第16講平面向量及其應(yīng)用學(xué)校____________姓名____________班級(jí)____________一、知識(shí)梳理1.平面向量基本定理(1)平面向量的基底平面內(nèi)不共線的兩個(gè)向量a與b組成的集合{a，b}，常稱為該平面上向量的一組基底，如果c＝xa＋yb，則稱xa＋yb為c在基底{a，b}下的分解式.(2)平面向量基本定理如果平面內(nèi)兩個(gè)向量a與b不共線，則對(duì)該平面內(nèi)任意一個(gè)向量c，存在唯一的實(shí)數(shù)對(duì)(x，y)，使得c＝xa＋yb.2.平面向量的坐標(biāo)一般地，給定平面內(nèi)兩個(gè)相互垂直的單位向量e1，e2，對(duì)于平面內(nèi)的向量a，如果a＝xe1＋ye2，則稱(x，y)為向量a的坐標(biāo)，記作a＝(x，y).3.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示假設(shè)平面上兩個(gè)向量a，b滿足a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a±b＝(x1±x2，y1±y2)，λa＝(λx1，λy1)(λ∈R)，ua±vb＝(ux1±vx2，uy1±vy2)(u，v∈R).(2)向量模的坐標(biāo)計(jì)算公式如果向量a＝(x，y)，則|a|＝eq\r(x2＋y2).(3)向量坐標(biāo)的求法①若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo).②設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2).4.向量平行的坐標(biāo)表示設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b?x2y1＝x1y2.5.平面向量數(shù)量積的有關(guān)概念(1)向量的夾角：給定兩個(gè)非零向量a，b，在平面內(nèi)任選一點(diǎn)O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則稱[0，π]內(nèi)的∠AOB為向量a與向量b的夾角，記作〈a，b〉.(2)向量的垂直：當(dāng)〈a，b〉＝eq\f(π,2)時(shí)，稱向量a與向量b垂直，記作a⊥b.規(guī)定零向量與任意向量垂直.(3)數(shù)量積的定義：一般地，當(dāng)a與b都是非零向量時(shí)，稱|a||b|cos〈a，b〉為向量a與b的數(shù)量積(也稱為內(nèi)積)，記作a·b,即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.(4)數(shù)量積的幾何意義：①投影向量：設(shè)非零向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，過A，B分別作直線l的垂線，垂足分別為A′，B′，則稱向量eq\o(A′B′,\s\up6(→))__為向量a在直線l上的投影向量或投影.②投影的數(shù)量：一般地，如果a，b都是非零向量，則稱|a|cos〈a，b〉為向量a在向量b上的投影的數(shù)量.投影的數(shù)量與投影的長度有關(guān)，投影的數(shù)量既可能是非負(fù)數(shù)，也可能是負(fù)數(shù).③兩個(gè)非零向量a，b的數(shù)量積a·b，等于a在向量b上的投影的數(shù)量與b的模的乘積.6.平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示設(shè)向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ為向量a，b的夾角.(1)數(shù)量積：a·b＝|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2.(2)模：|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)).(3)夾角：cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))·\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2))).(4)兩非零向量a⊥b的充要條件：a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.(5)|a·b|≤|a||b|(當(dāng)且僅當(dāng)a∥b時(shí)等號(hào)成立)?|x1x2＋y1y2|≤eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))·eq\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2)).7.平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律(1)a·b＝b·a(交換律).(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(結(jié)合律).(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).8.平面幾何中的向量方法三步曲：(1)用向量表示問題中的幾何元素，將幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；(2)通過向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系；(3)把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.考點(diǎn)和典型例題1、平面向量基本定理【典例1-1】（2022·江蘇蘇州·模擬預(yù)測(cè)）在中，，點(diǎn)D在線段上，點(diǎn)E在線段上，且滿足，交于F，設(shè)，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】設(shè)，，因?yàn)樗杂校虼?，因?yàn)?，，，所以，故選：B【典例1-2】（2022·江蘇·南京外國語學(xué)校模擬預(yù)測(cè)）已知均為單位向量，且滿足，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】，同理．故選：B.【典例1-3】（2022·江西·模擬預(yù)測(cè)（理））已知圓C的半徑為2，點(diǎn)A滿足，E，F(xiàn)分別是C上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，則的取值范圍是（

）A．[6，24] B．[4，22] C．[6，22] D．[4，24]【答案】C【詳解】取EF的中點(diǎn)M，連接CM，則，，又，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)向量與共線同向時(shí)，取得最大值22；向量與共線反向時(shí)，取得最小值6，故選：C．【典例1-4】（2022·河南·模擬預(yù)測(cè)（理））如圖，在中，M為BC的中點(diǎn)，，則m＋n＝（

）A．1 B． C． D．2【答案】C【詳解】，而，故，而且不共線，故，故選：C.【典例1-5】（2022·黑龍江·哈九中模擬預(yù)測(cè)（文））設(shè)，是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，，，，若A，B，C三點(diǎn)共線，則的最小值是（

）A．8 B．6 C．4 D．2【答案】A【詳解】因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線，所以向量、共線，所以存在，使得，即，即，因?yàn)椤⒉还簿€，所以，消去，得，因?yàn)椋?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立.故選：A2、坐標(biāo)運(yùn)算及其數(shù)量積【典例2-1】（2022·湖北·華中師大一附中模擬預(yù)測(cè)）已知向量，，若與反向共線，則的值為（

）A．0 B．48 C． D．【答案】C【詳解】由題意，得，又與反向共線，故，此時(shí)，故.故選：C.【典例2-2】（2022·全國·二模（理））已知向量，，，若滿足，，則向量的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：因?yàn)橄蛄浚?，，所以，又，，所以，解得，所以向量的坐?biāo)為，故選：D.【典例2-3】（2022·河南·高三階段練習(xí)（理））在長方形中，，，點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)，且保持，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：如圖，以為原點(diǎn)，所在的直線為軸，所在的直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，，，，則，，，設(shè)，則，則，，，，，，，，其中，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為．故選：A．【典例2-4】（2022·河南·方城第一高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））已知向量，為單位向量，，則與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由，兩邊平方可得：，因?yàn)橄蛄浚瑸閱挝幌蛄?，所以，?因?yàn)?，所以，即與的夾角為.故選：C【典例2-5】（2022·內(nèi)蒙古·滿洲里市教研培訓(xùn)中心三模（文））若，，下列正確的是（

）A． B．C．方向上的投影是 D．【答案】C【詳解】由已知，，所以，，因?yàn)?，所以不平行，A錯(cuò)，因?yàn)?，所以不垂直，B錯(cuò)，因?yàn)榉较蛏系耐队盀?，C對(duì)，因?yàn)?，所以不垂直，D錯(cuò)，故選：C.3、綜合應(yīng)用【典例3-1】（2022·北京·潞河中學(xué)三模）已知菱形的邊長為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：，則.故選：A.【典例3-2】（2022·北京工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)三模）已知向量滿足，與的夾角為，則當(dāng)實(shí)數(shù)變化時(shí)，的最小值為（

）A． B．2 C． D．2【答案】A【詳解】如圖，設(shè)，當(dāng)時(shí)，取得最小值，過作，即取得最小值為，因?yàn)榕c的夾角為，所以，所以.故選：A.【典例3-3】（2022·內(nèi)蒙古赤峰·三模（文））若向量，滿足，，，則與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：因?yàn)?，，，所以，即，所以，設(shè)與的夾角為，則，因?yàn)椋?；故選：B【典例3-4】（2022·重慶八中模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平行四邊形中，E是的中點(diǎn)，，與相交于O．若，，則的長為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【詳解】在平行四邊形中，E是的中點(diǎn)，，與相交于O．設(shè)，則由，可得則，解之得，則則又，則，解之得，即的長為4故選：C【典例3-5】（2022·寧夏·平羅中學(xué)三模（文））已知函數(shù)，向量，，在銳角中內(nèi)角的對(duì)邊分別為，(1)若，求角的大??；(2)在（1）的條件下，，求的最大值.【答案】(1)(2)【解析】(1)由題所以，即又因?yàn)椋裕?(2)由余弦定理，代入數(shù)據(jù)得：，整