第17講復數(shù)學校____________姓名____________班級____________一、知識梳理1.復數(shù)的有關概念(1)定義：一般地，當a與b都是實數(shù)時，稱a＋bi為復數(shù).復數(shù)一般用小寫字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a稱為z的實部，b稱為z的虛部.(2)分類：滿足條件(a，b為實數(shù))復數(shù)的分類a＋bi為實數(shù)?b＝0a＋bi為虛數(shù)?b≠0a＋bi為純虛數(shù)?a＝0且b≠0(3)復數(shù)相等：a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R).(4)共軛復數(shù)：如果兩個復數(shù)的實部相等，而虛部互為相反數(shù)，則稱這兩個復數(shù)互為共軛復數(shù)，復數(shù)z的共軛復數(shù)用z表示.(5)復數(shù)的模：向量eq\o(OZ,\s\up6(→))＝(a，b)的長度稱為復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的模(或絕對值)，復數(shù)z的模用|z|表示，因此|z|＝eq\r(a2＋b2).當b＝0時，|z|＝eq\r(a2)＝|a|.2.復數(shù)的幾何意義復數(shù)z＝a＋bi與復平面內的點Z(a，b)及平面向量eq\o(OZ,\s\up6(→))＝(a，b)(a，b∈R)是一一對應關系.3.復數(shù)的運算(1)運算法則：設z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.(2)幾何意義：復數(shù)加、減法可按向量的平行四邊形或三角形法則進行.如圖給出的平行四邊形OZ1ZZ2可以直觀地反映出復數(shù)加、減法的幾何意義，即eq\o(OZ,\s\up6(→))＝eq\o(OZ1,\s\up6(→))＋eq\o(OZ2,\s\up6(→))，eq\o(Z1Z2,\s\up6(→))＝eq\o(OZ2,\s\up6(→))－eq\o(OZ1,\s\up6(→)).(3)由復數(shù)加、減法的幾何意義可得||z1|－|z2||≤|z1±z2|≤|z1|＋|z2|.考點和典型例題1、復數(shù)的概念及幾何意義【典例1-1】（2022·江西萍鄉(xiāng)·三模（理））在復平面內，復數(shù)所對應的點關于虛軸對稱，若，則復數(shù)（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】因為對應的點為，所對應的點關于虛軸對稱，所以對應的點為，所以.故選：B.【典例1-2】（2022·江西師大附中三模（理））對任意復數(shù)，為虛數(shù)單位，是z的共軛復數(shù)，則下列結論中不正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】對于A，由，得，則，故A正確；對于B，因為，，所以，故B錯誤；對于C，由，得，所以，故C正確；對于D，因為，故D正確.故選：B.【典例1-3】（2022·浙江·效實中學模擬預測）設是虛數(shù)單位，復數(shù)為實數(shù)，則實數(shù)的值為（

）A．2 B． C． D．【答案】C【詳解】依題意，復數(shù)為實數(shù)，所以.故選：C【典例1-4】（2022·廣東廣州·三模）若復數(shù)滿足，則在復平面內的共軛復數(shù)對應的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【詳解】由得，則，則復平面內的共軛復數(shù)對應的點位于第一象限.故選：A.【典例1-5】（2022·江蘇·南京師大附中模擬預測）設i是虛數(shù)單位，復數(shù)滿足，則復數(shù)的共軛復數(shù)在復平面內對應的點在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【詳解】由題意得，即，故，其對應的點在第四象限，故選：D【典例1-6】（2022·內蒙古·滿洲里市教研培訓中心三模（文））復數(shù)滿足，則的虛部為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因為，所以，所以復數(shù)的虛部為，故選：A.【典例1-7】（2022·浙江省杭州學軍中學模擬預測）在復平面內，復數(shù)對應的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【詳解】由題得，即為復平面的點，故在第三象限.故選：C．【典例1-8】（2022·天津·二模）如果復數(shù)z滿足，那么的最大值是______．【答案】2＃＃＋2【詳解】設復數(shù)z在復平面中對應的點為∵，則點到點的距離為2，即點的軌跡為以為圓心，半徑為2的圓表示點到點的距離，結合圖形可得故答案為：．【典例1-9】（2021·上海市七寶中學模擬預測）若純虛數(shù)滿足，則實數(shù)等于_________.【答案】1【詳解】解：因為，所以，因為為純虛數(shù)，所以，解得；故答案為：【典例1-10】（2022·天津和平·二模）復數(shù)：滿足（是虛數(shù)單位），則復數(shù)z在復平面內所表示的點的坐標為___________.【答案】【詳解】由題意得：，對應的點的坐標為.故答案為：2、復數(shù)的運算【典例2-1】（2022·江西·臨川一中模擬預測（理））已知，是z的共軛復數(shù)，則（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】由已知可得，因此，.故選：B.【典例2-2】（2022·江西師大附中三模（文））已知是虛數(shù)單位，則的虛部是（

）A． B． C．1 D．【答案】D【詳解】，故其虛部為，故選：D.【典例2-3】（2022·四川·成都市錦江區(qū)嘉祥外國語高級中學模擬預測（理））已知i為虛數(shù)單位，則復數(shù)的虛部為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】,所以的虛部為.故選：A.【典例2-4】（2022·全國·模擬預測）已知復數(shù)，i為虛數(shù)單位，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】，所以，所以.故選：A．【典例2-5】（2022·湖南·長沙一中模擬預測）已知復數(shù)，是的共軛復數(shù)，則（

）A．0 B． C．1 D．2【答案】B【詳解】∵，所以.故選：B．【典例2-6】（2022·山東·煙臺二中模擬預測）已知復數(shù)z滿足（i為虛數(shù)單位），則z的共軛復數(shù)=（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因為所以.故選：A【典例2-7】（2022·陜西·西北工業(yè)大學附屬中學模擬預測（理））復數(shù)的共軛復數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】,所以復數(shù)的共軛復數(shù)為.故選：A.【典例2-8】（2022·吉林長春·模擬預測（理））若，則（

）A．1 B． C．2 D．4【答案】A【詳解】,,，所以.故選：A【典例2-9】（2022·上?！つM預測）若（i是虛數(shù)單位）是關于x的實系數(shù)方程的一個復數(shù)根，則_________．【答案】##【詳解】∵實系數(shù)一元二次方程的一個虛根為，∴其共軛復數(shù)也是方程的根.由根與系數(shù)的關系知，，∴，.∴故答案為：【典例2-10】（2022