相似三角形幾何題型分類練習(xí)冊相似三角形是平面幾何的核心內(nèi)容之一，其知識點的應(yīng)用貫穿于諸多復(fù)雜幾何問題之中。掌握相似三角形的判定與性質(zhì)，以及能夠熟練應(yīng)對各種與之相關(guān)的題型，是提升幾何解題能力的關(guān)鍵。本練習(xí)冊旨在通過系統(tǒng)的題型分類，幫助學(xué)習(xí)者梳理思路，鞏固基礎(chǔ)，提升綜合運用知識的能力。一、相似三角形的判定類題型此類題型主要考察對相似三角形判定定理的理解與直接應(yīng)用。解決此類問題的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確識別圖形中的已知條件，并將其與判定定理相對應(yīng)。（一）已知一角對應(yīng)相等，尋求另一角相等或夾邊成比例題型特征：題目中明確給出一組對應(yīng)角相等，要求證明兩個三角形相似，或根據(jù)相似求出某些線段的關(guān)系。解題策略：1.若能在兩個三角形中找到另一組對應(yīng)角相等，則可根據(jù)“兩角分別相等的兩個三角形相似”（AA判定定理）得證。2.若無法直接找到另一組角相等，則應(yīng)考慮已知等角的兩邊是否對應(yīng)成比例，若成比例，則可根據(jù)“兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似”（SAS判定定理）得證。3.注意觀察圖形中的隱含條件，如對頂角、公共角、平行線所形成的同位角或內(nèi)錯角等，這些往往是尋找等角的突破口。例題簡釋：如圖，在△ABC中，點D在AB上，∠ACD=∠B。求證：△ACD∽△ABC。（思路：此題為典型的已知一組角相等（∠ACD=∠B），且存在公共角∠A，根據(jù)AA定理可直接判定相似。）（二）已知兩邊對應(yīng)成比例，尋求夾角相等或第三邊成比例題型特征：題目中給出兩組對應(yīng)邊成比例，要求證明相似或利用相似解決問題。解題策略：1.優(yōu)先觀察這兩組對應(yīng)邊的夾角是否相等，若相等，則直接應(yīng)用SAS判定定理。2.若夾角關(guān)系不明確，則需考慮第三組對應(yīng)邊是否也成比例，若成比例，則應(yīng)用“三邊成比例的兩個三角形相似”（SSS判定定理）。3.注意“夾角”的重要性，若不是夾角，即使兩邊成比例，也不能判定相似（直角三角形除外，可考慮HL的相似判定）。例題簡釋：在△ABC與△DEF中，已知AB/DE=AC/DF，∠A=∠D。求證：△ABC∽△DEF。（思路：直接應(yīng)用SAS判定定理，強調(diào)∠A與∠D分別是兩組對應(yīng)邊的夾角。）（三）直角三角形相似的判定題型特征：涉及直角三角形，需要判定其相似。解題策略：1.對于兩個直角三角形，除了可以應(yīng)用上述一般三角形的判定方法外，還可以利用其特殊性：*有一個銳角對應(yīng)相等（AA的特殊情況）。*兩組直角邊對應(yīng)成比例（SAS的特殊情況）。*斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例（HL相似判定）。2.注意區(qū)分直角三角形全等的HL定理與相似的HL判定的異同。二、相似三角形的性質(zhì)應(yīng)用類題型在判定三角形相似之后，我們可以利用其性質(zhì)解決與對應(yīng)邊、對應(yīng)角、周長、面積等相關(guān)的計算或證明問題。（一）利用相似比求線段長度或比值題型特征：已知兩個三角形相似，給出某些線段的長度，求另外一些線段的長度或它們之間的比值。解題策略：1.首先明確兩個相似三角形的相似比（注意順序性）。2.根據(jù)“相似三角形對應(yīng)邊成比例”這一核心性質(zhì)，列出比例式。3.仔細確認對應(yīng)邊，避免因?qū)?yīng)關(guān)系錯誤導(dǎo)致計算失誤。4.對于較復(fù)雜的圖形，可通過標(biāo)注字母、分離圖形等方式，清晰找出對應(yīng)線段。例題簡釋：若△ABC∽△A'B'C'，相似比為k，AB=a，BC=b，CA=c，求A'B'，B'C'，C'A'的長度。（思路：直接應(yīng)用相似比，A'B'=AB/k=a/k，以此類推，注意相似比的順序，若題目說“△ABC與△A'B'C'的相似比為k”，則通常指前者比后者。）（二）利用相似比求周長比或面積比題型特征：已知相似比，求周長比或面積比；或已知周長比、面積比，反求相似比。解題策略：1.牢記“相似三角形周長的比等于相似比”。2.牢記“相似三角形面積的比等于相似比的平方”。3.注意面積比與相似比的平方關(guān)系，避免混淆。例題簡釋：兩個相似三角形的相似比為m:n，則它們的周長比為多少？面積比為多少？若其中一個三角形的面積為S，則另一個三角形的面積為多少？（思路：周長比等于m:n，面積比等于m2:n2。面積則需根據(jù)題目中哪個三角形是前者來確定，可能是S*(m2/n2)或S*(n2/m2)。）（三）利用相似性質(zhì)證明角相等或線段成比例題型特征：需證明的結(jié)論是角相等或線段成比例，可通過證明三角形相似，再利用其性質(zhì)（對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊成比例）來推導(dǎo)。解題策略：1.若要證角相等，可嘗試證明包含這兩個角的兩個三角形相似。2.若要證線段成比例（或乘積式），可嘗試證明包含這些線段的兩個三角形相似，然后利用相似三角形對應(yīng)邊成比例來證明。3.對于乘積式，通常先將其轉(zhuǎn)化為比例式，再尋找對應(yīng)的相似三角形。例題簡釋：如圖，已知AB∥CD，AC與BD交于點O。求證：OA/OC=OB/OD。（思路：可通過證明△AOB∽△COD（利用平行線內(nèi)錯角相等，對頂角相等，AA判定），再根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例即可得證。）三、相似三角形與比例線段綜合類題型此類題型更為靈活，常需結(jié)合平行線分線段成比例定理（及其推論）與相似三角形的知識綜合解決。（一）“A”型與“X”型相似（平行線型）題型特征：圖形中存在平行關(guān)系（或可通過作輔助線構(gòu)造平行關(guān)系），形成“A”型（公共角型）或“X”型（對頂角型）的相似三角形基本模型。解題策略：1.熟悉“A”型（如：DE∥BC，則△ADE∽△ABC）和“X”型（如：AB∥CD，AC、BD交于O，則△AOB∽△COD）的基本結(jié)構(gòu)。2.善于從復(fù)雜圖形中識別出這些基本模型。3.利用平行線分線段成比例定理及其推論（即“A”型、“X”型的比例關(guān)系），或直接利用相似三角形性質(zhì)。例題簡釋：如圖，在△ABC中，DE∥BC，AD=2，DB=3，AE=1，求EC的長。（思路：典型“A”型相似，△ADE∽△ABC，所以AD/AB=AE/AC，即2/(2+3)=1/(1+EC)，解方程可得EC。）（二）含公共邊或公共角的相似三角形題型特征：兩個三角形共享一條公共邊或一個公共角，易形成相似條件。解題策略：1.當(dāng)出現(xiàn)公共角時，若能再找到一組角相等或夾公共角的兩邊對應(yīng)成比例，則可判定相似。2.公共邊往往是相似比中對應(yīng)的一份，需注意其在不同三角形中的對應(yīng)位置。例題簡釋：如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D。求證：AB2=BD·BC。（思路：通過證明△ABD∽△CBA（公共角∠B，直角相等），得到AB/BC=BD/AB，交叉相乘即得AB2=BD·BC。此為射影定理的一部分。）（三）需添加輔助線構(gòu)造相似三角形的問題題型特征：題目所給圖形中，相似三角形的條件不明顯，需要通過添加輔助線（如作平行線、垂線等）來構(gòu)造出相似的基本圖形。解題策略：1.作平行線是最常用的輔助線方法，可構(gòu)造出“A”型或“X”型相似。2.對于含有中點、中線的問題，可考慮倍長中線或構(gòu)造中位線，利用中位線平行于第三邊的性質(zhì)。3.添加輔助線的目的是創(chuàng)造已知條件與未知量之間的橋梁，要結(jié)合題目具體分析。例題簡釋：如圖，在△ABC中，D是AB中點，E是AC上一點，AE:EC=1:2，連接DE并延長交BC的延長線于F，求BF:FC的值。（思路：過點C作CG∥AB交DF于G，構(gòu)造“X”型相似△CGF∽△BDF，再利用中點D及AE:EC的關(guān)系，通過線段比例轉(zhuǎn)化可求得結(jié)果。）四、相似三角形與動態(tài)幾何、函數(shù)結(jié)合類題型此類題型將相似三角形與點的運動、圖形的變化相結(jié)合，并常與函數(shù)知識聯(lián)系，綜合性較強，能有效考察分析問題和解決問題的能力。（一）動點問題中的相似三角形存在性題型特征：一個或多個點在圖形（如直線、射線、線段、拋物線等）上運動，探究在運動過程中，是否存在某個位置使得兩個三角形相似，并求出相應(yīng)的參數(shù)（如點的坐標(biāo)、運動時間等）。解題策略：1.明確動點的運動軌跡和范圍，設(shè)出表示動點位置的參數(shù)（如時間t，或坐標(biāo)x、y）。2.根據(jù)動點的位置，表示出相關(guān)線段的長度和角的大小。3.分析題目中可能相似的兩個三角形，根據(jù)相似三角形的判定方法，分情況討論（注意對應(yīng)關(guān)系可能不唯一，導(dǎo)致多解）。4.根據(jù)相似條件列出比例式，求解參數(shù)，并檢驗解的合理性（是否在動點運動范圍內(nèi)）。例題簡釋：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，點P從點C出發(fā)沿CA方向向點A勻速運動，速度為1cm/s；同時點Q從點B出發(fā)沿BC方向向點C勻速運動，速度為1cm/s。設(shè)運動時間為t秒（0<t<4），連接PQ。當(dāng)t為何值時，△PCQ與△ACB相似？（思路：用t表示PC=t，QC=4-t。分兩種情況：①△PCQ∽△ACB，此時PC/AC=QC/CB；②△PCQ∽△BCA，此時PC/BC=QC/AC。分別代入求解t，并檢驗t是否在范圍內(nèi)。）（二）相似與函數(shù)關(guān)系的建立題型特征：通過相似三角形的性質(zhì)，建立圖形中某些量（如線段長度、圖形面積）與某個變量（如動點坐標(biāo)、角度等）之間的函數(shù)關(guān)系式。解題策略：1.仔細分析圖形，找出由相似關(guān)系聯(lián)系起來的量。2.設(shè)出自變量，并用自變量表示出與相似三角形相關(guān)的線段長度。3.利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例或面積比等于相似比的平方等性質(zhì)，建立所求量與自變量之間的等式，化簡后得到函數(shù)關(guān)系式。4.注意確定自變量的取值范圍。例題簡釋：在上述“例題簡釋”的動點問題中，設(shè)△PCQ的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式。（思路：S=(1/2)*PC*QC=(1/2)*t*(4-t)，化簡得S=(-1/2)t2+2t，其中0<t<4。此例雖簡單，但體現(xiàn)了基本思路，更復(fù)雜的情況則需先通過相似求出相關(guān)線段。）五、總結(jié)與提升相似三角形的題型繁多，變化靈活，但萬變不離其宗，核心在于對相似三角形判定定理和性質(zhì)定理的深刻理解與靈活運用。在解題過程中，要善于觀察圖形特點，識別基本模型，明確對應(yīng)關(guān)系，并結(jié)合代數(shù)運算（如方程思想）進行求解。1.善于觀察與聯(lián)想：看到比例線段、等角、平行等條件時，要能迅速聯(lián)想到相似三角形的相關(guān)知識。2.注意對應(yīng)關(guān)系：在表示相似三角形時，要注意頂點的對應(yīng)順序，在寫比例