第24講空間向量及其應(yīng)用學(xué)校____________姓名____________班級(jí)____________一、知識(shí)梳理1.空間向量的有關(guān)概念名稱定義空間向量空間中既有大小又有方向的量稱為空間向量相等向量大小相等、方向相同的向量相反向量大小相等、方向相反的向量共線向量(或平行向量)如果兩個(gè)非零向量的方向相同或者相反，則稱這兩個(gè)向量平行(或共線)共面向量空間中的多個(gè)向量，如果表示它們的有向線段通過(guò)平移后，都能在同一平面內(nèi)，則稱這些向量共面2.空間向量的有關(guān)定理(1)共線向量定理：如果a≠0且b∥a，則存在唯一的實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa.(2)共面向量定理：如果兩個(gè)向量a，b不共線，則向量a，b，c共面的充要條件是，存在唯一的實(shí)數(shù)對(duì)(x，y)，使c＝xa＋yb.由共面向量定理可得判斷空間中四點(diǎn)是否共面的方法：如果A，B，C三點(diǎn)不共線，則點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的充要條件是，存在唯一的實(shí)數(shù)對(duì)(x，y)，使eq\o(AP,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→)).(3)空間向量基本定理：如果空間中的三個(gè)向量a，b，c不共面，那么對(duì)空間中的任意一個(gè)向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.其中，{a，b，c}稱為空間向量的一組基底.3.空間向量的數(shù)量積(1)兩向量的夾角：已知兩個(gè)非零向量a，b，在空間任取一點(diǎn)O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB叫做向量a與b的夾角，記作〈a，b〉，其范圍是[0，π]，若〈a，b〉＝eq\f(π,2)，則稱a與b互相垂直，記作a⊥b.(2)兩向量的數(shù)量積：非零向量a，b的數(shù)量積a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.4.空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律(1)結(jié)合律：(λa)·b＝λ(a·b)；(2)交換律：a·b＝b·a；(3)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.5.空間向量的坐標(biāo)表示及其應(yīng)用設(shè)a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2).向量表示坐標(biāo)表示數(shù)量積a·bx1x2＋y1y2＋z1z2共線b＝λa(a≠0，λ∈R)x2＝λx1，y2＝λy1，z2＝λz1垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)x1x2＋y1y2＋z1z2＝0模|a|eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)＋zeq\o\al(2,1))夾角〈a，b〉(a≠0，b≠0)cos〈a，b〉＝eq\f(x1x2＋y1y2＋z1z2,\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)＋zeq\o\al(2,1))\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2)＋zeq\o\al(2,2)))6.直線的方向向量和平面的法向量(1)直線的方向向量：如果l是空間中的一條直線，v是空間中的一個(gè)非零向量，且表示v的有向線段所在的直線與l平行或重合，則稱v為直線l的一個(gè)方向向量.(2)平面的法向量：如果α是空間中的一個(gè)平面，n是空間的一個(gè)非零向量，且表示n的有向線段所在的直線與平面α垂直，則稱n為平面α的一個(gè)法向量，此時(shí)也稱n與平面α垂直，記作n⊥α.7.空間位置關(guān)系的向量表示位置關(guān)系向量表示直線l1，l2的方向向量分別為v1，v2l1∥l2v1∥v2?v1＝λv2l1⊥l2v1⊥v2?v1·v2＝0直線l的方向向量為v，平面α的法向量為nl∥αv⊥n?v·n＝0l⊥αv∥n?n＝λv平面α，β的法向量分別為n1，n2α∥βn1∥n2?n1＝λn2α⊥βn1⊥n2?n1·n2＝01.在平面中A，B，C三點(diǎn)共線的充要條件是：eq\o(OA,\s\up6(→))＝xeq\o(OB,\s\up6(→))＋yeq\o(OC,\s\up6(→))(其中x＋y＝1)，O為平面內(nèi)任意一點(diǎn).2.在空間中P，A，B，C四點(diǎn)共面的充要條件是：eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))(其中x＋y＋z＝1)，O為空間任意一點(diǎn).考點(diǎn)和典型例題1、空間向量的運(yùn)算及共線、共面定理【典例1-1】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知向量＝(2m＋1，3，m－1)，＝(2，m，－m)，且，則實(shí)數(shù)m的值等于（

）A． B．－2C．0 D．或－2【答案】B【詳解】當(dāng)m＝0時(shí)，=(1，3，－1)，＝(2，0，0)，與不平行，∴m≠0，∵，∴，解得m＝－2.故選：B【典例1-2】（2021·河北·滄縣中學(xué)高三階段練習(xí)），若三向量共面，則實(shí)數(shù)（

）A．3 B．2 C．15 D．5【答案】D【詳解】∵，∴與不共線，又∵三向量共面，則存在實(shí)數(shù)m，n使即，解得．故選：D．【典例1-3】（2020·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)x，，向量，，且，，則（

）A． B． C．3 D．4【答案】C【詳解】因?yàn)橄蛄浚?，且，，所以，，解得，所以向量，，所以，所以，故選：C【典例1-4】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）（多選）若構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列向量共面的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【詳解】選項(xiàng)A，因?yàn)椋怨裁?；選項(xiàng)B，因?yàn)?，所以共面；選項(xiàng)C，在構(gòu)成的平面內(nèi)，不在這個(gè)平面內(nèi)，不符合.選項(xiàng)D，因?yàn)楣簿€，所以共面.故選：ABD【典例1-5】（2022·湖南·高三階段練習(xí)）若直線的方向向量，平面的法向量，且直線平面，則實(shí)數(shù)的值是______.【答案】-1【詳解】直線的方向向量，平面的法向量，直線平面，必有，即向量與向量共線，，∴，解得；故答案為：-1.2、空間向量的數(shù)量積及其應(yīng)用【典例2-1】（2022·河南省杞縣高中模擬預(yù)測(cè)（理））正四面體的棱長(zhǎng)為4，空間中的動(dòng)點(diǎn)P滿足，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】分別取BC，AD的中點(diǎn)E，F(xiàn)，則，所以，故點(diǎn)的軌跡是以為球心，以為半徑的球面，，又，所以，，所以的取值范圍為．故選：D．【典例2-2】（2022·四川·成都市錦江區(qū)嘉祥外國(guó)語(yǔ)高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））已知正四棱臺(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)分別為和，是上底面的邊界上一點(diǎn)．若的最小值為，則該正四棱臺(tái)的體積為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題意可知，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，，由對(duì)稱性，點(diǎn)在是相同的，故只考慮在上時(shí)，設(shè)正四棱臺(tái)的高為，則，，設(shè)，，，因?yàn)樵谏?，所以，則，，，所以由二次函數(shù)的性質(zhì)知，當(dāng)時(shí)，取得最小值為，又因?yàn)榈淖钚≈禐?，所以，解得（?fù)舍），故正四棱臺(tái)的體積為：.故選：A.【典例2-3】（2022·山東泰安·模擬預(yù)測(cè)）《九章算術(shù)》中的“商功”篇主要講述了以立體幾何為主的各種形體體積的計(jì)算，其中塹堵是指底面為直角三角形的直棱柱.在塹堵中，，M是的中點(diǎn)，，N，G分別在棱，AC上，且，，平面MNG與AB交于點(diǎn)H，則___________，___________.【答案】

6

-42【詳解】如圖，延長(zhǎng)MG，交的延長(zhǎng)線于K，連接KN，顯然平面，平面，因此，平面MNG與AB的交點(diǎn)H，即為KN與AB交點(diǎn)，在塹堵中，，則，即，又，則，而，于是得，所以，因，，所以.故答案為：6；-42【典例2-4】（2022·上海徐匯·三模）已知?是空間相互垂直的單位向量，且，，則的最小值是___________.【答案】3【詳解】因?yàn)榛ハ啻怪?，所以，，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為9，則的最小值為3.故答案為：3【典例2-5】（2022·浙江·模擬預(yù)測(cè)）若、、是棱長(zhǎng)為的正四面體棱上互不相同的三點(diǎn)，則的取值范圍是_______.【答案】【詳解】如下圖所示，由任意性，設(shè)點(diǎn)、、分別棱長(zhǎng)為的正三棱錐的棱、、上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，其中，則，所以，，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)線段與棱或重合時(shí)，等號(hào)成立，即的最大值為，，當(dāng)且僅當(dāng)與點(diǎn)或重合，、重合于點(diǎn)或點(diǎn)時(shí)，等號(hào)成立，但、、為不同的三點(diǎn)，則，由上可知的最大值為，取線段的中點(diǎn)，則，當(dāng)且僅當(dāng)線段與棱重合且為棱的中點(diǎn)時(shí)，等號(hào)成立，則.綜上所述，.故答案為：.3、空間向量的應(yīng)用【典例3-1】（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）下圖為正三棱柱的一個(gè)展開(kāi)圖，若A，，，D，，六點(diǎn)在同一個(gè)圓周上，則在原正三棱柱中，直線AE和直線BF所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】六點(diǎn)共圓的示意圖如圖所示．設(shè)原正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為2a，高為2b，圓的半徑為r．則有方程組，解得．從而在原正三棱柱中，高為底面邊長(zhǎng)的倍．設(shè)直線AE和直線BF所成角為，則．由勾股定理，；所以．故選：A【典例3-2】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））在正方體中，E，F(xiàn)分別為的中點(diǎn)，則（

）A．平面平面 B．平面平面C．平面平面 D．平面平面【答案】A【詳解】解：在正方體中，且平面，又平面，所以，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，所以，又，所以平面，又平面，所以平面平面，故A正確；選項(xiàng)BCD解法一：如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，則，，設(shè)平面的法向量為，則有，可取，同理可得平面的法向量為，平面的法向量為，平面的法向量為，則，所以平面與平面不垂直，故B錯(cuò)誤；因?yàn)榕c不平行，所以平面與平面不平行，故C錯(cuò)誤；因?yàn)榕c不平行，所以平面與平面不平行，故D錯(cuò)誤，故選：A.選項(xiàng)BCD解法二：解：對(duì)于選項(xiàng)B，如圖所示，設(shè)，，則為平面與平面的交線，在內(nèi)，作于點(diǎn)，在內(nèi)，作，交于點(diǎn)，連結(jié)，則或其補(bǔ)角為平面與平面所成二面角的平面角，由勾股定理可知：，，底面正方形中，為中點(diǎn)，則，由勾股定理可得，從而有：，據(jù)此可得，即，據(jù)此可得平面平面不成立，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，取的中點(diǎn)，則，由于與平面相交，故平面平面不成立，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，取的中點(diǎn)，很明顯四邊形為平行四邊形，則，由于與平面相交，故平面平面不成立，選項(xiàng)D錯(cuò)誤；故選：A.【典例3-3】（2022·福建龍巖·模擬預(yù)測(cè)）已知直三棱柱的所有棱長(zhǎng)都相等，為的中點(diǎn)，則與所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】取線段的中點(diǎn)，則，設(shè)直三棱柱的棱長(zhǎng)為，以點(diǎn)為原點(diǎn)，、、的方向分別為、、的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、，所以，，，.所以，.故選：C.【典例3-4】（2022·河南省蘭考縣第一高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））已知三棱柱的底面是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，側(cè)棱長(zhǎng)為2，D為