2025年事業(yè)單位招聘考試教師招聘數(shù)學(xué)學(xué)科專業(yè)知識(shí)試卷（數(shù)值分析）考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每小題2分，共10分）1.當(dāng)計(jì)算一個(gè)函數(shù)值f(x)≈T(x)時(shí)，若|f(x)-T(x)|≤δ，則稱T(x)是f(x)的一個(gè)__________精度至少為δ的近似值。A.絕對B.相對C.有效D.實(shí)際2.設(shè)x^*是方程f(x)=0的根，x_n是方程的近似根，若|x_n+1-x^*|≤α|x_n-x^*|²(α為常數(shù))，則該迭代法收斂速度屬于__________。A.線性B.二次C.收斂D.超線性3.對于線性方程組Ax=b，若矩陣A的條件數(shù)κ(A)很大，則__________。A.方程組有唯一解B.方程組無解C.方程組的解對初始誤差和計(jì)算誤差非常敏感D.方程組的解對初始誤差和計(jì)算誤差不敏感4.已知函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，若用梯形公式計(jì)算積分∫_a^bf(x)dx，其代數(shù)精度為__________。A.0B.1C.2D.35.若要計(jì)算矩陣A的主特征值，并且A對應(yīng)于該特征值的特征向量不需要計(jì)算，則比較適用且效率較高的方法是__________。A.冪法B.奇異值分解C.QR算法D.反冪法二、填空題（每小題3分，共15分）6.在一維搜索中，黃金分割法（0.618法）是一種基于__________原理的區(qū)間縮減方法，其區(qū)間縮短率約為__________。7.設(shè)插值節(jié)點(diǎn)為x₀,x₁,...,x_n，n次拉格朗日插值多項(xiàng)式L_n(x)滿足L_n(x_i)=f(x_i)（i=0,1,...,n），則插值誤差R_n(x)=f(x)-L_n(x)可以表示為R_n(x)=__________。8.用雅可比（Jacobi）迭代法求解線性方程組Ax=b時(shí)，為了保證迭代序列{x_n}收斂，矩陣A必須滿足的條件之一是__________。9.數(shù)值微分中，利用函數(shù)在節(jié)點(diǎn)x₀,x₀+h,x₀+2h處的函數(shù)值構(gòu)造的具有二階精度的向前差分公式為f'₀≈__________。10.若一個(gè)數(shù)值方法在舍入誤差的影響下，計(jì)算結(jié)果會(huì)越來越偏離真實(shí)值，則稱該方法是__________的。三、計(jì)算題（每小題6分，共18分）11.用二分法求方程x³-x-1=0在區(qū)間[1,2]內(nèi)的根，要求誤差不超過10^-3。12.對于線性方程組?x=b，其中E=[10.9;0.81]，b=[2;2]，用高斯消元法求其解x。13.已知函數(shù)f(x)=e^x在節(jié)點(diǎn)x₀=0,x₁=0.1處的值分別為f(x₀)=1,f(x₁)=e^0.1，求f(x)在這兩個(gè)點(diǎn)的埃爾米特插值多項(xiàng)式H(x)。四、算法設(shè)計(jì)題（每小題7分，共14分）14.設(shè)計(jì)一個(gè)簡單的迭代公式，用于求解方程x²-2x-3=0的正根，并分析其收斂性。15.給定函數(shù)f(x)=sin(x)，區(qū)間[a,b]和子區(qū)間數(shù)目n，寫出用復(fù)合梯形公式計(jì)算定積分∫_a^bf(x)dx的算法步驟。五、綜合應(yīng)用題（每小題8分，共16分）16.證明：對于任何實(shí)數(shù)a≠0，迭代格式x_n+1=cos(x_n)-asin(x_n)都收斂于方程x=cos(x)-asin(x)的根。17.已知函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上二階連續(xù)可導(dǎo)，且f''(x)≠0。比較復(fù)合辛普森公式與復(fù)合梯形公式在計(jì)算積分∫_a^bf(x)dx時(shí)的精度。試卷答案一、選擇題1.A2.B3.C4.B5.A二、填空題6.對稱減半；1-0.6187.f(x)*[(x-x₁)(x-x₂)…(x-x_n)]/[(x₀-x₁)(x₀-x₂)…(x₀-x_n)]8.A的任意一個(gè)嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣9.[f(x₀+2h)-f(x₀+h)]/h10.不穩(wěn)定三、計(jì)算題11.x₁=1.5,x₂=1.25,x₃=1.375,x₄=1.4375,x₅=1.40625,x₆=1.409375,x₇=1.4078125，取x≈1.408。(每次取中點(diǎn)，判斷根所在區(qū)間，區(qū)間長度小于10^-3停止)12.x=[1;0](高斯消元，化為上三角后回代求解)13.H(x)=1+10(x-0)+50(x-0)²(埃爾米特插值，利用插值條件構(gòu)造三次多項(xiàng)式)四、算法設(shè)計(jì)題14.迭代公式：x_n+1=(x_n+3/x_n)/2。分析：設(shè)根為α，則x_n+1-α=(x_n-α)(1-3/(x_nα))。由于α=3/α，有|1-3/(x_nα)|<1當(dāng)|x_n|>√3。故對于x₀>√3，該迭代法收斂。15.算法步驟：a.計(jì)算步長h=(b-a)/n。b.計(jì)算各節(jié)點(diǎn)函數(shù)值f(x₀)=f(a),f(x_i)=f(a+ih)(i=1,2,...,n-1),f(x_n)=f(b)。c.計(jì)算積分近似值S=h/2*[f(x₀)+2*Σf(x_i)(i=1,2,...,n-1)+f(x_n)]。五、綜合應(yīng)用題16.證明：令g(x)=cos(x)-asin(x)。若x_n→α，則α滿足x=g(x)?？疾靏'(x)=-sin(x)-acos(x)。|g'(α)|=|-sin(α)-acos(α)|≤|sin(α)|+|a||cos(α)|。由于α是x=g(x)的根，且sin²(α)+cos²(α)=1，若α≠kπ(k為整數(shù))，則|sin(α)|+|cos(α)|=√(1+a²)>1。若α=kπ，則g'(α)=-acos(kπ)=±a≠0(因?yàn)閍≠0)。因此|g'(α)|≥1，不滿足收斂條件。需重新分析，考慮迭代法收斂的局部性。設(shè)x₀充分接近α，在(x₀,α)內(nèi)考察g'(x)。若a>0，x₀>α?xí)rg'(x)<0，g(x)嚴(yán)格遞減，可能收斂。若a<0，x₀<α?xí)rg'(x)>0，g(x)嚴(yán)格遞增，可能收斂。但需要嚴(yán)格證明g'(x)在α附近小于1的充分條件。更簡單的思路是考察不動(dòng)點(diǎn)迭代x_n+1=cos(x_n)-asin(x_n)的迭代函數(shù)τ(x)=cos(x)-asin(x)。若x_n→α，則α滿足α=τ(α)?？疾靯τ'(x)|=|-sin(x)-acos(x)|。在α附近，若能保證|τ'(α)|<1，則迭代收斂。具體證明需對α的取值范圍討論。此題可能存在表述或考察點(diǎn)不嚴(yán)謹(jǐn)之處，常見收斂性證明可能基于其他迭代法或特定條件。17.比較：設(shè)n為偶數(shù)。復(fù)合梯形公式T_2n的誤差為E_T=-[(b-a)³/12n²]f''(ξ)，其中ξ∈[a,b]。復(fù)合辛普森公式S_n(n為偶數(shù))的誤差為E_S=-[(b-a)⁵/180n⁴]f''''(η)，其中η∈[a,b]。由于f''(x