第30講圓錐曲線的綜合應(yīng)用學(xué)校____________姓名____________班級____________知識梳理1.判斷直線l與圓錐曲線C的位置關(guān)系時(shí)，通常將直線l的方程Ax＋By＋C＝0(A、B不同時(shí)為0)代入圓錐曲線C的方程F(x，y)＝0.消去y(或x)得到一個(gè)關(guān)于變量x(或y)的方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0).(1)當(dāng)a≠0時(shí)，則Δ＞0時(shí)，直線l與曲線C相交；Δ＝0時(shí)，直線l與曲線C相切；Δ＜0時(shí)，直線l與曲線C相離.(2)當(dāng)a＝0時(shí)，即得到一個(gè)一次方程，則l與C相交，且只有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)，若C為雙曲線，則直線l與雙曲線的漸近線平行；若C為拋物線，則直線l與拋物線的對稱軸平行或重合.2.對于過定點(diǎn)的直線，也可以通過定點(diǎn)在橢圓內(nèi)部或橢圓上判定直線和橢圓有交點(diǎn).3.弦及弦中點(diǎn)問題的解決方法(1)根與系數(shù)的關(guān)系：直線與橢圓或雙曲線方程聯(lián)立，消元，利用根與系數(shù)關(guān)系表示中點(diǎn)；(2)點(diǎn)差法：利用弦兩端點(diǎn)適合橢圓或雙曲線方程，作差構(gòu)造中點(diǎn)、斜率間的關(guān)系.若已知弦的中點(diǎn)坐標(biāo)，可求弦所在直線的斜率.4.弦長的求解方法(1)當(dāng)弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)易求時(shí)，可直接利用兩點(diǎn)間的距離公式求解.(2)當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，斜率為k的直線l與橢圓或雙曲線相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩個(gè)不同的點(diǎn)，則弦長公式的常見形式有如下幾種：①|(zhì)AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(（1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2])；②|AB|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|(k≠0)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,k2)))[（y1＋y2）2－4y1y2]).考點(diǎn)和典型例題1、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系【典例1-1】直線與橢圓的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．不確定【答案】A【詳解】，在橢圓內(nèi)，恒過點(diǎn)，直線與橢圓相交.故選：A.【典例1-2】過且與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【答案】D【詳解】當(dāng)斜率不存在時(shí)，過的直線與雙曲線沒有公共點(diǎn)；當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線為，聯(lián)立，得①.當(dāng)，即時(shí)，①式只有一個(gè)解；當(dāng)時(shí)，則，解得；綜上可知過且與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有4條.故選：D.【典例1-3】斜率為的直線過拋物線的焦點(diǎn)，且與C交于A，B兩點(diǎn)，則三角形的面積是（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則斜率為的直線方程為：，與拋物線方程聯(lián)立得：，設(shè)，不妨設(shè)，，則，點(diǎn)O到直線AB的距離為，所以△AOB的面積為故選：B【典例1-4】（多選）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，左、右頂點(diǎn)分別為、，點(diǎn)P是雙曲線C右支上異于頂點(diǎn)的一點(diǎn)，則（

）A．若雙曲線C為等軸雙曲線，則直線的斜率與直線的斜率之積為1B．若雙曲線C為等軸雙曲線，且，則C．若P為焦點(diǎn)關(guān)于雙曲線C的漸近線的對稱點(diǎn)，則C的離心率為D．延長交雙曲線右支于點(diǎn)Q，設(shè)與的內(nèi)切圓半徑分別為、，則【答案】ABD【詳解】由題意知，，設(shè)，對于A，若雙曲線C為等軸雙曲線，則，則，又，則，A正確；對于B，設(shè)，則，由A選項(xiàng)知，即，又，，故，解得，即，B正確；對于C，易得雙曲線的漸近線方程為，若P為焦點(diǎn)關(guān)于雙曲線C的漸近線的對稱點(diǎn)，則有，解得，代入可得，即，解得，則C的離心率為，C錯(cuò)誤；對于D，設(shè)的內(nèi)切圓與分別切于三點(diǎn)，由切線長定理知，則，又，可得，則和重合，即的內(nèi)切圓圓心的橫坐標(biāo)為，同理可得的內(nèi)切圓圓心橫坐標(biāo)也為，則軸，且，作于，則即為切點(diǎn)，作于，則，，，在中，可得，即，整理得，D正確.故選：ABD.【典例1-5】（多選）已知拋物線：，過其準(zhǔn)線上的點(diǎn)作的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，下列說法正確的是（

）A． B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)，直線的斜率為2 D．面積的最小值為4【答案】ABD【詳解】對A，易知準(zhǔn)線方程為，∴，：，故選項(xiàng)A正確.對B，設(shè)直線，代入，得，當(dāng)直線與相切時(shí)，有，即，設(shè)，斜率分別為，，易知，是上述方程兩根，故，故.故選項(xiàng)B正確.對C，設(shè)，，其中，.則：，即.代入點(diǎn)，得，同理可得，故：，故.

故選項(xiàng)C不正確.對D，同C，切線方程：；：，代入點(diǎn)有，，故直線的方程為，即，聯(lián)立有，則，故，又到的距離，故，故當(dāng)時(shí)的面積小值為，故D正確；故選：ABD2、中點(diǎn)弦及弦長問題【典例2-1】（2022·江蘇·高二）已知橢圓的左焦點(diǎn)為，過作一條傾斜角為的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，若為線段的中點(diǎn)，則橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】設(shè)點(diǎn)，依題意，，相減得，因直線AB的傾斜角為，即直線AB的斜率為，又為線段的中點(diǎn)，則，，因此有，即，所以橢圓的離心率.故選：A【典例2-2】（2022·內(nèi)蒙古·赤峰二中高二階段練習(xí)（文））已知雙曲線C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，其中一個(gè)焦點(diǎn)為，過F的直線l與雙曲線C交于A、B兩點(diǎn)，且AB的中點(diǎn)為，則C的離心率為(

)A． B． C． D．【答案】B【詳解】由F、N兩點(diǎn)的坐標(biāo)得直線l的斜率．∵雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)為(-2，0)，∴c=2．設(shè)雙曲線C的方程為，則．設(shè)，，則，，．由，得，即，∴，易得，，，∴雙曲線C的離心率．故選：B．【典例2-3】（河南省新鄉(xiāng)市2021-2022學(xué)年高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)文科試題）已知拋物線C：，直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，若弦的中點(diǎn)為，則直線l的斜率為（

）A． B．3 C． D．－3【答案】C【詳解】解：設(shè)，，則，所以，整理得．因?yàn)橄业闹悬c(diǎn)為，所以，即直線的斜率為．故選：C【典例2-4】（多選）（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓與直線交于、兩點(diǎn)，且，為的中點(diǎn)，若是直線上的點(diǎn)，則（

）A．橢圓的離心率為 B．橢圓的短軸長為C． D．到的兩焦點(diǎn)距離之差的最大值為【答案】ACD【詳解】令、，則，則，則，則，則，所以，，所以，，則，，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以，橢圓的焦點(diǎn)在軸上，即，，即，A對；橢圓的方程為，聯(lián)立，消可得，，可得，則，，所以，，則，所以，橢圓的短軸長為，B錯(cuò)；，C對；橢圓的方程為，其標(biāo)準(zhǔn)方程為，，橢圓的左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，如下圖所示：設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為點(diǎn)，則，解得，即點(diǎn)，易知，則,當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)、、三點(diǎn)共線時(shí)，等號成立，D對.故選：ACD．【典例2-5】（多選）（2021·江蘇省灌云高級中學(xué)高二階段練習(xí)）過M（1，1）作斜率為2的直線與雙曲線相交于A、B兩點(diǎn)，若M是AB的中點(diǎn)，則下列表述正確的是（

）A．b<a B．漸近線方程為y=±2xC．離心率 D．b>a【答案】CD【詳解】解：設(shè)，則，兩式相減得，化簡得，因?yàn)镸（1，1）是AB的中點(diǎn)，所以，即，所以，漸近線方程為，離心率為，故選：CD3、圓錐曲線的綜合應(yīng)用【典例3-1】（2022·北京·北大附中三模）已知橢圓經(jīng)過點(diǎn).(1)求橢圓的方程及其離心率；(2)若為橢圓上第一象限的點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)，且有，求點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】(1)，離心率為；(2)【解析】(1)依題知：，所以.所以橢圓方程為，離心率.(2)如圖：設(shè)，第一象限有，①；由得：，又，，因此②，聯(lián)立①②解得，故.【典例3-2】（2022·陜西咸陽·二模（文））已知拋物線，過焦點(diǎn)F作x軸的垂線與拋物線C相交于M、N兩點(diǎn)，.(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若A、B兩點(diǎn)在拋物線C上，且，求證：直線的垂直平分線l恒過定點(diǎn).【解析】(1)因?yàn)檫^焦點(diǎn)且與軸垂直，故，故，解得：，從而拋物線C的方程為.(2)設(shè)線段中點(diǎn)為，，，由題知，直線的垂直平分線斜率存在，設(shè)為k，則：，，.若直線不與x軸垂直，由得，，即，則直線l斜率為，從而直線l的方程為，整理得：恒過點(diǎn).若直線與x軸垂直，則l為直線，顯然也滿足恒過點(diǎn).綜上所述，直線l恒過點(diǎn).【典例3-3】（2021·湖南·模擬預(yù)測）已知雙曲線的其中一個(gè)焦點(diǎn)為，一條漸近線方程為（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知傾斜角為的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，求直線的方程.【答案】（1）（2）（1）由焦點(diǎn)可知，又一條漸近線方程為所以，由可得,解得，，故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）設(shè)，AB中點(diǎn)的坐標(biāo)為則①，②，②①得：，即，又，所以，所以直線的方程為，即【典例3-4】（2020·山東·高考真題）已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的頂點(diǎn)分別為，，，，其中點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，如圖所示.（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若過點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，且，求直線的方程.【答案】（1）；（2）.【詳解】解：（1）由橢圓可知，，所以，，則，因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為，可設(shè)拋物線方程為，所以，即.所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由橢圓可知，，若直線無斜率，則其方程為，經(jīng)檢驗(yàn)，不符合要求.所以直線的斜率存在，設(shè)為，直線過點(diǎn)，則直線的方程為，設(shè)點(diǎn)，，聯(lián)立方程組，消去，得.①因?yàn)橹本€與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，所以，即，解得，且.由①可知，所以，則，因?yàn)?，且，所以，解得或，因?yàn)椋?，所以不符合題意，舍去，所以直線的方程為，即.【典例3-5】（2022·全國·高考真題）已知點(diǎn)在雙曲線上，直線l交C于P，Q兩點(diǎn)，直線的斜率之和為0．(1)求l的斜率；(2)若，求的面積．【答案】(1)；(2)．【解析】(1)因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以，解得，即雙曲線易知直線l的斜率存在，設(shè)，，聯(lián)立可得，，所以，，且．