第21講空間幾何體學(xué)校____________姓名____________班級(jí)____________一、知識(shí)梳理1.空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征(1)多面體的結(jié)構(gòu)特征名稱棱柱棱錐棱臺(tái)圖形底面互相平行且全等多邊形互相平行且相似側(cè)棱平行且相等相交于一點(diǎn)，但不一定相等延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)側(cè)面形狀平行四邊形三角形梯形(2)旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征名稱圓柱圓錐圓臺(tái)球圖形母線互相平行且相等，垂直于底面相交于一點(diǎn)延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)軸截面矩形等腰三角形等腰梯形圓面?zhèn)让嬲归_(kāi)圖矩形扇形扇環(huán)2.直觀圖空間幾何體的直觀圖常用斜二測(cè)畫(huà)法來(lái)畫(huà)，其規(guī)則是：(1)原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x′軸、y′軸的夾角為45°(或135°)，z′軸與x′軸、y′軸所在平面垂直.(2)原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中仍分別平行于坐標(biāo)軸.平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長(zhǎng)度不變，平行于y軸的線段長(zhǎng)度在直觀圖中變?yōu)樵瓉?lái)的一半.3.圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖及側(cè)面積公式圓柱圓錐圓臺(tái)側(cè)面展開(kāi)圖側(cè)面積公式S圓柱側(cè)＝2πrlS圓錐側(cè)＝πrlS圓臺(tái)側(cè)＝π(r1＋r2)l4.柱、錐、臺(tái)、球的表面積和體積名稱幾何體表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積＝S側(cè)＋2S底V＝Sh錐體(棱錐和圓錐)S表面積＝S側(cè)＋S底V＝eq\f(1,3)Sh臺(tái)體(棱臺(tái)和圓臺(tái))S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR3考點(diǎn)和典型例題1、空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征【典例1-1】（2022·廣東深圳·高三階段練習(xí)）通用技術(shù)老師指導(dǎo)學(xué)生制作統(tǒng)一規(guī)格的圓臺(tái)形容器，用如圖所示的圓環(huán)沿虛線剪開(kāi)得到的一個(gè)半圓環(huán)（其中小圓和大圓的半徑分別是1cm和4cm）制作該容器的側(cè)面，則該圓臺(tái)形容器的高為（

）A．cm B．1cm C．cm D．cm【答案】D【詳解】由已知圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖為半圓環(huán)，不妨設(shè)上、下底面圓的半徑分別為，，則，，解得，．所以圓臺(tái)軸截面為等腰梯形，其上、下底邊的長(zhǎng)分別為和，腰長(zhǎng)為，即,過(guò)點(diǎn)作,為垂足，所以，該圓臺(tái)形容器的高為，故選：D．【典例1-2】（2022·河南·模擬預(yù)測(cè)（文））在正四棱錐中，，若正四棱錐的體積是8，則該四棱錐的側(cè)面積是（

）A． B． C．4 D．【答案】C【詳解】如圖，連接AC，BD，記，連接OP，所以平面ABCD.取BC的中點(diǎn)E，連接.因?yàn)檎睦忮F的體積是8，所以，解得.因?yàn)?，所以在直角三角形?，則的面積為，故該四棱錐的側(cè)面積是.故選：C【典例1-3】（2022·湖南·長(zhǎng)郡中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）圓臺(tái)上、下底面的圓周都在一個(gè)直徑為10的球面上，其上、下底面的半徑分別為4和5，則該圓臺(tái)的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)閳A臺(tái)下底面半徑為5，球的直徑為，所以圓臺(tái)下底面圓心與球心重合，底面圓的半徑為，畫(huà)出軸截面如圖，設(shè)圓臺(tái)上底面圓的半徑，則所以球心到上底面的距離，即圓臺(tái)的高為3，所以母線長(zhǎng)，所以，故選：C.【典例1-4】（2022·浙江·鎮(zhèn)海中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）如圖，梯形是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，其中，，，則原圖形的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：由題得,所以.故選：B．【典例1-5】（2022·福建省福州第一中學(xué)三模）已知，分別是圓柱上?下底面圓的直徑，且，.，O分別為上?下底面的圓心，若圓柱的底面圓半徑與母線長(zhǎng)相等，且三棱錐的體積為18，則該圓柱的側(cè)面積為（

）A．9 B．12 C．16 D．18【答案】D【詳解】分別過(guò)作圓柱的母線，連接，設(shè)圓柱的底面半徑為則三棱錐的體積為兩個(gè)全等四棱錐減去兩個(gè)全等三棱錐即，則圓柱的側(cè)面積為故選：D．2、空間幾何體的表面積、體積【典例2-1】（2022·山東泰安·模擬預(yù)測(cè)）在底面是正方形的四棱錐中，底面ABCD，且，則四棱錐內(nèi)切球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：由題意，設(shè)四棱錐內(nèi)切球的半徑為r，因?yàn)?，四棱錐的表面積，所以，所以四棱錐內(nèi)切球的表面積為.故選：B.【典例2-2】（2022·全國(guó)·高考真題）已知正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為l，其各頂點(diǎn)都在同一球面上.若該球的體積為，且，則該正四棱錐體積的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】∵球的體積為，所以球的半徑,設(shè)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為，高為，則，,所以，所以正四棱錐的體積，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，正四棱錐的體積取最大值，最大值為，又時(shí)，，時(shí)，,所以正四棱錐的體積的最小值為，所以該正四棱錐體積的取值范圍是.故選：C.【典例2-3】（2022·全國(guó)·高考真題）南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問(wèn)題，其中一部分水蓄入某水庫(kù).已知該水庫(kù)水位為海拔時(shí)，相應(yīng)水面的面積為；水位為海拔時(shí)，相應(yīng)水面的面積為，將該水庫(kù)在這兩個(gè)水位間的形狀看作一個(gè)棱臺(tái)，則該水庫(kù)水位從海拔上升到時(shí)，增加的水量約為（）（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】依題意可知棱臺(tái)的高為(m)，所以增加的水量即為棱臺(tái)的體積．棱臺(tái)上底面積，下底面積，∴．故選：C．【典例2-4】（2022·全國(guó)·高考真題（理））甲、乙兩個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)相等，側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角之和為，側(cè)面積分別為和，體積分別為和．若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：設(shè)母線長(zhǎng)為，甲圓錐底面半徑為，乙圓錐底面圓半徑為，則，所以，又，則，所以，所以甲圓錐的高，乙圓錐的高，所以.故選：C.【典例2-5】（2022·山東臨沂·三模）戰(zhàn)國(guó)時(shí)期的銅鏃是一種兵器，其由兩部分組成，前段是高為3cm、底面邊長(zhǎng)為2cm的正三棱錐，后段是高為1cm的圓柱，圓柱底面圓與正三棱錐底面的正三角形內(nèi)切，則此銅鏃的體積為（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】由題意，銅鏃的直觀圖如圖所示，三棱錐的體積，因?yàn)閳A柱的底面圓與正三棱錐底面的正三角形內(nèi)切，所以圓柱的底面圓的半徑，所以圓柱的體積所以此銅鏃的體積為故選：A.3、與球有關(guān)的切、接問(wèn)題【典例3-1】（2022·北京·101中學(xué)三模）一個(gè)底面積為1的正四棱柱的頂點(diǎn)都在同一球面上，若此球的表面積為，則該四棱柱的高為（

）A． B．2 C． D．【答案】C【詳解】設(shè)球的半徑為，則，解得設(shè)四棱柱的高為，則，解得故選：C【典例3-2】（2022·廣東·深圳市光明區(qū)高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）若正三棱柱的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)球O的表面上，且球O的體積的最小值為，則該三棱柱的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】如圖：設(shè)三棱柱上、下底面中心分別為、，則的中點(diǎn)為，設(shè)球的半徑為，則，設(shè)，，則，，則在△中，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，?/p>

所以，即，所以該三棱柱的側(cè)面積為.故選：B.【典例3-3】（2022·湖北·模擬預(yù)測(cè)）《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的一部不朽之作，其第十一卷中稱軸截面為等腰直角三角形的圓錐為直角圓錐，若某直角圓錐內(nèi)接于一球（圓錐的頂點(diǎn)和底面上各點(diǎn)均在該球面上），求此圓錐側(cè)面積和球表面積之比（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】設(shè)直角圓錐底面半徑為，則其側(cè)棱為，所以頂點(diǎn)到底面圓圓心的距離為：，所以底面圓的圓心即為外接球的球心，所以外接球半徑為，所以.故選：A.【典例3-4】（2022·山東聊城·三模）《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的一部不朽之作，其第十一卷中稱軸截面為等腰直角三角形的圓錐為直角圓錐.若一個(gè)直角圓錐的側(cè)面積為，圓錐的底面圓周和頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】設(shè)球半徑為，圓錐的底面半徑為，若一個(gè)直角圓錐的側(cè)面積為，設(shè)母線為，則，所以直角圓錐的側(cè)面積為：，可得：，，圓錐的高，由，解得：，所以球的體積等于，故選：B【典例3-5】（2022·全國(guó)·高考真題（文））已知球O的半徑為1，四棱錐的頂點(diǎn)為O，底面的四個(gè)頂點(diǎn)均在球