第8講函數(shù)模型及其應(yīng)用學(xué)校____________姓名____________班級(jí)____________一、知識(shí)梳理1.指數(shù)、對(duì)數(shù)、冪函數(shù)模型性質(zhì)比較函數(shù)性質(zhì)y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增減性單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增增長速度越來越快越來越慢相對(duì)平穩(wěn)圖像的變化隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與y軸平行隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與x軸平行隨n值變化而各有不同值的比較存在一個(gè)x0，當(dāng)x>x0時(shí)，有l(wèi)ogax<xn<ax2.幾種常見的函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f(x)＝ax＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)二次函數(shù)模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)與指數(shù)函數(shù)相關(guān)的模型f(x)＝bax＋c(a，b，c為常數(shù)，a>0且a≠1，b≠0)與對(duì)數(shù)函數(shù)相關(guān)的模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c為常數(shù)，a>0且a≠1，b≠0)與冪函數(shù)相關(guān)的模型f(x)＝axn＋b(a，b，n為常數(shù)，a≠0)考點(diǎn)和典型例題1、利用函數(shù)圖像刻畫實(shí)際問題的變化過程【典例1-1】（2022·四川攀枝花·三模（理））中央經(jīng)濟(jì)工作會(huì)議將做好“碳達(dá)峰、碳中和”工作列為2022年的重點(diǎn)任務(wù)之一，要求持續(xù)提升能源利用效率，加快能源消費(fèi)方式轉(zhuǎn)變．汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗1L汽油行駛的里程，如圖描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下的燃油效率情況．下列敘述中正確的是（

）．A．消耗1L汽油，乙車最多可行駛5kmB．甲車以80km/h的速度行駛1h，消耗約10L汽油C．以相同速度行駛相同路程，三輛車中，甲車消耗汽油最多D．某城市機(jī)動(dòng)車最高限速80km/h，相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油【典例1-2】（2021·陜西·榆林市第十中學(xué)高二階段練習(xí)（文））2020年春季，新冠肺炎疫情在全球范圍內(nèi)相繼爆發(fā)，因?yàn)檎沃贫?、文化背景等因素的不同，各個(gè)國家疫情防控的效果具有明顯差異、如圖是西方某國在60天內(nèi)感染新冠肺炎的累計(jì)病例人數(shù)y（萬人）與時(shí)間t（天）的散點(diǎn)圖，則下列最適宜作為此模型的回歸方程的類型是（

）A． B．C． D．【典例1-3】（2022·河南鄭州·高二階段練習(xí)（文））如圖，某池塘里浮萍的面積y（單位：）與時(shí)間（單位：月）的關(guān)系為，關(guān)于下列說法：①浮萍每月的增長率為1；②第5個(gè)月時(shí)，浮萍面積就會(huì)超過；③浮萍每月增加的面積都相等；④若浮萍蔓延到所經(jīng)過的時(shí)間分別是，則，其中正確的說法是（

）A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④【典例1-4】（2022·新疆吐魯番·高一期末）如圖，某池塘里浮萍的面積（單位：）與時(shí)間t（單位：月）的關(guān)系為，關(guān)于下列說法不正確的是（

）A．浮萍每月的增長率為2B．浮萍每月增加的面積都相等C．第4個(gè)月時(shí)，浮萍面積超過D．若浮萍蔓延到所經(jīng)過的時(shí)間分別是，、，則2、已知函數(shù)模型解決實(shí)際問題【典例2-1】（2022·重慶南開中學(xué)模擬預(yù)測）浮萍是我國南方常見的一種水生植物，生長速度非常快．最快每30個(gè)小時(shí)浮萍鋪在水面的面積就可以擴(kuò)大為原來的2倍．李大爺承包了一塊面積為3畝（1畝≈666.7平方米）的魚塘，為養(yǎng)殖草魚購買了一些浮萍．最初，浮萍鋪在水面上大約有1平方米，如果浮萍始終以最高效繁殖，大約（

）天后，浮萍可以鋪滿整個(gè)魚塘．（不考慮草魚對(duì)浮萍的損耗．結(jié)果四舍五入到整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：）A．12 B．14 C．16 D．18【典例2-2】（2022·遼寧葫蘆島·一模）某高中綜合實(shí)踐興趣小組做一項(xiàng)關(guān)于某水果釀制成醋的課題研究．經(jīng)大量實(shí)驗(yàn)和反復(fù)論證得出，某水果可以釀成醋的成功指數(shù)M與該品種水果中氫離子的濃度N有關(guān)，釀醋成功指數(shù)M與濃度N滿足．已知該興趣小組同學(xué)通過數(shù)據(jù)分析估計(jì)出某水果釀醋成功指數(shù)為2.9，則該水果中氫離子的濃度約為（）（

）A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8【典例2-3】（2022·廣西·模擬預(yù)測（理））異速生長規(guī)律描述生物的體重與其它生理屬性之間的非線性數(shù)量關(guān)系通常以冪函數(shù)形式表示．比如，某類動(dòng)物的新陳代謝率與其體重滿足，其中和為正常數(shù)，該類動(dòng)物某一個(gè)體在生長發(fā)育過程中，其體重增長到初始狀態(tài)的16倍時(shí)，其新陳代謝率僅提高到初始狀態(tài)的8倍，則為（

）A． B． C． D．【典例2-4】（2022·重慶·模擬預(yù)測）我國的酒駕標(biāo)準(zhǔn)是指車輛駕駛員血液中的酒精含量大于或者等于，已知一駕駛員某次飲酒后體內(nèi)每血液中的酒精含量（單位：）與時(shí)間（單位：）的關(guān)系是：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，那么該駕駛員在飲酒后至少要經(jīng)過__________才可駕車.【典例2-5】（2022·北京西城·一模）調(diào)查顯示，垃圾分類投放可以帶來約元/千克的經(jīng)濟(jì)效益.為激勵(lì)居民垃圾分類，某市準(zhǔn)備給每個(gè)家庭發(fā)放一張積分卡，每分類投放積分分，若一個(gè)家庭一個(gè)月內(nèi)垃圾分類投放總量不低于，則額外獎(jiǎng)勵(lì)分（為正整數(shù)）.月底積分會(huì)按照元/分進(jìn)行自動(dòng)兌換.①當(dāng)時(shí)，若某家庭某月產(chǎn)生生活垃圾，該家庭該月積分卡能兌換_____元；②為了保證每個(gè)家庭每月積分卡兌換的金額均不超過當(dāng)月垃圾分類投放帶來的收益的%，則的最大值為___________.3、構(gòu)造函數(shù)模型解決實(shí)際問題【典例3-1】（2022·廣東茂名·二模）雙碳，即碳達(dá)峰與碳中和的簡稱，2020年9月中國明確提出2030年實(shí)現(xiàn)“碳達(dá)峰”，2060年實(shí)現(xiàn)“碳中和”．為了實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)，中國加大了電動(dòng)汽車的研究與推廣，到2060年，純電動(dòng)汽車在整體汽車中的滲透率有望超過70%，新型動(dòng)力電池隨之也迎來了蓬勃發(fā)展的機(jī)遇．Peukert于1898年提出蓄電池的容量C（單位：A·h），放電時(shí)間t（單位：h）與放電電流I（單位：A）之間關(guān)系的經(jīng)驗(yàn)公式，其中為Peukert常數(shù)．在電池容量不變的條件下，當(dāng)放電電流時(shí)，放電時(shí)間，則當(dāng)放電電流，放電時(shí)間為（

）A．28h B．28.5h C．29h D．29.5h【典例3-2】（2022·天津市第七中學(xué)模擬預(yù)測）一種藥在病人血液中的量不少于才有效，而低于病人就有危險(xiǎn)．現(xiàn)給某病人注射了這種藥，如果藥在血液中以每小時(shí)的比例衰減，為了充分發(fā)揮藥物的利用價(jià)值，那么從現(xiàn)在起經(jīng)過（

）小時(shí)向病人的血液補(bǔ)充這種藥，才能保持療效．（附：，，結(jié)果精確到）A．小時(shí) B．小時(shí) C．小時(shí) D．小時(shí)【典例3-3】（2022·福建龍巖·模擬預(yù)測）進(jìn)入4月份以來，為了支援上?？箵粢咔椋珹地組織物流企業(yè)的汽車運(yùn)輸隊(duì)從高速公路向上海運(yùn)送抗疫物資.已知A地距離上海500，設(shè)車隊(duì)從A地勻速行駛到上海，高速公路限速為.已知車隊(duì)每小時(shí)運(yùn)輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成，可變部分與速度v的立方成正比，比例系數(shù)為b，固定部分為a元.若，，為了使全程運(yùn)輸成本最低，車隊(duì)速度v應(yīng)為（

）A．80 B．90 C．100 D．110【典例3-4】（2022·貴州畢節(jié)·三模（理））20世紀(jì)70年代，里克特制訂了一種表明地震能量大小的尺度，就是使用測震儀衡量地震能量的等級(jí)，地震能量越大，測震儀記錄的地震曲線的振幅就越大，這就是我們常說的里氏震級(jí)，其計(jì)算公式為，其中是被測地震的最大振幅，是“標(biāo)準(zhǔn)地震”的振幅．假設(shè)在一次地震中，一個(gè)距離震中千米的測震儀記錄的地震最大振幅是，此時(shí)標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅是，計(jì)算這次地震的震級(jí)為（

）A． B． C． D．【典例3-5】（2022·安徽·南陵中學(xué)模擬預(yù)測（理））充電電池是電動(dòng)汽車的核心部件之一，如何提高充電速度是電池制造商重點(diǎn)關(guān)