【一輪復(fù)習(xí)講義】2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)題型歸納與方法總結(jié)（新高考通用）第28講等差數(shù)列（精講）題型目錄一覽①等差數(shù)列基本量的計算②等差數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用③等差數(shù)列的前n項和④等差數(shù)列中中與的關(guān)系⑤等差數(shù)列中的函數(shù)特性⑥等差數(shù)列的判定與證明一、知識點(diǎn)梳理一、知識點(diǎn)梳理一、等差數(shù)列的有關(guān)概念1.等差數(shù)列的定義一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母表示，定義表達(dá)式為（常數(shù)）．2.等差中項的概念若三個數(shù)，，成等差數(shù)列，則叫做與的等差中項，且有．二、等差數(shù)列的有關(guān)公式1.等差數(shù)列的通項公式如果等差數(shù)列的首項為，公差為，那么它的通項公式是．2.等差數(shù)列的前項和公式設(shè)等差數(shù)列的公差為，其前項和．三、等差數(shù)列的常用性質(zhì)已知為等差數(shù)列，為公差，為該數(shù)列的前項和．1.通項公式的推廣：．2.在等差數(shù)列中，當(dāng)時，．3.，…仍是等差數(shù)列，公差為．4.，…也成等差數(shù)列，公差為．5.若，是等差數(shù)列，則也是等差數(shù)列．四、等差數(shù)列的前n項和公式與函數(shù)的關(guān)系．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列?（為常數(shù)）．【常用結(jié)論】1.等差數(shù)列中，若，則．2.等差數(shù)列中，若，則．3.等差數(shù)列中，若，則．4.若與為等差數(shù)列，且前項和為與，則．二、題型分類精講二、題型分類精講題型一等差數(shù)列基本量的計算策略方法解決等差數(shù)列運(yùn)算問題的思想方法(1)方程思想：等差數(shù)列的基本量為首項a1和公差d，通常利用已知條件及通項公式或前n項和公式列方程(組)求解，等差數(shù)列中包含a1，d，n，an，Sn五個量，可“知三求二”．(2)整體思想：當(dāng)所給條件只有一個時，可將已知和所求都用a1，d表示，尋求兩者間的聯(lián)系，整體代換即可求解．(3)利用性質(zhì)：運(yùn)用等差數(shù)列性質(zhì)可以化繁為簡、優(yōu)化解題過程．【典例1】在等差數(shù)列中，，，則201是數(shù)列的第幾項（

）A．59 B．60 C．61 D．62【典例2】在等差數(shù)列中，，，則的值為（

）A．2 B．6 C．8 D．12【題型訓(xùn)練】一、單選題1．（2023·福建福州·福建省福州第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知為等差數(shù)列，，則（

）A．1 B．2 C．3 D．42．（2023·江西贛州·統(tǒng)考二模）等差數(shù)列滿足，，則（

）A．5 B．7 C．9 D．113．（2023·廣東廣州·廣州市從化區(qū)從化中學(xué)校考模擬預(yù)測）在等差數(shù)列中，，，則=（

）A．9 B．11 C．13 D．154．（2023·廣西·統(tǒng)考模擬預(yù)測）設(shè)為等差數(shù)列，若，則公差（

）A．－2 B．－1 C．1 D．25．（2023·四川涼山·三模）在等差數(shù)列中，，，則（

）．A．3 B．5 C．7 D．96．（2023·西藏日喀則·統(tǒng)考一模）中國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有一道題：“今有七人差等均錢，甲乙均五十八文，戊己庚均六十文，問乙丁各若干？”，意思是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚這七個人，所分到的錢數(shù)成等差數(shù)列，甲、乙兩人共分到58文，戊、己、庚三人共分到60文，問乙、丁兩人各分到多少文錢？則下列說法正確的是（）A．乙分到28文，丁分到24文 B．乙分到30文，丁分到26文C．乙分到24文，丁分到28文 D．乙分到26文，丁分到30文7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）等差數(shù)列滿足，則（

）A． B． C． D．8．（2023·陜西咸陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列滿足，則的前20項和（

）A．200 B．300 C．210 D．320二、填空題9．（2023·甘肅白銀·甘肅省靖遠(yuǎn)縣第一中學(xué)校聯(lián)考二模）在等差數(shù)列中，，，則的公差是．10．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列的公差為，且滿足，，則數(shù)列的通項公式．11．（2023春·上海寶山·高三上海交大附中?？计谥校┑炔顢?shù)列中，，則的值是.12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列中，，若，則．13．（2023·上海普陀·上海市宜川中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知數(shù)列滿足：，若為等差數(shù)列，則通項公式為．14．（2023·湖北襄陽·襄陽四中?？寄M預(yù)測）已知等差數(shù)列中，，若在數(shù)列每相鄰兩項之間插入三個數(shù)，使得新數(shù)列也是一個等差數(shù)列，則新數(shù)列的第43項為.題型二等差數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用策略方法利用等差數(shù)列的性質(zhì)解題的兩個關(guān)注點(diǎn)(1)兩項和的轉(zhuǎn)換是最常用的性質(zhì)，利用2am＝am－n＋am＋n可實現(xiàn)項的合并與拆分，在Sn＝eq\f(na1＋an,2)中，Sn與a1＋an可相互轉(zhuǎn)化．(2)利用Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差數(shù)列，可求S2m或S3m．【典例1】已知等差數(shù)列中，，則（

）A．30 B．40 C．50 D．45【典例2】已知和的等差中項是，和的等差中項是，則和的等差中項是A． B． C． D．【題型訓(xùn)練】一、單選題1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列是等差數(shù)列，若，則等于（

）A．7 B．14 C．21 D．7(n-1)2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如果等差數(shù)列中，，那么（

）A．14 B．12 C．28 D．363．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列中，，則（

）A．30 B．15 C．5 D．104．（2023·青海西寧·統(tǒng)考二模）已知，均為等差數(shù)列，且，，，則數(shù)列的前5項和為（

）A．35 B．40 C．45 D．505．（2023·全國·高三專題練習(xí)）現(xiàn)有茶壺九只，容積從小到大成等差數(shù)列，最小的三只茶壺容積之和為0.5升，最大的三只茶壺容積之和為2.5升，則從小到大第5只茶壺的容積為（

）A．0.25升 B．0.5升 C．1升 D．1.5升6．（2023·陜西榆林·統(tǒng)考三模）一個等差數(shù)列的前3項之和為12，第4項為0，則第6項為（

）A． B． C．1 D．27．（2023春·江西鷹潭·高三貴溪市實驗中學(xué)校考階段練習(xí)）數(shù)列是等差數(shù)列，若，，則（

）A． B．4 C． D．8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）從冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣的日影長度依次成等差數(shù)列，冬至、立春、春分這三個節(jié)氣的日影長度之和為尺，前九個節(jié)氣日影長度之和為尺，則谷雨這一天的日影長度為（

）A．尺 B．尺 C．尺 D．尺9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）“”是“數(shù)列為等差數(shù)列”的（

）．A．充分不必要條件 B．充要條件C．必要不充分條件 D．既不充分又不必要條件10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）公差不為零的等差數(shù)列中，，則下列各式一定成立的是（

）A． B． C． D．二、填空題11．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列，，=12．（2023春·甘肅天水·高三?？奸_學(xué)考試）已知等差數(shù)列，，.13．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在等差數(shù)列中，，，則.14．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在等差數(shù)列中，是方程的根，則＝.15．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，且，則.題型三等差數(shù)列的前n項和策略方法在等差數(shù)列中，，…仍成等差數(shù)列；也成等差數(shù)列．【典例1】設(shè)是等差數(shù)列的前項和，已知，，則（

）A．16 B．18 C．20 D．22【典例2】已知為等差數(shù)列的前項和，，則的值為（

）A．4 B．7 C．8 D．9【題型訓(xùn)練】一、單選題1．（2023·江西贛州·統(tǒng)考二模）已知等差數(shù)列中，是其前項和，若，，則（

）A．7 B．10 C．11 D．132．（2023·全國·高三專題練習(xí)）一百零八塔，位于寧夏吳忠青銅峽市，是始建于西夏時期的喇嘛式實心塔群，是中國現(xiàn)存最大且排列最整齊的喇嘛塔群之一，塔的排列順序自上而下，第一層1座，第二層3座，第三層3座，第四層5座，第五層5座，從第五層開始，每一層塔的數(shù)目構(gòu)成一個首項為5，公差為2的等差數(shù)列，總計一百零八座，則該塔共有（

）A．八層 B．十層 C．十一層 D．十二層3．（2023·江西新余·統(tǒng)考二模）記是公差不為0的等差數(shù)列的前項和，若，，則數(shù)列的公差為（

）A． B． C．2 D．44．（2023·湖南長沙·長沙市實驗中學(xué)校考二模）南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中出現(xiàn)了如圖所示的形狀，后人稱為“三角垛”，“三角垛”的最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，······，則第十層有（

）個球．

A．12 B．20 C．55 D．1105．（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）《數(shù)書九章》有這樣一個問題：有5位士兵按從低到高站成一排（從低到高依次為甲、乙、丙、丁、戊），身高依次成等差數(shù)列，已知乙士兵的身高為5尺1寸，這五位士兵身高之和為26尺（1尺為10寸），則丁士兵的身高為（

）A．5尺2寸 B．5尺3寸 C．5尺4寸 D．5尺5寸6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）記為等差數(shù)列的前項和．若，則（

）A．25 B．22 C．20 D．157．（2023·陜西安康·統(tǒng)考三模）已知等差數(shù)列的前項和為，，則（）A．6 B．12 C．18 D．248．（2023春·安徽阜陽·高三安徽省臨泉第一中學(xué)?？紝ｎ}練習(xí)）在等差數(shù)列{an}中，a3+2a5+a9=10，則數(shù)列{an}前10項的和為（

）A．20 B．24 C．25 D．289．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在項數(shù)為的等差數(shù)列中，其前項的和為，最后項的和為，所有項的和為，則（

）A． B． C． D．10．（2023·廣東東莞·校聯(lián)考模擬預(yù)測）設(shè)為正項等差數(shù)列的前項和．若，則的最小值為（

）A． B． C． D．11．（2023·陜西咸陽·統(tǒng)考三模）已知等差數(shù)列，的前n項和分別為，，若，則（

）A． B． C． D．12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若兩個等差數(shù)列，的前n項和滿足，則（

）A． B． C． D．二、多選題13．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列的前n項和為，若，則（

）A． B．C． D．14．（2023·遼寧·校聯(lián)考一模）設(shè)等差數(shù)列的前項和是，若，則（

）A． B． C． D．三、填空題15．（2023春·陜西安康·高三陜西省安康中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前n項和為，，，則公差為.16．（2023·安徽六安·六安一中?？寄M預(yù)測）記等差數(shù)列的前n項和為，若，則數(shù)列的公差．17．（2023·江蘇無錫·江蘇省天一中學(xué)?？寄M預(yù)測）若等差數(shù)列前項和為，且，，數(shù)列的前10項的和為.18．（2023·河南·洛寧縣第一高級中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列的前n項和為，且，則．19．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知和均為等差數(shù)列，，，，則數(shù)列的前60項的和為．20．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列的前n項和為，若，，，則．21．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知兩個等差數(shù)列和的前n項和分別為，，且，則.題型四等差數(shù)列中與的關(guān)系策略方法等差數(shù)列中與的關(guān)系數(shù)列的前項和和通項的關(guān)系：則【典例1】已知數(shù)列的前n項和為，滿足，則（

）A． B． C． D．【典例2】已知數(shù)列的前項和，則A．B．C．D．【題型訓(xùn)練】一、單選題1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前n項和為，滿足，則（

）A． B． C． D．2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前n項和，若，則（

）A．5 B．6 C．7 D．83．（2023·河南開封·統(tǒng)考一模）已知數(shù)列的前項和，若，則（

）A． B． C． D．4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知為數(shù)列的前項和，且滿足，則（

）A．27 B．28 C．29 D．305．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)為數(shù)列的前項和.若，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知正項數(shù)列的前n項和為，且，則（

）A．4045 B．4042 C．4041 D．40407．（2023·北京·高三專題練習(xí)）在無窮正項等差數(shù)列中，公差為，則“是等差數(shù)列”是“存在，使得”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項和，則下列結(jié)論正確的是（

）A．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列B．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列C．，，成等差數(shù)列D．，，成等差數(shù)列二、多選題9．（2023·山西陽泉·統(tǒng)考三模）設(shè)無窮數(shù)列為正項等差數(shù)列且其前n項和為，若，則下列判斷正確的是（

）A． B． C． D．10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）等差數(shù)列與的前項和分別為與，且，則（

）A．當(dāng)時，B．C．D．三、填空題11．（2023·河南鄭州·模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列的前n項和為，且，則．12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）數(shù)列的前項和，則該數(shù)列的通項公式為.13．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前n項和為，且，則數(shù)列的通項公式為.14．（2023·全國·高三專題練習(xí)）正項數(shù)列的前n項和滿足，則數(shù)列的通項公式為.15．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前n項和為，且成等差數(shù)列，若，則使得，同時成立的k的值為．題型五等差數(shù)列的判定與證明策略方法等差數(shù)列的判定與證明的方法方法解讀適合題型定義法為同一常數(shù)?是等差數(shù)列解答題中的證明問題等差中項法成立?是等差數(shù)列通項公式法為常數(shù)）對任意的正整數(shù)都成立?是等差數(shù)列選擇、填空題中的判定問題前項和公式法驗證為常數(shù)）對任意的正整數(shù)都成立?是等差數(shù)列【典例1】已知數(shù)列的前項和為.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求證：數(shù)列是等差數(shù)列.【題型訓(xùn)練】一、單選題1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，且，則（

）A． B． C． D．2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）記數(shù)列的前項和為，則“”是“為等差數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．（2023·江蘇無錫·輔仁高中校考模擬預(yù)測）已知數(shù)列各項為正數(shù)，滿足，，則（

）A．是等差數(shù)列 B．是等比數(shù)列C．是等差數(shù)列 D．是等比數(shù)列4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列中，，則（

）A． B． C． D．5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，且，，則（

）A． B． C． D．6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足：，，.若，則（

）A．1 B．2 C．3 D．20227．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列中，，，若，則（

）A．8 B．9 C．