專題05利用函數(shù)極值求參(取值范圍)一、單選題1．函數(shù)在處有極大值，則的值等于（

）A．0 B．6 C．3 D．2【解析】，因為在處有極大值，所以，解得，所以，故選：A2．已知f(x)＝x3＋(a－1)x2＋x＋1沒有極值，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A．[0，1] B．(－∞，0]∪[1，＋∞)C．[0，2] D．(－∞，0]∪[2，＋∞)【解析】由得，根據(jù)題意得，解得．故選：C3．若函數(shù)有兩個不同的極值點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【解析】∵有兩個不同的極值點，∴在有2個不同的零點，∴在有2個不同的零點，∴，解得．故選：D.4．若，是函數(shù)兩個相鄰的極值點，則（

）A．3 B． C． D．【解析】由題意得，是函數(shù)周期的一半，則，得．故選：B5．已知沒有極值，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【解析】；在上沒有極值，，即，解得：，即實數(shù)的取值范圍為.故選：C.6．設函數(shù)f(x)＝lnx＋在內(nèi)有極值，求實數(shù)a的取值范圍（

）A． B． C． D．【解析】由，因為函數(shù)f(x)＝lnx＋在內(nèi)有極值，所以在內(nèi)有解，即在內(nèi)有解，，設，當時，單調(diào)遞減，所以，要想方程在時有解，只需，故選：A7．已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1處的極值為10，則數(shù)對(a，b)為（

）A．(－3,3) B．(－11,4)C．(4，－11) D．(－3,3)或(4，－11)【解析】f′(x)＝3x2＋2ax＋b，依題意可得即解得或當時，f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，這時f(x)無極值，不合題意，所以數(shù)對為(4,-11)，選項C正確.故選：C.8．已知函數(shù)，若是的極小值點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【解析】由得，令，若，則，此時在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，這與是的極小值點矛盾，故舍去.若，可知是的極大值點，故不符合題意.若，，此時在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，可知是的極大值點，故不符合題意.當，，，此時在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，可知是的極小值點，符合題意.若，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，無極值，不符合題意，舍去.綜上可知：，故選：B9．若函數(shù)在R上有小于0的極值點，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【解析】由函數(shù)求導得：，因函數(shù)在R上有小于0的極值點，則有小于0的根，即當時，，而函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則當時，，于是得，經(jīng)驗證，當時，函數(shù)在R上有小于0的極值點，所以實數(shù)a的取值范圍是.故選：C10．已知函數(shù)在區(qū)間有且僅有2個極值點，則m的取值范圍是（

）A． B．C． D．【解析】由，，因為在區(qū)間有且僅有2個極值點，所以令，解得，因此有，故選：A11．已知函數(shù)有兩個極值點，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【解析】對原函數(shù)求導得，，因為函數(shù)有兩個極值點，所以有兩個不等實根，即有兩個不等實根，亦即有兩個不等實根.令，則可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，又因為當時，，當時，，所以，解得，即a的范圍是.故選：B12．已知函數(shù)在其定義域的一個子區(qū)間上有極值，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【解析】，令，即，解得，且，；，，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴有極大值，∴，∴，故選：A.13．已知函數(shù)在處取極小值，且的極大值為4，則（

）A．-1 B．2 C．-3 D．4【解析】，所以，因為函數(shù)在處取極小值，所以，，所以，，，令，得或，當時，，所以在單調(diào)遞增，當時，，所以在單調(diào)遞增，當時，，所以在單調(diào)遞增，所以在處有極大值為，解得，所以.故選：B14．已知為常數(shù)，函數(shù)有兩個極值點，其中一個極值點滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【解析】，由函數(shù)有兩個極值點，則等價于有兩個解，即與有兩個交點，所以.直線過點由在點處的切線為，顯然直線過點當時，直線與曲線交于不同兩點（如下圖），且，，令，則，所以單調(diào)遞增，，即，故選：D.15．已知函數(shù)有兩個極值點m，n，且，則的最大值為（

）A． B． C． D．【解析】由得：m，n是兩個根，由根與系數(shù)的關系得：，故，令記，則，故在上單調(diào)遞減.故選：C二、多選題16．已知函數(shù)，若函數(shù)在上有極值，則實數(shù)可以?。?/p>

）A．1 B．2 C．3 D．4【解析】由題意知，在上有變號零點，又易知在上單調(diào)遞增，故，可得，解得，故可取2，3.故選：BC.17．函數(shù)在處取得極大值，則a的值可以是（

）A．-1 B．0 C．3 D．4【解析】，.當時，令，，，，單調(diào)遞增，，，單調(diào)遞減，則在處取得極大值；當時，令，，.當時，，，單調(diào)遞增，在，，單調(diào)遞減，則在處取得極大值；當時，若，即時，在，，單調(diào)遞增，，，單調(diào)遞減，則在處取得極小值，不合題意，舍去；若，即時，恒成立，單調(diào)遞增，不合題意，舍去；若，即時，在，，單調(diào)遞增，，，單調(diào)遞減，則在處取得極大值；綜上所述：時，函數(shù)在處取得極大值.故選：AB.三、填空題18．已知函數(shù)在處取得極值，則a＝______.【解析】由知：.因為是的極值點，故19．若函數(shù)在區(qū)間上恰有一個極值點，則的取值范圍是___________.【解析】二次函數(shù)的對稱軸為：，要想函數(shù)在區(qū)間上恰有一個極值點，只需，故答案為：20．若函數(shù)在區(qū)間上有兩個極值點，則實數(shù)a的取值范圍是______．【解析】由題意，函數(shù)，可得，因為函數(shù)在區(qū)間上有兩個極值點，即在上有兩個不等的實數(shù)根，即在上有兩個不等的實數(shù)根，即函數(shù)和的圖象有兩個交點，又由，可得，當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減，所以，且當時，，當時，，所以，解得，即實數(shù)的取值范圍是.21．已知函數(shù)（）在處有極大值，則實數(shù)的值為______．【解析】，由題意得：，解得：或2，當時，由定義域可知：，恒成立，故不是極大值，不合題意，舍去；當時，由定義域可知：，，當時，，當時，，所以在處有極大值，滿足要求.故答案為：222．若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在極小值，則的取值范圍是___________.【解析】因為，則，令可得或，列表如下：增極大值減極小值增所以，函數(shù)的極小值點為，由題意可得，解得.故答案為：.23．函數(shù)在上存在極值點，則a的取值范圍是______．【解析】由，得，∴，函數(shù)單調(diào)遞減，，函數(shù)單調(diào)遞增，由函數(shù)在上存在極值點，可得，∴，∴實數(shù)a的取值范圍是．24．設函數(shù)，若是函數(shù)的一個極大值點，則實數(shù)b的取值范圍為__________．【解析】因為，所以，設，則，所以有兩個不相等的實根．于是可設，是的兩實根，且，①當或時，則不是的極值點，此時不合題意；②當且時，由于是的極大值點，故，即，即，所以，所以的取值范圍是．25．已知函數(shù)在上恰有一個極值，則___________.【解析】因為，所以.因為在上恰有一個極值，所以在上恰有一個變號零點，即函數(shù)上恰有一個變號零點.令，則.當時，；當時，.故在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.因為，，，所以的大致圖象如圖所示，因為函數(shù)在恰有一個變號零點，所以，此時函數(shù)在上恰有一個極值.26．若函數(shù)在處取得極小值，則實數(shù)m的取值范圍為______．【解析】記，則，當時，，所以函數(shù)在R上單調(diào)遞增．若，則；若，則，所以的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是，所以在處取得極小值，符合題意當時，，所以函數(shù)在R上單調(diào)遞減．若，則；若，則，所以的單調(diào)減區(qū)間是，單調(diào)增區(qū)間是，所以在處取得極大值，不符合題意當時，，使得，即，但當時，，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，不符合題意．綜上所述，實數(shù)m的取值范圍是．四、解答題27．已知定義在R上的函數(shù)，在處取得極值.(1)求的解析式；(2)討論在區(qū)間上的單調(diào)性.【解析】(1)∵函數(shù)f(x)在處取極值，∴.，∴，.∴，驗證：，可知是導數(shù)的變號零點，可知成立；(2).令=0，得，，x-3(-3，-1)-1(-1，2)2（2，3）3-0+0-f(x)45減-7增20減9∴函數(shù)f(x)在［-3，-1］和［2，3］上是減函數(shù)，函數(shù)f(x)在［-1，2］上是增函數(shù).28．已知函數(shù)(1)當，證明：；(2)若函數(shù)在上恰有一個極值，求a的值．【解析】(1)由題設且，則，所以在上遞增，則，得證.(2)由題設在有且僅有一個變號零點，所以在上有且僅有一個解，令，則，而，故時，時，時，所以在、上遞增，在上遞減，故極大值，極小值，，要使在上與有一個交點，則或或.經(jīng)驗證，或時對應零點不變號，而時對應零點為變號零點，所以.29．已知函數(shù)．(1)當時，證明：當時，；(2)若，函數(shù)在區(qū)間上存在極大值，求a的取值范圍．【解析】(1)由題意得，則，當時，，在上是減函數(shù)，∴，設，在上是增函數(shù)，∴，∴當時，．(2)，且，令，得或a，①當時，則，單調(diào)遞減，函數(shù)沒有極值；②當時，當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減，∴在取得極大值，在取得極小值，則；③當時，當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減，∴在取得極大值，在取得極小值，由得：，綜上，函數(shù)在區(qū)間上存在極大值時，a的取值范圍為．30．若函數(shù)，當時，函數(shù)取得極值.(1)求函數(shù)的解析式；(2)若方程有3個不同的實數(shù)根，求實數(shù)k的取值范圍.【解析】(1)對求導，得，由題意，得,解得,∴.(2)由（1）可得,令，得或,∴當時，；當時，；當時，.因此，當時，取得極大值；當時，取得極小值,函數(shù)的大致圖象圖如所示.:要使方程有3個不同的實數(shù)根，由圖可知，實數(shù)k的取值范圍是.31．已知函數(shù)（其中，…為自然對數(shù)的底數(shù)）(1)當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)當時，若是的兩極值點且，求實數(shù)a的取值范圍．【解析】(1)當時，，∵，∴當時，恒成立，∴在上單調(diào)遞增，無單調(diào)遞減區(qū)間；當時，令，即，∴，∴在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減．綜上，當時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，無單調(diào)遞減區(qū)間；當時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是．(2)①當時，有兩個極值點，所以在R上有兩個不等實數(shù)根，設，則，設，，∴在上單調(diào)遞增，又，∴時，∴在上單調(diào)遞增，同理在上單調(diào)遞減，∴，當，；當，；要使在R上有兩個不同的實根，則，即．所以當函數(shù)有兩個不相等的零點，即有兩個極值點和．∴若有兩個極值點，則·32．設函數(shù).(1)若曲線在點處的切線與軸平行，求；(2)若在處取得極大值，求的取值范圍.【解析】(1)定義域為R，.由題設知,即(1-a)e=0,解得：a=1此時f(1)=3e≠0.所以a的值為1(2)由(1)得.若時,則當時,;當時,，所以在上單減，在上單增，所以在x=2處取得極小值，不合題意，舍去；若時,則恒成立，所以在R上單增，所以在x=2處不能取得極值，不合題意，舍去；若時,則當時,;當時,，所以在上單增，在上單減，所以在x=2處取得極大值，符合題意；若時,則當時,;當時,，所以在上單增，在上單減，所以在x=2處取得極大值，符合題意；若時,則當時,;當時,，所以在上單減，在上單增，所以在x=2處取得極大值，符合題意.綜上所述：.即實數(shù)a的范圍為.33．已知函數(shù).(1)當時，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)設函數(shù)，若在上存在極值，求a的取值范圍.【解析】(1)當時，函數(shù)，其定義域為，可得，當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.(2)解：由，可得，設，則，令，即，解得，當時，；當時，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上，單調(diào)遞減，且，顯然，若在上存在極值，則滿足或，解得，綜上可得，當時，在上存在極值，所以實數(shù)的取值范圍為.34．已知函數(shù).(1)若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若存在兩個極小值點，求實數(shù)的取值范圍.【解析】(1)當時，函數(shù)，可得，令，可得，所以函數(shù)單調(diào)遞增，因為，所以，當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增，即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.(2)由函數(shù)，可得，令，可得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，當時，可得，所以，①當時，，此時當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增，所以函數(shù)的極小值為，無極大值；②當時，，又由在上單調(diào)遞增，所以在上有唯一的零點，且，因為當時，令，可得，又因為，所以，即，所以，所以，，因為在上單調(diào)遞減，所以在上有唯一的零點，且，所以當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增，所以函數(shù)有兩個極小值點，故實數(shù)的取值范圍為.35．已知函數(shù)，．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若有且只有一個極值點，求a的取值范圍．【解析】(1)由題意知：，當時，因為，所以在上恒成立，所以在上是減函數(shù)；當時，由得：，所以，所以在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù).(2)，，因為有且只有一個極值點，即圖象只穿過軸一次，即為單調(diào)減函數(shù)或者的極值同號；（i）為單調(diào)減函數(shù)，在上恒成立，則，解得；（ii）的極值同號時，設為極值點，則，有兩個不同的解，則，且有，所以，同理，所以，化簡得：，即；當，，，有且只有一個極值點.綜上：a的取值范圍是.36．已知函數(shù)，曲線在點處的切線斜率為0．(1)求b的值；(2)若函數(shù)的極大值為，證明：．【解析】(1)依題意，由題設知，解得．(2)的定義域為，由（1）知．①若，則當時；當時．故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．此時有唯一極值．令，解得與矛盾，故舍去；②若，則，當時；當時；當時．故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．此時有唯一極大值．令，解得與矛盾，故舍去；③若，則，當時，故在上單調(diào)遞增無極大值；④若，則，當時；當時，，當時．故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．此時有唯一極大值令，化簡得（*）令，則，記函數(shù)，，則在其定義域上恒成立，所以在其定義域上單調(diào)遞增，又因為，，所以在區(qū)間內(nèi)存在零點使得方程（*）成立．所以，所以.37．已知函數(shù)f(x)＝ax2＋xlnx－ex，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)．(1)求證：當時，函數(shù)f(x)是減函數(shù)；(2)若函數(shù)f(x)存在極值，求實數(shù)a的取值范圍．【解析】(1)，當時，，因為在上是減函數(shù)，且，所以時，時，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減所以，所以，所以函數(shù)f(x)在是減函數(shù)；(2)①當時，由（1），f(x)在是減函數(shù)，不存在極值；②當時，，易知在上是減函數(shù)，且在上圖象不間斷，因為，，，所以在上存在唯一零點，記為，則，即，且時，時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以時，，所以所以，所以函數(shù)在上是減函數(shù)，不存在極值.③當時，因為時，，且，所以結(jié)合在上是減函數(shù)，且在上圖象不間斷所以在上存在唯一零點，記為，則，與②同理又時，，且，所以，結(jié)合，得，又在上圖象不間斷所以在上存在唯一零點，記為，則結(jié)合在上是減函數(shù)，得極大值即時，函數(shù)存在極值.綜上，實數(shù)的取值范圍為.38．已知函數(shù)，，．(1)當時，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若，且的極大值大于0，求實數(shù)的取值范圍．【解析】(1)函數(shù)的定義域為，當時，，，①當時，在上，在上單調(diào)遞增．②當時，令，得，在上，，在上，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．綜上，當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為