第10講導數(shù)與函數(shù)的單調性學校____________姓名____________班級____________一、知識梳理1.函數(shù)的單調性與導數(shù)的關系條件恒有結論函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上可導f′(x)＞0f(x)在(a，b)上單調遞增f′(x)＜0f(x)在(a，b)上單調遞減f′(x)＝0f(x)在(a，b)上是常數(shù)函數(shù)2.利用導數(shù)判斷函數(shù)單調性的步驟第1步，確定函數(shù)的定義域；第2步，求出導函數(shù)f′(x)的零點；第3步，用f′(x)的零點將f(x)的定義域劃分為若干個區(qū)間，列表給出f′(x)在各區(qū)間上的正負，由此得出函數(shù)y＝f(x)在定義域內的單調性.考點和典型例題1、不含參函數(shù)的單調性【典例1-1】1．（2022·湖北·房縣第一中學模擬預測）已知函數(shù)，不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】解：因為，所以，所以在上單調遞減，則等價于，解得，即原不等式的解集為.故選：B.2．（2021·西藏·林芝市第二高級中學高三階段練習（理））函數(shù)的單調增區(qū)間是(

)A． B． C． D．【答案】D【詳解】∵，∴，當x＞2時，，∴f(x)的單調遞增區(qū)間是．故選：D．3．（2022·河南·模擬預測（文））已知函數(shù)的導函數(shù)為，若對任意的，都有，且，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】設函數(shù)，所以，因為，所以，即，所以在上單調遞減，因為，所以，因為，整理得，所以，因為在上單調遞減，所以.故選：C.4．（2022·浙江金華·模擬預測）已知函數(shù)(1)當時，討論的單調區(qū)間；(2)當時，若有兩個零點，且，求證：.【解析】(1)當時，所以，當時，在上增，在上減；當時，在上減，在上增.(2)方法一：參數(shù)分離有兩個不同的零點令，則令得當時，，所以：在遞增；當時，，所以：在遞減.顯然時，.作出的圖象如下：所以：∴，所以：，所以，；下面證明：.要證：，因為所以：由（1）得.所以，原不等式得證.綜上所述：.方法二：部分參數(shù)分離零點.從而為的圖像與交點的橫坐標.對給定的a，令使得，即，得，存在且唯一，此時的圖像與有唯一交點.又，由（1）得，當時，，所以，（這里要說明）又因為成立.5．（2022·河南·模擬預測（文））已知函數(shù)，（且）.(1)當時，求的單調區(qū)間；(2)若函數(shù)有兩個零點，求a的取值范圍.【答案】(1)增區(qū)間為，減區(qū)間為(2)【解析】(1)當時，，當時，，當時；故的單調遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為.(2)由題意知在有兩個不等實根，，令，，所以在上單調遞增，在上單調遞減；又，，，，，，作出的圖象如圖所示：由圖可知，解得且，即a的取值范圍為.含參函數(shù)的單調性【典例2-1】1．（2022·四川綿陽·二模（文））若是函數(shù)的極大值點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】，若時，當時，；當時，；則在上單調遞減；在上單調遞增.所以當時，取得極小值，與條件不符合,故滿足題意.當時，由可得或；由可得所以在上單調遞增；在上單調遞減，在上單調遞增.所以當時，取得極大值，滿足條件.當時，由可得或；由可得所以在上單調遞增；在上單調遞減，在上單調遞增.所以當時，取得極小值，不滿足條件.當時，在上恒成立，即在上單調遞增.此時無極值.綜上所述：滿足條件故選：A2．（2021·湖北·應城市第一高級中學高三階段練習）已知函數(shù)，若不等式在區(qū)間上恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：由已知可得即為，設，，則，當時，顯然，當時，在上也成立，所以時，在上單調遞減，恒成立；當時，當時，，當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，于是，存在，使得，不滿足，舍去此情況，綜上所述，.故選：A.3．（2021·黑龍江綏化·高三階段練習（理））已知，則下列說法正確的是（

）A．當時，有極大值點和極小值點 B．當時，無極大值點和極小值點C．當時，有最大值 D．當時，的最小值小于或等于0【答案】D【詳解】由題設，且，當時，則在上遞增，無極值點和最大值，A、C錯誤；當時，若則，遞減；則，遞增；所以，即無極大值點，有極小值點，B錯誤；令且，則，當時，遞增；當時，遞減；所以，即的最小值小于或等于0，D正確；故選：D4．（2022·全國·模擬預測）（多選題）已知，則（

）A．當，，時，B．當，，時，C．當，，時，D．當，，時，【答案】AC【詳解】設，因為，所以，當，時，，即.易知，當時，，所以在上單調遞減，所以，故選項A正確，選項B錯誤.當，時，，即.當時，令，解得，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以，故選項C正確，選項D錯誤.故選：AC.5．（2022·廣東佛山·三模）已知函數(shù)，其中，．(1)討論的單調性；(2)當時，是的零點，過點作曲線的切線，試證明直線也是曲線的切線．【解析】(1)解：因為定義域為，所以，①當時，在上恒成立，所以函數(shù)在上單調遞增，沒有減區(qū)間；②當時，令時，，且，令得，所以的增區(qū)間為．令得，所以的減區(qū)間為(2)解：當時，是的零點，所以即由得，由得．所以過點作曲線的切線的方程為（*）假設曲線在點的切線與斜率相等，所以，所以，即把代入（*）式得所以點在切線上．所以直線也是曲線的切線根據(jù)函數(shù)的單調性求參數(shù)【典例3-1】1．（2022·福建南平·三模）對任意的，當時，恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】，即，令，由題意得在上單調遞減，故，即在上恒成立，則，故選：C2．（2022·全國·高三專題練習）若函數(shù)（且）在區(qū)間內單調遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】函數(shù)在區(qū)間內有意義，則，設則，(1)當時，是增函數(shù)，要使函數(shù)在區(qū)間內單調遞增，需使在區(qū)間內內單調遞增，則需使，對任意恒成立,即對任意恒成立；因為時，所以與矛盾，此時不成立.(2)當時，是減函數(shù)，要使函數(shù)在區(qū)間內單調遞增，需使在區(qū)間內內單調遞減，則需使對任意恒成立，即對任意恒成立，因為，所以，又，所以.綜上，的取值范圍是故選：B3．（2020·天津市第八中學高三期中）若函數(shù)是上的單調函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（

）．A． B． C． D．【答案】B【詳解】若函數(shù)是上的單調函數(shù)，只需在上恒成立，即，∴．故的取值范圍為．故選：B.4．（2018·浙江·模擬預測）若定義在上的函數(shù)滿足，且的導函數(shù)的圖象如圖所示，記，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因為導函數(shù)的圖象為直線，且，所以函數(shù)為過原點的二次函數(shù)，設，所以由導函數(shù)圖象可知在上單調遞增，在上單調遞減，則，又由，得，則，，所以，，所以，故選：C5．（2022·山東省淄博實驗中學高三期末）已知函數(shù)(1)求函數(shù)的極值；(2)設，為兩個不等的正數(shù)，且，若不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【解析】(1)函數(shù)定義域為R，求導得，當時，，當時，，因此，函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，所以當時，函數(shù)有極大值1，無極小值.(2)令，即，則，依題意，兩個不等的實數(shù)滿足，且不等式恒成立，不妨令，由(1)知，在上遞增，在上遞減，且當時，恒成立，而，因此有，由知，，，則有，而在上遞減，從而有，即，兩邊取對數(shù)得：，即，，令，，，當時，，則在上單調遞增，，符合題意，當時，即，當時，，在上單調遞減，當時，，不符合題意，綜上得：，所以實數(shù)的取值范圍是.函數(shù)單調性的應用【典例4-1】1．（2022·全國·模擬預測）已知函數(shù)有兩個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是(

)A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題意知方程有兩個不同的實數(shù)根，令，作出的圖象如圖所示，數(shù)形結合可知直線與函數(shù)的圖象在上有兩個不同的交點．當直線與函數(shù)的圖象相切時，設切點為，則，，則①，當時，，則②，由①②可得，，∴，得，故選：A．2．（2022·全國·模擬預測）若關于x的不等式在上恒成立，則實數(shù)m的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】依題意，．令，故．令，則，故在上單調遞增，且，，所以存在，使得，即，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，故．由，得，即，即，故．因為函數(shù)在上單調遞增，所以，，故，解得.故選:A．3．（2022·全國·模擬預測）已知函數(shù)，若有解，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：因為的定義域為R，，所以函數(shù)為奇函數(shù)，因為，所以函數(shù)在R上單調遞增.因為有解，即有解，所以有解，由函數(shù)在R上單調遞增，可得有解.解法一：令，則.①當時，，函數(shù)在R上單調遞增，，符合題意；②當時，，不符合題意；③當時，令，得；當時，，函數(shù)單調遞減，當時，，函數(shù)單調遞增，因此，，解得.綜上，實數(shù)的取值范圍為.解法二:若，則有解.令，則，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，所以，故，即.若，則有解，易知恒小于零，所以，即.若，則，不符合題意.綜上，實數(shù)的取值范圍為.解法三：若，如圖，在同一平面直角坐標系內作出與的圖象，當直線與函數(shù)的圖象相切時，設切點為，則切線方程為，再結合切線過原點得，故，由有解，得函數(shù)的部分圖象在直線的下方，所以，數(shù)形結合可知.若，易知函數(shù)的圖象必有一部分在直線的下方，符合題意.若，由函數(shù)的單調性可知，不符合題意.綜上，實數(shù)的取值范圍為.故選：D4．（2022·山東威?！と＃┮阎瘮?shù)．(1)當時，求的單調區(qū)間；(2)若有兩個極值點，且，從下面兩個結論中選一個證明．①；②．【解析】(1)，當時，，令，解得；令，解得或，所以的單增區(qū)間為；單減區(qū)間為，．(2)證明①：由題意知，是的兩根，則，，將代入得，，要證明，只需證明，即，因為，所以，只需證明，令，則，只需證明，即，令，，所以在上單調遞減，可得，所以，綜上可知，．證明②：設，因為有兩個極值點，所以，解得，因為，所以，，由題意可知，可得代入得，，令，，當，所以在上單調遞減，當，所以在上單調速增，因為，所以，由，可得，所以，所以，所以，即．5．（202