第26講圓的方程學(xué)校____________姓名____________班級(jí)____________知識(shí)梳理1.圓的定義和圓的方程定義平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合方程標(biāo)準(zhǔn)(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)圓心C(a，b)半徑為r一般x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)充要條件：D2＋E2－4F＞0圓心坐標(biāo)：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))半徑r＝eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F)2.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系平面上的一點(diǎn)M(x0，y0)與圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之間存在著下列關(guān)系：(1)|MC|＞r?M在圓外，即(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2?M在圓外；(2)|MC|＝r?M在圓上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2?M在圓上；(3)|MC|＜r?M在圓內(nèi)，即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2?M在圓內(nèi).考點(diǎn)和典型例題1、圓的方程【典例1-1】已知圓方程的圓心為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：因?yàn)?，即，所以圓心坐標(biāo)為；故選：C【典例1-2】當(dāng)圓的圓心到直線的距離最大時(shí)，（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：因?yàn)閳A的圓心為,半徑，又因?yàn)橹本€過定點(diǎn)A(-1,1),故當(dāng)與直線垂直時(shí)，圓心到直線的距離最大，此時(shí)有，即，解得.故選：C.【典例1-3】過點(diǎn)（7，-2）且與直線相切的半徑最小的圓方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，則以為直徑的圓為直線相切的半徑最小的圓，其中，設(shè)，則，解得：，故的中點(diǎn)，即圓心為，即，故該圓為故選：B【典例1-4】已知直線：恒過點(diǎn)，過點(diǎn)作直線與圓C：相交于A，B兩點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B．2 C．4 D．【答案】A【詳解】由恒過，又，即在圓C內(nèi)，要使最小，只需圓心與的連線與該直線垂直，所得弦長(zhǎng)最短，由，圓的半徑為5，所以.故選：A【典例1-5】與圓C：關(guān)于直線對(duì)稱的圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】圓C：的圓心，半徑．設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，所以圓C關(guān)于直線的對(duì)稱圓的方程為，故選:C．2、與圓有關(guān)的最值問題【典例2-1】已知直線與圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：因?yàn)橹本€與圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以圓心到直線的距離，即，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選：B.【典例2-2】已知點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為（

）A． B． C．6 D．5【答案】A【詳解】由，令，則，所以當(dāng)時(shí)，的最大值為.故選：A【典例2-3】已知是圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且直線與直線相交于點(diǎn)，則的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】B【詳解】解：直線整理可得，，即直線恒過，同理可得，直線恒過，又，直線和互相垂直，兩條直線的交點(diǎn)在以，為直徑的圓上，即的軌跡方程為，設(shè)該圓心為，圓心距，兩圓相離，，的取值范圍是．故選：B．【典例2-4】如圖，P為圓O：x2+y2＝4外一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓O的切線PA，PB，切點(diǎn)分別為A，B，∠APB＝120°，直線OP與AB相交于點(diǎn)Q，點(diǎn)M（3，），則|MQ|的最小值為（

）A． B．2 C． D．【答案】A【詳解】解：過點(diǎn)P作圓O的切線PA，PB，切點(diǎn)分別為A，B，∠APB＝120°，由圓與切線的平面幾何性質(zhì)知，∠APO＝60°，又|OA|＝2，則可得|OP|＝在直角中，，由得，∴Q點(diǎn)的軌跡是以O(shè)為圓心，為半徑的圓，方程為x2+y2＝3；|MQ|的最小值即為|OM|﹣r＝﹣＝．故選：A．【典例2-5】已知圓：，點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，過作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】圓：化為標(biāo)準(zhǔn)方程：，其圓心,半徑.過點(diǎn)P引圓C的兩條切線,切點(diǎn)分別為點(diǎn)A、B,如圖：在△PAC中,有，即，變形可得：.設(shè)，則.所以當(dāng)?shù)闹导磝最小時(shí)，的值最大，此時(shí)最小.而的最小值為點(diǎn)C到直線的距離，即，所以.故選：B3、與圓有關(guān)的軌跡問題【典例3-1】正三角形OAB的邊長(zhǎng)為1，動(dòng)點(diǎn)C滿足，且，則點(diǎn)C的軌跡是（

）A．線段 B．直線 C．射線 D．圓【答案】D【詳解】解：方法一：由題可知：，又所以，即所以點(diǎn)C的軌跡是圓.方法二：由題可知：，如圖，以O(shè)為原點(diǎn)OB為x軸，過O點(diǎn)與OB垂直的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，所以設(shè)，又所以整理得：所以點(diǎn)C的軌跡是圓.故選：D.【典例3-2】直線與圓相交于A，B兩點(diǎn)，O為圓心，當(dāng)k變化時(shí)，求弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程．【答案】【詳解】設(shè)，易知直線恒過定點(diǎn)，再由，得，∴，整理得．∵點(diǎn)M應(yīng)在圓內(nèi)且不在x軸上，∴所求的軌跡為圓內(nèi)的部分且不在x軸上．解方程組得兩曲線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，故所求軌跡方程為．【典例3-3】已知圓，直線l滿足___________（從①l過點(diǎn)，②l斜率為2，兩個(gè)條件中，任選一個(gè)補(bǔ)充在上面問題中并作答），且與圓C交于A，B兩點(diǎn)，求AB中點(diǎn)M的軌跡方程.【答案】條件選擇見解析，答案見解析.【詳解】選擇條件①，設(shè)點(diǎn)，令定點(diǎn)為P，因直線l過點(diǎn)P，且與圓C交于A，B兩點(diǎn)，M為AB的中點(diǎn)，當(dāng)直線l不過圓心C(0,0)時(shí)，則，有，當(dāng)直線l過圓心C時(shí)，圓心C是弦AB中點(diǎn)，此時(shí)，等式成立，因此有，而，于是得，即，由解得，，而直線與圓相切的切點(diǎn)在圓C內(nèi)，由點(diǎn)M在圓C內(nèi)，得且，所以AB中點(diǎn)M的軌跡方程是：(且).選擇條件②，設(shè)點(diǎn)，因l斜率為2，且與圓C交于A，B兩點(diǎn)，M為AB的中點(diǎn)，當(dāng)直線l不過圓心C時(shí)，則，則M的軌跡是過圓心且垂直于l的直線在圓C內(nèi)的部分（除點(diǎn)C外），當(dāng)直線l過圓心C時(shí)，圓心C是弦AB中點(diǎn)，即點(diǎn)C在點(diǎn)M的軌跡上，因此，M的軌跡是過圓心且垂直于l的直線在圓C內(nèi)的部分，而過圓心且垂直于l的直線為，由解得或，而點(diǎn)M在圓C內(nèi)，則有，所以AB中點(diǎn)M的軌跡方程是：.【典例3-4】已知線段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是，端點(diǎn)A在圓上運(yùn)動(dòng)．(1)求線段AB的中點(diǎn)P的軌跡的方程；(2)設(shè)圓與曲線的兩交點(diǎn)為M，N，求線段MN的長(zhǎng)；(3)若點(diǎn)C在曲線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在x軸上運(yùn)動(dòng)，求的最小值．【答案】(1