滬科版八年級數(shù)學(xué)上冊

第15章軸對稱圖形與等腰三角形

本章復(fù)習(xí)課回顧與思考導(dǎo)入新課經(jīng)過本章內(nèi)容的學(xué)習(xí)，相信同學(xué)們對軸對稱圖形與等腰三角形的知識有了一定的認(rèn)識，這節(jié)課就讓我們一起來回顧本章所學(xué)的知識，反思所學(xué).高效課堂環(huán)節(jié)一：復(fù)習(xí)回顧你能用知識結(jié)構(gòu)圖回顧本章學(xué)習(xí)的知識嗎?高效課堂知識點(diǎn)1：軸對稱1.軸對稱圖形軸對稱圖形：如果一個(gè)平面圖形沿著一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合，那么這個(gè)圖形叫作軸對稱圖形，這條直線叫作對稱軸.說明：判斷一個(gè)圖形是不是軸對稱圖形，可利用軸對稱圖形的定義，將圖形對折，看是否能夠完全重合，若能夠完全重合，則這個(gè)圖形是軸對稱圖形，否則這個(gè)圖形不是軸對稱圖形.高效課堂2.軸對稱(1)概念：把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么稱這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線(成軸)對稱，這條直線就是對稱軸.折疊后重合的兩點(diǎn)叫作對應(yīng)點(diǎn)(也叫對稱點(diǎn)).高效課堂(2)性質(zhì)：①如果兩個(gè)圖形關(guān)于某直線成軸對稱，那么對稱軸是任何一對對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線；成軸對稱的兩個(gè)圖形中，對應(yīng)點(diǎn)的連線被對稱軸垂直平分.②軸對稱圖形(或關(guān)于某條直線成軸對稱的兩個(gè)圖形)的對應(yīng)線段(對折后重合的線段)相等，對應(yīng)角(對折后重合的角)相等.高效課堂(3)軸對稱圖形與軸對稱的區(qū)別與聯(lián)系.高效課堂3.用坐標(biāo)表示軸對稱：在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(x，y)，則它關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為P1(x，-y)，它關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為P2(-x，y).高效課堂知識點(diǎn)2：線段的垂直平分線1.概念：經(jīng)過線段的中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線叫作這條線段的垂直平分線，又叫作線段的中垂線.2.性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.3.判定：到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上.說明：線段垂直平分線的性質(zhì)和判定是證明兩線段相等常用的方法之一.高效課堂知識點(diǎn)3：角的平分線1.性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.2.判定：角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.高效課堂1.等腰三角形：性質(zhì)：(1)等腰三角形的兩底角相等.簡稱“等邊對等角”.(2)等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線和底邊上的高重合.簡稱“三線合一”.判定：(1)兩邊相等的三角形是等腰三角形.(2)有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形.簡稱“等角對等邊”.知識點(diǎn)4：等腰三角形高效課堂說明：①“等邊對等角”和“等角對等邊”的區(qū)別：由三角形的兩邊相等得出它們所對的角相等是性質(zhì)；由三角形的兩角相等得出它是等腰三角形是判定.②“等角對等邊”是證明兩條線段相等方法之一，即若要證的兩條線段在同一個(gè)三角形中時(shí)，只需證明它們所對的角相等即可；“等邊對等角”是證明兩個(gè)角相等的方法之一，即若要證的兩個(gè)角在同一個(gè)三角形中時(shí)，只需證明它所對的邊相等即可.高效課堂2.等邊三角形：性質(zhì)：除具有等腰三角形性質(zhì)外，還有等邊三角形三個(gè)內(nèi)角相等，每一個(gè)內(nèi)角都等于60°.判定：(1)三邊相等的三角形是等邊三角形.(2)三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形.(3)有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形.高效課堂3.直角三角形：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.高效課堂知識點(diǎn)5：尺規(guī)作圖1.作線段的垂直平分線.2.作角平分線.3.過一點(diǎn)作已知直線的垂線高效課堂環(huán)節(jié)二：例題解析例1

在由邊長為1個(gè)單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中建立如圖的平面直角坐標(biāo)系，格點(diǎn)(兩線的交點(diǎn))A，B，C

的坐標(biāo)分別為(4，5)，(1，6)，(2，2).(1)畫出△ABC

關(guān)于y

軸對稱的△A1B1C1，并直接寫出點(diǎn)C1

的坐標(biāo)；(2)畫出將△ABC

先向左平移11個(gè)單位長度，再向下平移1個(gè)單位長度，得到的△A2B2C2，并直接寫出點(diǎn)C2

的坐標(biāo)；高效課堂(3)連接A1A2，選擇兩個(gè)格點(diǎn)，利用無刻度的直尺畫出線段A1A2的垂直平分線.(保留作圖痕跡)高效課堂解析：(1)先求出A，B，C

三點(diǎn)關(guān)于y

軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，再描出這些點(diǎn)，順次連接即可.(2)根據(jù)平移的性質(zhì)作圖，即可得出答案.(3)找到兩個(gè)格點(diǎn)，使它們到點(diǎn)A1，A2

的距離分別相等，連接這兩個(gè)格點(diǎn)即可.高效課堂(1)如圖，△A1B1C1

即為所求.由圖可得，點(diǎn)C1

的坐標(biāo)為(-2，2).(2)如圖，△A2B2C2

即為所求.由圖可得，點(diǎn)C2

的坐標(biāo)為(-9，1).(3)如圖，直線DE

即為所求.高效課堂例2

如圖，AB=CD，AC

與BD

的垂直平分線相交于點(diǎn)E.求證：∠ABE=∠CDE.解析由于出現(xiàn)了線段的垂直平分線，因此可連接AE，CE，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得出AE=CE，BE=DE，根據(jù)“SSS”證出△ABE≌△CDE

即可.高效課堂如圖，連接AE，CE.∵AC，BD

的垂直平分線相交于點(diǎn)E，∴AE=CE，BE=DE.在△ABE

和△CDE

中，∵所以△ABE≌△CDE.(SSS)∴∠ABE=∠CDE.

答案：高效課堂規(guī)律總結(jié)：如果已知線段的垂直平分線，一般需找出或作出輔助線，將它變成線段垂直平分線性質(zhì)定理的基本圖形，然后運(yùn)用線段垂直平分線的性質(zhì)進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算或證明.高效課堂例3

如圖，在△ABC

中，∠BAC=90°，AD⊥BC

于點(diǎn)D，BE平分∠ABC，交AD

于點(diǎn)F.求證：AE=AF.解析要證明AE=AF，只需說明△AEF

中的∠AEF=∠AFE

即可.由于題中出現(xiàn)的條件與角有關(guān)，因此可結(jié)合圖形，證明∠AFE=∠AEF.可利用外角性質(zhì)、角平分線的定義等證明.高效課堂∵∠BAC=90°，

AD⊥BC∴∠ABC+∠C=90°，∠ABC+∠BAD=90°，∴∠C=∠BAD.又∵BE

平分∠ABC，∴∠CBE=∠ABE.又∵∠AFE=∠BAD+∠ABE，∠AEF=∠CBE+∠C，∴∠AFE=∠AEF，∴AE=AF.答案：規(guī)律總結(jié)：利用等腰三角形的判定和性質(zhì)，可以證明兩個(gè)角相等或兩條線段相等.方法如下：如果所要證明相等的兩個(gè)角在同一個(gè)三角形中(或可轉(zhuǎn)換到同一個(gè)三角形)中，可利用“等邊對等角”來證明，這類問題常與線段的垂直平分線的性質(zhì)(或等腰三角形中的“三線合一”)聯(lián)系在一起；高效課堂如果所要證明相等的兩條線段是同一個(gè)三角形(或可轉(zhuǎn)換到同一個(gè)三角形)中的兩邊，可利用“等角對等邊”來證明.將證明線段相等的問題轉(zhuǎn)化為證明角相等的問題，這類問題常與全等三角形聯(lián)系在一起.另外，利用“三線合一”可以證明兩條線段垂直等.高效課堂高效課堂例4

如圖，△ABC

是等邊三角形，且∠1=∠2=∠3.求證：△DEF

是等邊三角形.解析由于題中出現(xiàn)了角相等，因此要證△DEF

是等邊三角形，可考慮用“三個(gè)角相等的三角形是等邊三角形”證明.結(jié)合△ABC

是等邊三角形，可考慮等邊三角形三個(gè)內(nèi)角都等于60°，利用三角形外角定理，求出△DEF

每個(gè)內(nèi)角都等于60°就可證得.高效課堂∵△ABC

是等邊三角形，∴∠ABC=∠ACB=∠CAB=60°.∵∠1=∠2=∠3，∴∠DFE=∠3+∠FAC=∠1+∠FAC=∠CAB=60°.同理∠DEF=∠EDF=60°.∴∠DEF=∠EDF=∠EFD，∴△DEF

是等邊三角形.答案：規(guī)律總結(jié)：判定等邊三角形可從以下幾個(gè)角度入手：(1)從邊入手：有三條邊相等的三角形是等邊三角形；(2)從角入手：三個(gè)內(nèi)角都相等的三角形是等邊三角形，或有兩個(gè)內(nèi)角等于60°的三角形是等邊三角形；(3)從邊及角入手：有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形；(4)從對稱性入手：有三條對稱軸的三角形是等邊三角形.高效課堂高效課堂例5

為美化市民生活環(huán)境，市政府決定在城郊外一塊長方形空地(如圖)建造一個(gè)花壇，現(xiàn)征集設(shè)計(jì)圖案，要求設(shè)計(jì)圖案是軸對稱圖形，請你設(shè)計(jì)出圖案(至少兩種).解析本題是一道開放性很強(qiáng)的試題，應(yīng)先作出長方形的對稱軸，充分利用軸對稱圖形的特征進(jìn)行設(shè)計(jì).答案不唯一，如圖所示是符合要求的兩種圖案.高效課堂課堂評價(jià)1.在△ABC中，∠A=60°，AB=AC，若△ABC的周長為12，則BC的長為().

A.3B.4C.8D.92.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡，下列結(jié)論不一定正確的是().

A.DE⊥ABB.AD=BD

C.DE=DCD.∠BDE=∠BACBB課堂評價(jià)60°3.如圖，△ABC與△DEF關(guān)于直線l對稱，若∠C=40°，∠B=80°，則∠D=

.課堂評價(jià)點(diǎn)撥連接BD(圖略)，由DE

是AB

的垂直平分線，得AD=BD，因此∠ABD=∠A=30°.結(jié)合∠C=90°，得∠DBC=30°，由直角三角形的性質(zhì)，得BD=2CD=4，所以AC=AD+CD=BD+CD=6.4.如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB的垂直平分線交AC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，若CD=2，則AC的長為

.6課堂評價(jià)5.如圖1，已知點(diǎn)D，E在△ABC的邊BC上，AB=AC，AD=AE.(1)求證：BE=CD；(2)若AD=BD=DE=CE，求∠BAE

的度數(shù).高效課堂(1)如圖2，過點(diǎn)A作AF⊥B