【一輪復(fù)習(xí)講義】2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)題型歸納與方法總結(jié)（新高考通用）第32講空間點(diǎn)、直線、平面間的位置關(guān)系（精講）題型目錄一覽①共面、共線、共點(diǎn)問題的證明②異面直線③平面的基本性質(zhì)④等角定理一、知識(shí)點(diǎn)梳理一、知識(shí)點(diǎn)梳理一、四個(gè)公理公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)．注意：（1）此公理是判定直線在平面內(nèi)的依據(jù)；（2）此公理是判定點(diǎn)在面內(nèi)的方法公理2：過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．注意：（1）此公理是確定一個(gè)平面的依據(jù)；（2）此公理是判定若干點(diǎn)共面的依據(jù)推論①：經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面；注意：（1）此推論是判定若干條直線共面的依據(jù)（2）此推論是判定若干平面重合的依據(jù)（3）此推論是判定幾何圖形是平面圖形的依據(jù)推論②：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面；推論③：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面；公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線．注意：（1）此公理是判定兩個(gè)平面相交的依據(jù)（2）此公理是判定若干點(diǎn)在兩個(gè)相交平面的交線上的依據(jù)（比如證明三點(diǎn)共線、三線共點(diǎn)）（3）此推論是判定幾何圖形是平面圖形的依據(jù)公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行．二、直線與直線的位置關(guān)系位置關(guān)系相交（共面）平行（共面）異面圖形符號(hào)a∥b公共點(diǎn)個(gè)數(shù)100特征兩條相交直線確定一個(gè)平面兩條平行直線確定一個(gè)平面兩條異面直線不同在如何一個(gè)平面內(nèi)三、直線與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系包含（面內(nèi)線）相交（面外線）平行（面外線）圖形符號(hào)∥公共點(diǎn)個(gè)數(shù)無數(shù)個(gè)10四、平面與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系平行相交（但不垂直）垂直圖形符號(hào)∥，公共點(diǎn)個(gè)數(shù)0無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)且都在唯一的一條直線上無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)且都在唯一的一條直線上【常用結(jié)論】等角定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)．二、題型分類精講二、題型分類精講題型一共面、共線、共點(diǎn)問題的證明策略方法共面、共線、共點(diǎn)問題的證明【典例1】（解答題）如圖，在長方體中，、分別是和的中點(diǎn)．(1)證明：、、、四點(diǎn)共面；(2)對(duì)角線與平面交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，求證：點(diǎn)共線；(3)證明：、、三線共點(diǎn)．【題型訓(xùn)練】一、單選題1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知空間四個(gè)點(diǎn)，則“這四個(gè)點(diǎn)中有三點(diǎn)在同一直線上”是“這四個(gè)點(diǎn)在同一平面內(nèi)”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）正方體ABCD--A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是線段BC，CD1的中點(diǎn)，則直線A1B與直線EF的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．異面C．平行 D．垂直3．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）在空間四邊形ABCD的各邊AB、BC、CD、DA上分別取E、F、G、H四點(diǎn)，若EF∩GH＝P，則點(diǎn)P（

）A．一定在直線BD上 B．一定在直線AC上C．既在直線AC上也在直線BD上 D．既不在直線AC上也不在直線BD上4．（2023·吉林·長春吉大附中實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？寄M預(yù)測）在長方體中，直線與平面的交點(diǎn)為為線段的中點(diǎn)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．三點(diǎn)共線 B．四點(diǎn)異不共面C．四點(diǎn)共面 D．四點(diǎn)共面5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）下面幾個(gè)命題：①兩兩相交的三條直線共面；②如果兩個(gè)平面有公共點(diǎn)，則公共點(diǎn)有無數(shù)個(gè)；③一條直線與兩條平行直線都相交，那么這三條直線共面；④順次連接空間四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是平行四邊形．其中正確命題的個(gè)數(shù)是（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．1個(gè)6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在正方體中，、、、分別是該點(diǎn)所在棱的中點(diǎn)，則下列圖形中、、、四點(diǎn)共面的是（

）A． B．C． D．7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，在空間四邊形ABCD中，點(diǎn)E，H分別是邊AB，AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F，G分別是邊BC，CD上的點(diǎn)，且，則下列說法正確的是（）①E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；②EF與GH異面；③EF與GH的交點(diǎn)M可能在直線AC上，也可能不在直線AC上；④EF與GH的交點(diǎn)M一定在直線AC上．A．①③ B．①④ C．②③ D．②④8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，已知分別是正方體所在棱的中點(diǎn)，則下列直線中與直線相交的是（

）．A．直線 B．直線C．直線 D．直線．二、多選題9．（2023春·江蘇南京·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖所示，在正方體中，為的中點(diǎn)，直線交平面于點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．，，三點(diǎn)共線 B．，，，四點(diǎn)共面C．，，，四點(diǎn)共面 D．，，，四點(diǎn)共面10．（2023·遼寧沈陽·東北育才學(xué)校?？寄M預(yù)測）在正方體中，分別為棱，，上的一點(diǎn)，且，是的中點(diǎn)，是棱上的動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．當(dāng)時(shí)，平面B．當(dāng)時(shí)，平面C．當(dāng)時(shí)，存在點(diǎn)，使四點(diǎn)共面D．當(dāng)時(shí)，存在點(diǎn)，使，，三條直線交于同一點(diǎn)三、填空題11．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，正方體中，O是中點(diǎn)，與截面交于P，那么、P、O三點(diǎn)共線，其理由是．

12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在正方體中，A、B、C、D分別是頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則A、B、C、D四點(diǎn)共面的圖形（填上所有正確答案的序號(hào)）．13．（2023春·河南許昌·高三鄢陵一中?？茧A段練習(xí)）如圖，已知四棱錐的底面ABCD為平行四邊形，M是棱上靠近點(diǎn)D的三等分點(diǎn)，N是的中點(diǎn)，平面AMN交于點(diǎn)H，則，.14．（2023·四川綿陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖所示，在直四棱柱中，，，，P為棱上一點(diǎn)，且（為常數(shù)），直線與平面相交于點(diǎn)Q．則線段的長為．題型二異面直線策略方法1．平移法求異面直線所成角的一般步驟2．坐標(biāo)法求異面直線所成的角當(dāng)題設(shè)中含有兩兩垂直的三邊關(guān)系或比較容易建立空間直角坐標(biāo)系時(shí)，常采用坐標(biāo)法．注：如果求出的角是銳角或直角，則它就是要求的角；如果求出的角是鈍角，則它的補(bǔ)角才是要求的角．【典例1】如圖所示，在正方體中，，分別是，的中點(diǎn)，則異面直線與所成的角的大小為（

）

A． B． C． D．【典例2】在直三棱柱中，，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【題型訓(xùn)練】一、單選題1．（2023·黑龍江·黑龍江實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考二模）在三棱錐中，兩兩垂直，，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．2．（2023春·河南·高三階段練習(xí)）如圖，在四棱臺(tái)中，正方形和的中心分別為和平面，則直線與直線所成角的正切值為（

）

A． B． C． D．3．（2023·全國·模擬預(yù)測）如圖，在直三棱柱中，，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．4．（2023·河南洛陽·洛寧縣第一高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，且各棱長均相等，E是PB的中點(diǎn)，則異面直線AE與PC所成角的余弦值為（

）

A． B． C． D．5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知三棱錐中，平面ABC，，，，，D為PB的中點(diǎn)，則異面直線AD與PC所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．6．（2023秋·湖北·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）在直三棱柱中，分別為的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（

）

A． B． C． D．7．（2023·陜西漢中·統(tǒng)考二模）如圖，在棱長為2的正方體中，分別為的中點(diǎn)，則與所成的角的余弦值為（

）A． B． C． D．8．（2023·江蘇·高三專題練習(xí)）在長方體中，，，，則與所成角的余弦值是（

）A．0 B． C． D．9．（2023·貴州畢節(jié)·?？寄M預(yù)測）鐘鼓樓是中國傳統(tǒng)建筑之一，屬于鐘樓和鼓樓的合稱，是主要用于報(bào)時(shí)的建筑.中國古代一般建于城市的中心地帶，在現(xiàn)代城市中，也可以常?？匆姼接戌姌堑慕ㄖ?如圖，在某市一建筑物樓頂有一頂部逐級(jí)收攏的四面鐘樓，四個(gè)大鐘對(duì)稱分布在四棱柱的四個(gè)側(cè)面（四棱柱看成正四棱柱，鐘面圓心在棱柱側(cè)面中心上），在整點(diǎn)時(shí)刻（在0點(diǎn)至12點(diǎn)中取整數(shù)點(diǎn)，含0點(diǎn)，不含12點(diǎn)），已知在3點(diǎn)時(shí)和9點(diǎn)時(shí)，相鄰兩鐘面上的時(shí)針?biāo)诘膬蓷l直線相互垂直，則在2點(diǎn)時(shí)和8點(diǎn)時(shí)，相鄰兩鐘面上的時(shí)針?biāo)诘膬蓷l直線所成的角的余弦值為（

）

A． B． C． D．10．（2023·河南·洛寧縣第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）在正三棱柱中，，D為的中點(diǎn)，E為的中點(diǎn)，則異面直線AD與BE所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．11．（2023秋·全國·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）如圖，在直三棱柱中，，則異面直線與所成角的余弦值等于（

）A． B． C． D．二、填空題12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在正方體中，與交于點(diǎn)，則直線與直線的夾角為.13．（2023·寧夏銀川·銀川一中?？寄M預(yù)測）在正四棱柱中，底面邊長為1，高為3，則異面直線與AD所成角的余弦值是.14．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在直三棱柱中，是等邊三角形，，D，E，F(xiàn)分別是棱，，的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值是.15．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，，，，D、E分別是、的中點(diǎn)，則異面直線與所成的角的余弦值為.16．（2023·全國·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在直四棱柱中，底面四邊形ABCD是菱形，，，E是棱的中點(diǎn)，O為底面菱形ABCD的中心，則異面直線EO和AD所成角的余弦值為．17．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知四面體ABCD滿足，，，且該四面體的體積為，則異面直線AD與BC所成的角的大小為．題型三平面的基本性質(zhì)【典例1】下列命題不正確的個(gè)數(shù)是（

）①三點(diǎn)確定一個(gè)平面；②圓心和圓上兩個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面；③如果兩個(gè)平面相交有一個(gè)交點(diǎn)，則必有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)；④如果兩條直線沒有交點(diǎn)，則這兩條直線平行．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【題型訓(xùn)練】一、單選題1．（2023秋·內(nèi)蒙古赤峰·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知直線l和平面，若，，則過點(diǎn)P且平行于l的直線（

）．A．只有一條，不在平面內(nèi) B．只有一條，且在平面內(nèi)C．有無數(shù)條，一定在平面內(nèi) D．有無數(shù)條，不一定在平面內(nèi)2．（2023·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）在空間四邊形中，在上分別取E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)，如果交于一點(diǎn)P，則（

）A．P一定在直線上B．P一定在直線上C．P在直線或上D．P既不在直線上，也不在直線上3．（2023·河北·校聯(lián)考一模）已知，，是三條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，，，，則“，相交“是“，相交”的（

）A．充要條件 B．必要不充分條件C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若平面，直線，點(diǎn)，則在內(nèi)過點(diǎn)的所有直線中（

）．A．存在唯一一條與平行的直線B．只有兩條與平行的直線C．不一定存在與平行的直線D．存在無數(shù)條與平行的直線5．（2023·上海黃浦·上海市大同中學(xué)?？既＃┤鐖D所示，正方體中，分別為棱的中點(diǎn)，則在平面內(nèi)與平面平行的直線

A．不存在 B．有1條 C．有2條 D．有無數(shù)條6．（2023春·廣西柳州·高三柳州市第三中學(xué)?？奸_學(xué)考試）下列命題正確的是A．若兩條直線和同一個(gè)平面所成的角相等，則這兩條直線平行B．若一個(gè)平面內(nèi)有三個(gè)點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離相等，則這兩個(gè)平面平行C．若一條直線平行于兩個(gè)相交平面，則這條直線與這兩個(gè)平面的交線平行D．若兩個(gè)平面都垂直于第三個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行二、填空題7．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）已知是不共面的四個(gè)點(diǎn)，且這四個(gè)點(diǎn)到平面的距離都相等，則這樣的平面有個(gè)．8．（2023·陜西西安·陜西師大附中?？寄M預(yù)測）在直四棱柱中，，，M，N在棱，上，且，，過的平面交于G，則截面的面積為．題型四等角定理策略方法空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)．【典例1】已知，則等于A． B．或 C． D．以上答案都不對(duì)【題型訓(xùn)練】一、單選題1．如圖，在四面體ABCD中，M，N，P，Q，E分別是AB，BC，CD，AD，AC的中點(diǎn)，則下列說法中不正確的是（

）

A．M，N，P，Q四點(diǎn)共面 B．C． D．四邊形MNPQ為梯形2．兩等角的一組對(duì)應(yīng)邊平行，則（

）A．另一組對(duì)應(yīng)邊平行 B．另一組對(duì)應(yīng)邊不平行C．另一組對(duì)應(yīng)邊垂直 D．以上都不對(duì)3．已知，是兩條不同的直線，是平面，且，則下列命題中正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則4．若，且與的方向相同，則與（

）A．一定平行且方向相同 B．一定平行且方向相反C．一定不平行 D．不一定平行5．給出下列命題：①如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等；②如果兩條相交直線和另兩條直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角(或直角)相等；③如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別垂直，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)．其中正確的命題有（

）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)6．給出下列命題：①若一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行，則這兩個(gè)角相等；②若兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，則這兩組直線所成的銳角或直角相等；③若一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別垂直，則這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)；④若兩條直線同時(shí)平行于第三條直線，則這兩條直線平行其中真命題的個(gè)數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3二、多選題7．(多選題)下列命題中，錯(cuò)誤的結(jié)論有（

）A．如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別