專題16利用導(dǎo)數(shù)研究雙變量問(wèn)題破解雙參數(shù)不等式的方法：一是轉(zhuǎn)化，即由已知條件入手，尋找雙參數(shù)滿足的關(guān)系式，并把含雙參數(shù)的不等式轉(zhuǎn)化為含單參數(shù)的不等式；二是巧構(gòu)函數(shù)，再借用導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求其最值；三是回歸雙參的不等式的證明，把所求的最值應(yīng)用到雙參不等式，即可證得結(jié)果.一、單選題1．已知若對(duì)于任意兩個(gè)不等的正實(shí)數(shù)、，都有恒成立，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【解析】不妨設(shè)，可得，可得，令，則，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，對(duì)任意的恒成立，所以，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，.故選：B.2．已知函數(shù)，若且滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【解析】由題意時(shí)，是減函數(shù)，且，時(shí)，是減函數(shù)，且，由且得，，，，，所以，，設(shè)，，時(shí)，，是增函數(shù)，所以，即，所以．故選：C．3．已知函數(shù)，且有兩個(gè)極值點(diǎn)，其中，則的最小值為（

）A． B． C． D．【解析】的定義域，，令，則必有兩根，，所以，，，，當(dāng)時(shí)，，遞減，所以的最小值為，故選：A.4．設(shè)函數(shù)，函數(shù)，若對(duì)于，，使成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【解析】若對(duì)于，，使成立，只需，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，所以在上是減函數(shù)，所以函數(shù)取得最小值．因?yàn)?，?dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，函數(shù)取得最小值，需，不成立；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，函數(shù)取得最小值，需，解得，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，函數(shù)取得最小值，需，解得或，此時(shí)無(wú)解；綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選:A．5．已知e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，若對(duì)任意，總存在唯一的，使得，成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【解析】設(shè)，，，，，時(shí)，，遞減，時(shí)，，遞增，∴，，，∴在上是減函數(shù)，∴，由題意，∴，即．故選：B．6．若函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)和，則取值范圍為（

）A．(-∞，] B．(-∞，) C．(，+∞) D．[，+∞)【解析】，由函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)和，得，∴.且，，∴，，令，，∵，，所以在(2，+∞)上遞減，，即，故選B.7．已知，且，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則下列選項(xiàng)中一定成立的是（

）A． B． C． D．【解析】因?yàn)?，所以，令，所以，?duì)函數(shù)求導(dǎo)：，

由有：，由有：，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，因?yàn)?，由有：，故A錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，由有：，故D錯(cuò)誤；因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，所以，故C正確；令有：=，當(dāng)，.所以在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，即，又，所以，因?yàn)椋?，因?yàn)樵趦?nèi)單調(diào)遞減，所以，即，故B錯(cuò)誤.故選：C.8．已知在函數(shù)，，若對(duì)，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【解析】由題意，，令，則，恒成立，即恒成立，即，令令，即在單調(diào)遞增；令，即在單調(diào)遞減.，令，令，即在單調(diào)遞增；令，即在單調(diào)遞減；，，故選：B9．已知函數(shù)，，曲線上總存在兩點(diǎn)，，使曲線在兩點(diǎn)處的切線互相平行，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【解析】由題得函數(shù)的導(dǎo)數(shù).由題意可得（，且）.即有，化為，而，∴，化為對(duì)都成立，令，，，對(duì)恒成立，即在遞增，∴，∴，∴，即的取值范圍是.故選：B.10．已知，其中a≠b，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【解析】令，則，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，而，不妨設(shè)，則；兩式相減，可得，則，，，∴；令,設(shè)，則；令，則，∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，故，則，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，故，即，∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，∴，即，即，故，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：C.11．已知函數(shù)，若有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【解析】當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，，綜上，對(duì).有兩個(gè)零點(diǎn)，即方程有兩個(gè)根，即方程有兩個(gè)根，不妨設(shè).易知函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.令..令，，令.時(shí)，；時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，.函數(shù)的值域?yàn)?，即的取值范圍?故選：.二、多選題12．已知函數(shù)和，若，則（

）A． B．C． D．【解析】由于和互為反函數(shù)，則和的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，將與聯(lián)立求得交點(diǎn)為，則，即，A正確．易知為單調(diào)遞增函數(shù)，因?yàn)?，，由零點(diǎn)存在性定理可知，B正確．易知為單調(diào)遞減函數(shù)，，，由零點(diǎn)存在性定理可知．因?yàn)?，令，則在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以，C錯(cuò)誤．因?yàn)?，，所以，所以．令，則，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，所以，即，整理得，D正確．故選：ABD13．已知函數(shù)，，若對(duì)任意的，均存在，使得，則a的取值可能是（

）A．0 B．2 C． D．1【解析】依題意有，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，又，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，（i）若，即，有在單調(diào)遞減，則，而，則在單調(diào)遞增，則，易知有，，符合題意；（ii）若，即，有f(x)在單調(diào)遞增，則，（1）若，則在單調(diào)遞增，則，有，只需，得；（2）若，則在單調(diào)遞減，則，有，不符合；（3）若，有，不符合；（iii）若，有，，而，則在單調(diào)遞增，則，又有，，符合題意；綜上可知.故選：BD．14．已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，則（

）A．a(chǎn)的取值范圍為（－∞，1） B．C． D．【解析】由題設(shè)，且定義域?yàn)?，則，當(dāng)時(shí)，則單調(diào)遞增，不可能存在兩個(gè)零點(diǎn)，即不可能存在兩個(gè)極值點(diǎn)，A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，即單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，即單調(diào)遞減，即，當(dāng)時(shí)，，所以至多有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，而，當(dāng)趨向于0時(shí)趨于負(fù)無(wú)窮大，當(dāng)趨向于正無(wú)窮時(shí)趨于負(fù)無(wú)窮大，綜上，，在內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn)，且，B：由且趨向于0時(shí)趨于負(fù)無(wú)窮大，所以，故，令，，又，所以單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，，又，所以，而，因此，故正確；C：，令，顯然有，令，顯然，因此有：，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，令，即，因?yàn)?，所以單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，而，所以，因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，因此有，即，正確；D：由，則，故，正確.故選：BCD15．已知為常數(shù)，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【解析】,令,由題意可得有兩個(gè)實(shí)數(shù)解；所以函數(shù)有且只有兩個(gè)零點(diǎn)；.①當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增,因此至多有一個(gè)零點(diǎn),不符合題意,應(yīng)舍去；②當(dāng)時(shí),令,解得,因?yàn)楫?dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),

,函數(shù)單調(diào)遞減,所以是函數(shù)的極大值點(diǎn),則>0,即>0,解得，故選項(xiàng)A正確；因?yàn)椋?，又因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，故選項(xiàng)C正確；又，所以，==，令，則，當(dāng)，，單調(diào)遞增，而，所以，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)（符合，此時(shí)仍有兩個(gè)極值點(diǎn)），此時(shí)，解得，所以，故正負(fù)不確定，因此選項(xiàng)B錯(cuò)誤；綜上所述，AC為正確答案；故選：AC.16．已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則（

）A．的取值范圍為 B．C． D．【解析】，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，函數(shù)至多有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值，最大值為：，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)至多有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，而，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn)，所以，因此選項(xiàng)A不正確；選項(xiàng)B：因?yàn)椋?，因此本選項(xiàng)正確；選項(xiàng)C：因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，所以，因此，構(gòu)造新函數(shù)，，因?yàn)?，所以單調(diào)遞減，因此當(dāng)時(shí)，，又因?yàn)?，所以，而，因此，所以本選項(xiàng)正確；選項(xiàng)D：，令，顯然有，令，顯然，因此有：，設(shè)，所以有，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，因?yàn)椋?，令，即，因?yàn)?，所以單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，而，所以，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，因此有，即，所以本選項(xiàng)說(shuō)法正確，故選：BCD三、填空題17．已知函數(shù)，若存在，使得，則的最小值為_(kāi)_________.【解析】當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，取得極小值為.當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，且，函數(shù)的圖像如圖：設(shè)，由題可知，由得，則，則，，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值為.18．已知，，若對(duì)，，使得成立，則a的取值范圍是______．【解析】因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，因?yàn)殚_(kāi)口方向向下，所以在區(qū)間上的最小值的端點(diǎn)處取得，所以要使對(duì)，，使得成立，只需，即或，即或，解得，所以a的取值范圍是，19．若函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)和，則取值范圍為_(kāi)___.【解析】令，則，由且，解得..令，，在區(qū)間上遞減，.所以取值范圍是.20．已知函數(shù)，，若對(duì)任意的，總存在，使得成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_____．【解析】因?yàn)楹瘮?shù)，，所以對(duì)任意的，總存在，使得成立，即為對(duì)任意的，總存在，成立，即為對(duì)任意的，總存在，成立，令，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以點(diǎn)時(shí)，函數(shù)取得最小值，所以存在，成立，即存在，成立，令，易知在上遞減，所以，所以，解得.故答案為：四、解答題21．已知函數(shù)．(1)若時(shí)，，求a的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，證明：．【解析】(1)∵，∴，即，設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞增，∴，滿足條件；當(dāng)時(shí)，令得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴，與已知矛盾．綜上，a的取值范圍是．(2)當(dāng)時(shí)，，則在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，不妨設(shè)，則，要證，只需證，∵在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴只需證．∵，∴只需證．設(shè)，則，∴在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴，∴，即成立，∴．22．已知函數(shù)，.(1)討論的單調(diào)性；(2)任取兩個(gè)正數(shù)，當(dāng)時(shí)，求證：.【解析】(1).當(dāng)時(shí)，，令，得；令，得.所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.當(dāng)，即時(shí)，令，得或；令，得.所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.當(dāng)，即時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞增.當(dāng)，即時(shí)，令，得或；令，得.所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；(2)證明：由題意得，.要證，只需證，即證，即證.令，所以只需證在上恒成立，即證在上恒成立.令，則，令，則.所以在上單調(diào)遞減，即在上單調(diào)遞減，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以.所以.23．已知函數(shù)（，）.(1)求函數(shù)的極值；(2)若函數(shù)的最小值為0，，（）為函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：.【解析】(1)（），，若時(shí)，則恒成立，在上單調(diào)遞增，故沒(méi)有極值；若，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，有極小值，極小值為，無(wú)極大值.(2)證明：由（1）可知，當(dāng)時(shí)，有最小值，，由函數(shù)的最小值為0，得，由題知，，，，，，，（），令，則，令，則在上單調(diào)遞增，又，在上，，，單調(diào)遞減，在上，，，單調(diào)遞增，，得證.24．設(shè)函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若有兩個(gè)零點(diǎn)，①求a的取值范圍；②證明：.【解析】(1)的定義域?yàn)?，且，?dāng)時(shí)，成立，所以在為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，①當(dāng)時(shí)，，所以在上為增函數(shù)，②當(dāng)時(shí)，，所以在上為減函數(shù)；綜上：當(dāng)時(shí)，在為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)，在上為增函數(shù)，(2)結(jié)合（1），當(dāng)時(shí)，取得極小值，又∵函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，∴，可得，綜上所述，；下面證明結(jié)論成立：不妨設(shè)，設(shè)，，可得，，∴在上單調(diào)遞增，∴，即，，，∴當(dāng)時(shí)，，又∵，，∴，又∵當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，∴，即，設(shè)，，則，兩式相比得，即，∴，又∵，令，則，令，則，則在內(nèi)單調(diào)遞減，即，即，故，故在上單調(diào)遞減，∴，∴，即；綜上所述，．25．已知函數(shù)(1)當(dāng)，研究的單調(diào)性；(2)令，若存在使得，求證.【解析】(1)，，在上單調(diào)遞增，且，所以時(shí)，，時(shí)，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；(2)，（），時(shí)，遞增，時(shí)，，遞減，時(shí)，，存在使得，則，令，，，令，則，在上單調(diào)遞增，，，，，.26．已知，，(1)若恒成立，求的最大值(2)若，是的兩個(gè)零點(diǎn)，且求證：【解析】(1)，，設(shè)，則恒成立恒成立，易知符合要求，下面考慮的情形，由，得時(shí)，；時(shí)，，因此，在區(qū)間上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，故的最小值為，由，得，解得，所以的最大值為.(2)由（1）知，，是的兩個(gè)零點(diǎn)，結(jié)合的單調(diào)性可知，，若，則顯然成立，若，設(shè)（），則，，所以，在區(qū)間上為增函數(shù)，因此有，因此，，，又，，且在區(qū)間上為減函數(shù)，所以，，即.綜上，.27．已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，且，若，求證：.【解析】(1)由題意可知，，當(dāng)時(shí)，，則在是單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，若，即時(shí)，若，即時(shí)，和時(shí)，時(shí)，，綜上，時(shí)，在是單調(diào)遞增；時(shí)，在和遞增，在遞減(2)由題意可設(shè)，是的兩個(gè)根，則（用分別表示出和），整理，得，此時(shí)設(shè)，求導(dǎo)得恒成立，在上單調(diào)遞減，28．設(shè)函數(shù)，.（1）求導(dǎo)數(shù)，并證明有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)?；（2）若不等式成立，求的取值范圍.【解析】（1）∵，∴.令得方程，因，故方程有兩個(gè)不同實(shí)根?，不妨設(shè)，由可判斷的符號(hào)如下：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.因此是極大值點(diǎn)，是極小值點(diǎn).（2）因，故得不等式.即.又由（1）知，.代入前面不等式，兩邊除以，并化簡(jiǎn)得.解不等式得或（舍去）.因此，當(dāng)時(shí)，不等式成立.29．已知函數(shù).(1)若關(guān)于的不等式恒成立，求的取值范圍；(2)若，是的兩個(gè)極值點(diǎn)，且，證明：.【解析】(1)因?yàn)楹愠闪?，所以，?令函數(shù)，則恒成立.令函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，，因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增，所以等價(jià)于，即恒成立，令函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，故的取值范圍是；(2)因?yàn)槭堑膬蓚€(gè)極值點(diǎn)，所以是方程的兩個(gè)根，令，則，有