACD=90°.∴∠CAD=∠BCE.(同角的余角相等)在△ADC和△CEB中，∠ADC=∠CEB，(已證)∠CAD=∠BCE，(已證)

AC=CB，(已知)∴△ADC≌△CEB.(AAS)②∵△ADC≌△CEB，(已證)∴CE=AD，CD=BE.(全等三角形的對應(yīng)邊相等)∴DE=CE+CD=AD+BE.高效課堂(2)∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°，∴∠ACD=∠CBE.在△ACD和△CBE中，∠ADC=∠CEB，(已證)∵∠ACD=∠CBE，(已證)

AC=CB，(已知)∴△ACD≌△CBE.(AAS)∴CE=AD，CD=BE，(全等三角形的對應(yīng)邊相等)∴DE=CD-CE=BE-AD.(等量代換)高效課堂(3)當(dāng)MN旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時，AD，DE，BE滿足的數(shù)量關(guān)系為DE=AD-BE.∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°，∴∠ACD=∠CBE.在△ACD和△CBE中，∠ADC=∠CEB，(已證)∵∠ACD=∠CBE，(已證)

AC=CB，(已知)∴△ACD≌△CBE.(AAS)∴AD=CE，CD=BE.(全等三角形的對應(yīng)邊相等)∴DE=CE-CD=AD-BE.(等量代換)高效課堂規(guī)律總結(jié)：(1)在解這一類題時，當(dāng)條件發(fā)生變化時，原題的結(jié)論和解題思路中至少有一種成立.(2)圖1的結(jié)論可推廣到一般情況，即在圖1中，當(dāng)∠ADC=∠ACB=∠BEC，AC=BC時，有△ADC≌△CEB，這即是“一線三等角”問題.課堂評價1.如果△ABC與△DEF是全等三角形，那么下列說法正確的是().①它們的周長相等；②它們的面積相等；③它們的每個對應(yīng)角相等；④它們的每條對應(yīng)邊相等.A.①②③B.①②③④C.①②D.①B課堂評價2.如圖，△ABC≌△DCB，點A與點D、點B與點C是對應(yīng)點.如果BC=6cm，AC=5cm，AB=3