一次函數(shù)應(yīng)用題專項(xiàng)訓(xùn)練及講解一次函數(shù)作為初中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容之一，不僅是代數(shù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，更在解決實(shí)際問題中有著廣泛的應(yīng)用。從行程問題到經(jīng)濟(jì)決策，從資源分配到工程計(jì)算，一次函數(shù)模型都能幫助我們清晰地梳理數(shù)量關(guān)系，找到最優(yōu)解決方案。然而，許多同學(xué)在面對這類應(yīng)用題時，常常感到無從下手，或是難以將文字信息準(zhǔn)確轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型。本文將結(jié)合實(shí)例，系統(tǒng)講解一次函數(shù)應(yīng)用題的解題思路與技巧，并輔以專項(xiàng)訓(xùn)練，幫助同學(xué)們攻克這一難關(guān)。一、解決一次函數(shù)應(yīng)用題的核心思路與步驟解決一次函數(shù)應(yīng)用題，關(guān)鍵在于“建模”——即從實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)關(guān)系，并用一次函數(shù)的形式表達(dá)出來。通常遵循以下步驟：1.仔細(xì)審題，明確題意：通讀題目，找出問題中的已知條件、未知量以及涉及的基本數(shù)量關(guān)系。特別注意關(guān)鍵詞，如“勻速”、“每增加（減少）”、“單價(jià)”、“總價(jià)”、“成本”、“利潤”等，這些往往是建立函數(shù)關(guān)系的突破口。2.抽象概括，建立模型：*確定變量：分辨哪個是自變量（通常設(shè)為x），哪個是因變量（通常設(shè)為y）。自變量是主動變化的量，因變量是隨著自變量的變化而變化的量。*尋找關(guān)系：分析題目中兩個變量之間的關(guān)系，判斷是否為線性關(guān)系（即是否符合y=kx+b的形式）。k值的符號和大小直接反映了變化的趨勢和快慢，b值則往往代表了初始狀態(tài)或固定成本。*列出函數(shù)解析式：根據(jù)題目給出的條件（如兩個點(diǎn)的坐標(biāo)、斜率與一個點(diǎn)、或者其他等量關(guān)系），求出k和b的值，從而確定一次函數(shù)的具體表達(dá)式。3.求解函數(shù)，得出結(jié)論：利用建立的一次函數(shù)模型，根據(jù)題目要求進(jìn)行計(jì)算或判斷。例如，已知自變量求因變量，已知因變量求自變量，或者比較不同函數(shù)模型的優(yōu)劣等。4.回歸實(shí)際，驗(yàn)證反思：將計(jì)算結(jié)果放回原問題情境中檢驗(yàn)其合理性。注意自變量的取值范圍（定義域），它往往受到實(shí)際問題的限制，如不能為負(fù)數(shù)、不能超過某個數(shù)量等。二、典型題型分類解析與專項(xiàng)訓(xùn)練（一）行程問題行程問題中，速度、時間、路程是基本量，它們之間的關(guān)系（路程=速度×?xí)r間）是構(gòu)建函數(shù)模型的基礎(chǔ)。當(dāng)速度為常量時，路程與時間成正比例關(guān)系（特殊的一次函數(shù)）；若涉及分段行駛、相遇、追及等情境，則可能需要分段考慮或構(gòu)建多個一次函數(shù)。例題解析：甲、乙兩地相距若干千米，一輛貨車從甲地勻速駛向乙地。若貨車的速度為每小時60千米，行駛了2小時后，距離乙地還有120千米。（1）求貨車行駛的路程y（千米）與行駛時間x（小時）之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍。（2）貨車從甲地到乙地一共需要多少小時？分析與解答：（1）首先，貨車已經(jīng)行駛了2小時，速度是60千米/小時，所以這2小時內(nèi)行駛的路程是60×2=120千米。此時距離乙地還有120千米，因此甲乙兩地相距120+120=240千米。題目要求的是行駛路程y與行駛時間x之間的關(guān)系。這里的x是指從甲地出發(fā)開始計(jì)算的總時間。當(dāng)x≤2時，貨車一直在行駛，y=60x。但題目給出的“行駛了2小時后，距離乙地還有120千米”是一個特定狀態(tài)，我們可以利用這個狀態(tài)來建立更普適的關(guān)系，或者理解為這是對整個行駛過程的一個描述。實(shí)際上，對于從甲地出發(fā)的整個過程，貨車的速度是60千米/小時，所以路程y與時間x的關(guān)系就是y=60x。但我們需要驗(yàn)證當(dāng)x=2時，y是否為120千米（即已行駛路程），60×2=120，正確。此時距離乙地____=120千米，與題目條件吻合。那么，貨車從甲地到乙地總共要行駛240千米，所以總時間x_max=240÷60=4小時。因此，自變量x的取值范圍是0≤x≤4。所以，函數(shù)關(guān)系式為：y=60x(0≤x≤4)。（2）由（1）可知，總路程為240千米，速度60千米/小時，所以總時間為240÷60=4小時?；蛘?，當(dāng)貨車到達(dá)乙地時，y=240，代入y=60x，得x=4。答：貨車從甲地到乙地一共需要4小時。專項(xiàng)訓(xùn)練1：一輛客車從A站出發(fā)，勻速行駛前往B站。出發(fā)1小時后，一輛轎車也從A站出發(fā)，以更快的速度勻速追趕客車。已知客車的速度為每小時50千米，轎車的速度為每小時75千米。（1）分別寫出客車離開A站的路程y?（千米）與客車行駛時間t（小時）之間的函數(shù)關(guān)系式，以及轎車離開A站的路程y?（千米）與客車行駛時間t（小時）之間的函數(shù)關(guān)系式（轎車行駛時間為t-1小時）。（2）轎車出發(fā)后經(jīng)過多少小時追上客車？此時距離A站多遠(yuǎn)？（二）經(jīng)濟(jì)利潤問題經(jīng)濟(jì)利潤問題涉及成本、售價(jià)、銷量、利潤等要素。常見的模型有：總利潤=（單價(jià)-成本）×銷量；總成本=固定成本+單位變動成本×產(chǎn)量等。當(dāng)單價(jià)或成本為常量時，利潤、總成本等與銷量或產(chǎn)量往往構(gòu)成一次函數(shù)關(guān)系。例題解析：某商店銷售一種文具，每件的進(jìn)價(jià)為10元。經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該文具每天的銷售量y（件）與每件的售價(jià)x（元）滿足一次函數(shù)關(guān)系：y=-10x+200（10≤x≤20）。（1）求該商店每天銷售這種文具的利潤w（元）與每件售價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式。（2）當(dāng)每件售價(jià)定為多少元時，每天的利潤最大？最大利潤是多少？分析與解答：（1）利潤w等于每件的利潤乘以銷售量。每件的利潤為（x-10）元，銷售量y=-10x+200。所以，w=(x-10)y=(x-10)(-10x+200)。展開并化簡：w=-10x2+200x+100x-2000=-10x2+300x-2000。（注意：這里得到的是一個二次函數(shù)，因?yàn)槭蹆r(jià)x同時影響了單件利潤和銷售量。雖然題目給出的y是x的一次函數(shù)，但w是x的二次函數(shù)。這提醒我們要仔細(xì)分析變量關(guān)系。）但題目要求的是w與x之間的函數(shù)關(guān)系式，上述即為所求，自變量x的取值范圍已給出：10≤x≤20。（2）對于二次函數(shù)w=-10x2+300x-2000，a=-10<0，拋物線開口向下，在對稱軸處取得最大值。對稱軸x=-b/(2a)=-300/(2×(-10))=15。15在x的取值范圍內(nèi)。將x=15代入w的表達(dá)式：w=-10×(15)2+300×15-2000=-10×225+4500-2000=-2250+4500-2000=250。答：當(dāng)每件售價(jià)定為15元時，每天的利潤最大，最大利潤是250元。專項(xiàng)訓(xùn)練2：某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的出廠價(jià)為50元，其成本價(jià)為25元。因?yàn)樵谏a(chǎn)過程中，平均每生產(chǎn)一件產(chǎn)品有0.5立方米的污水排出，所以為了凈化環(huán)境，工廠設(shè)計(jì)了兩種污水處理方案：方案一：工廠自己處理污水，每處理1立方米污水所用的原料費(fèi)為2元，并且每月排污設(shè)備損耗為____元。方案二：工廠將污水排到污水處理廠統(tǒng)一處理，每處理1立方米污水需付14元的排污費(fèi)。設(shè)工廠每月生產(chǎn)x件產(chǎn)品，每月利潤為y元。（1）分別求出按方案一和方案二處理污水時，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式（利潤=總收入-總支出）。（2）若工廠每月生產(chǎn)6000件產(chǎn)品，選擇哪種方案更合算？（三）方案選擇問題方案選擇問題通常會給出兩種或多種不同的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)或優(yōu)惠方案，要求根據(jù)某個變量（如數(shù)量、時間）的變化，判斷哪種方案更優(yōu)。解決此類問題，需要分別列出不同方案的函數(shù)關(guān)系式，然后通過比較函數(shù)值的大小來確定最優(yōu)方案。例題解析：某通訊公司推出兩種手機(jī)流量套餐：套餐A：月租費(fèi)20元，含100MB流量，超出部分按0.3元/MB收費(fèi)。套餐B：月租費(fèi)0元，按0.5元/MB收費(fèi)。設(shè)每月使用流量xMB，分別寫出兩種套餐的費(fèi)用y_A（元）、y_B（元）與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并說明當(dāng)每月使用多少流量時，選擇套餐A更合算？分析與解答：套餐A的費(fèi)用需要分情況討論：當(dāng)0≤x≤100時，費(fèi)用僅為月租費(fèi)20元，即y_A=20。當(dāng)x>100時，費(fèi)用為月租費(fèi)加上超出部分的費(fèi)用，超出部分為(x-100)MB，所以y_A=20+0.3(x-100)=20+0.3x-30=0.3x-10。綜上，y_A={20,0≤x≤100,0.3x-10,x>100.}套餐B沒有月租費(fèi)，按實(shí)際使用流量收費(fèi)，所以y_B=0.5x(x≥0)。要判斷選擇套餐A更合算，即y_A<y_B。分情況討論：1.當(dāng)0≤x≤100時：y_A=20，y_B=0.5x。令20<0.5x，解得x>40。結(jié)合此時x的范圍，可得40<x≤100時，套餐A合算。2.當(dāng)x>100時：y_A=0.3x-10，y_B=0.5x。令0.3x-10<0.5x，移項(xiàng)得：-10<0.5x-0.3x，-10<0.2x，解得x>-50。因?yàn)閤>100，所以此不等式恒成立。即當(dāng)x>100時，套餐A的費(fèi)用始終低于套餐B。綜合1、2兩種情況，當(dāng)x>40時，選擇套餐A更合算。答：當(dāng)每月使用流量超過40MB時，選擇套餐A更合算。專項(xiàng)訓(xùn)練3：某單位要印制一批宣傳資料，現(xiàn)有兩家印刷廠可供選擇。甲印刷廠：每份資料收0.8元印刷費(fèi)，另收1000元制版費(fèi)。乙印刷廠：每份資料收1.2元印刷費(fèi)，不收制版費(fèi)。設(shè)該單位需印制x份宣傳資料，費(fèi)用為y元。（1）分別寫出選擇甲、乙印刷廠時，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式。（2）根據(jù)印制數(shù)量，該單位選擇哪家印刷廠更省錢？三、總結(jié)與提升一次函數(shù)應(yīng)用題的求解，首要在于對實(shí)際問題的透徹理解和數(shù)學(xué)化轉(zhuǎn)化。同學(xué)們在訓(xùn)練時，應(yīng)著重培養(yǎng)以下能力：1.閱讀理解能力：耐心閱讀題目，抓住關(guān)鍵信息，明確已知什么、求什么。2.抽象建模能力：將文字描述轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號和關(guān)系式，準(zhǔn)確識別出一次函數(shù)關(guān)系中的k（變化率）和b（初始值或固定量）。3.運(yùn)算求解能力：熟練掌握一次函數(shù)的表達(dá)式求解、函數(shù)值計(jì)算、以及利用方程（組）或不等式解決比較、優(yōu)化等問題。4.反思驗(yàn)證能力：解出結(jié)果后，務(wù)必代入原題情境中檢查是否合理，尤其注意自變量的取值范圍對結(jié)果的限制。在專項(xiàng)訓(xùn)練中，要注意總結(jié)各類題型的共性與差異，歸納解題技巧。例如，對于分段函數(shù)問題，關(guān)鍵在于找到分段點(diǎn)，并分別建立函數(shù)模型；對于方案選擇問題，通常是先列出各方案的函數(shù)關(guān)系式，然后通過解方程或不等式找到臨界點(diǎn)，再根據(jù)自變量的取值范圍進(jìn)行判斷。最后，勤加練習(xí)是提升解題能力的不二法門。希望同學(xué)們通過本文的講解和訓(xùn)練，能夠舉一反三，熟練掌握一次函數(shù)應(yīng)用題的解題方法，在考試中取得優(yōu)異成績。---【專項(xiàng)訓(xùn)練參考答案與提示】訓(xùn)練1：（1）客車：y?=50t(t≥0)；轎車晚出發(fā)1小時，其行駛時間為(t-1)小時，所以y?=75(t-1)=75t-75(t≥1)。（2）轎車追上客車時，y?=y?，即50t=75t-75，解得t=3。轎車出發(fā)時間為t-1=2小時。此時距離A站y?=50×3=150千米。答：轎車出發(fā)后經(jīng)過2小時追上客車，此時距離A站150千米。訓(xùn)練2：（1）方案一：利潤=總收入-成本-污水處理費(fèi)-設(shè)備損耗。總收入=50x，成本=25x，污水處理費(fèi)=0.5x×2=x，設(shè)備損耗=____。所以y?=50x-25x-x-____=24x-____。方案二：利潤=總收入-成本-排污費(fèi)。排污費(fèi)=0.5x×14=7x。所以y?=50x-25x-7x=18x。（x≥0，且x為正整數(shù)）（2）當(dāng)x=6000時，y?=