期中重難點(diǎn)檢測(cè)卷（提高卷）（滿分120分，考試時(shí)間120分鐘，共25題）注意事項(xiàng)：1.本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上；2.回答第Ⅰ卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。寫在本試卷上無(wú)效；3.回答第Ⅱ卷時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無(wú)效；4.測(cè)試范圍：21~23章（一元二次方程+二次函數(shù)+旋轉(zhuǎn)全部?jī)?nèi)容）；5.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.第I卷（選擇題）選擇題（10小題，每小題3分，共30分）1．（24-25九年級(jí)上·山東·開(kāi)學(xué)考試）下列圖形中，既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查軸對(duì)稱圖形，中心對(duì)稱圖形，熟練掌握相關(guān)定義是解題的關(guān)鍵．如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形；把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來(lái)的圖形重合，那么這個(gè)圖形就叫做中心對(duì)稱圖形；據(jù)此進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：不是軸對(duì)稱圖形，但它是中心對(duì)稱圖形，則該選項(xiàng)不符合題意；B是軸對(duì)稱圖形，但它不是中心對(duì)稱圖形，則該選項(xiàng)不符合題意；C不是軸對(duì)稱圖形，但它是中心對(duì)稱圖形，則該選項(xiàng)不符合題意；D既是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形，則該選項(xiàng)符合題意；故選D．2．（24-25九年級(jí)上·全國(guó)·期中）若m是方程的根，則的值為（）A．2024 B．2023 C．2022 D．2021【答案】B【分析】根據(jù)題意，m是方程的根，得，化簡(jiǎn)代入計(jì)算即可．本題考查了方程的根，求代數(shù)式的值，熟練掌握方程的根是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵m是方程的根，∴，∴，∴，故選：B．3．（25-26九年級(jí)上·江西南昌·階段練習(xí)）如果，是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，那么的值是（

）A． B．3 C．2 D．【答案】C【分析】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，即一元二次方程的兩根之和是，兩根之積是．根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系得到兩根之和，即可求解．【詳解】解：、是一元二次方程的兩個(gè)根，，故選：C．4．（25-26九年級(jí)上·湖北·階段練習(xí)）將拋物線先向左平移3個(gè)單位，再向下平移4個(gè)單位，得到的拋物線的函數(shù)表達(dá)式為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題考查二次函數(shù)圖象的平移．根據(jù)平移規(guī)律，即可得平移后的函數(shù)表達(dá)式．【詳解】解：將拋物線先向左平移3個(gè)單位，再向下平移4個(gè)單位，可得，∴平移后的拋物線的函數(shù)表達(dá)式為．故選：A．5．（24-25九年級(jí)上·四川瀘州·期中）學(xué)校的勞動(dòng)實(shí)踐基地是一塊長(zhǎng)、寬的矩形土地．為便于學(xué)生參與勞動(dòng)，要在中間開(kāi)辟一橫兩縱共三條等寬的小道（如圖所示），使種植面積達(dá)到，若設(shè)小道的寬為，則根據(jù)題意，那么x滿足的方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．根據(jù)矩形場(chǎng)地的長(zhǎng)、寬及小路的寬度，可得出除小路的其余部分可合成長(zhǎng)為，寬為的矩形，再結(jié)合種植面積為，即可列出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．【詳解】解：學(xué)校的勞動(dòng)實(shí)踐基地是一塊長(zhǎng)、寬的矩形土地，且小道的寬為，除小路的其余部分可合成長(zhǎng)為，寬為的矩形．根據(jù)題意得：，故選：D．6．（2025·山東青島·模擬預(yù)測(cè)）如圖，將先向右平移3個(gè)單位，再繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，則點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】此題主要考查了旋轉(zhuǎn)變換以及平移變換，利用平移的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置，再利用關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)的性質(zhì)直接得出答案．【詳解】解：如圖，將先向右平移3個(gè)單位，再繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，由圖中可知，點(diǎn)，將先向右平移3個(gè)單位，得坐標(biāo)為：，再繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，則點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是．故選：D．7．（25-26九年級(jí)上·安徽宿州·階段練習(xí)）二次函數(shù)（是常數(shù)，且）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，有四個(gè)命題：①當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，；③當(dāng)時(shí)，；④當(dāng)時(shí)，．其中正確的命題個(gè)數(shù)為（）個(gè)A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合，熟練掌握函數(shù)圖象法是解題關(guān)鍵．先求出二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，再畫出兩個(gè)函數(shù)的大致圖象，然后結(jié)合函數(shù)圖象逐個(gè)分析即可得．【詳解】解：二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，聯(lián)立，解得或，即二次函數(shù)與一次函數(shù)的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為和，當(dāng)時(shí)，畫出兩個(gè)函數(shù)的大致圖象如下：則由函數(shù)圖象可知，當(dāng)時(shí)，，命題①正確；當(dāng)時(shí)，，命題②正確；當(dāng)時(shí)，，命題③正確；當(dāng)時(shí)，若，則；若，則；若，則；命題④錯(cuò)誤；綜上，正確的命題個(gè)數(shù)為3個(gè)，故選：C．8．（24-25九年級(jí)上·浙江臺(tái)州·期中）如圖，已知四邊形紙片，E，F(xiàn)，G，H是四條邊上的中點(diǎn)，連結(jié)，分別過(guò)點(diǎn)H，F(xiàn)作于點(diǎn)I，于點(diǎn)J，沿，，將四邊形紙片剪成四個(gè)小四邊形紙片，記為①，②，③，④，將這四張紙片恰好可以無(wú)重疊、無(wú)縫隙地拼成一個(gè)新的四邊形紙片(①沿方向平移，④和②分別繞點(diǎn)H和點(diǎn)G旋轉(zhuǎn))．若，，，則四邊形的周長(zhǎng)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)和平移的性質(zhì)以及矩形的性質(zhì)等內(nèi)容，由題可知，，，設(shè)，則，據(jù)此求解即可．【詳解】解：如圖，由題可知，，，設(shè)，則，，矩形周長(zhǎng)為．故選：B．9．（25-26九年級(jí)上·山西朔州·階段練習(xí)）如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且平行于軸的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，與拋物線交于點(diǎn)，拋物線與軸交于點(diǎn)，連接，．若，則梯形的面積為（

）A．4 B． C． D．【答案】B【分析】該題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)的對(duì)稱性，根據(jù)題意可得拋物線的對(duì)稱軸為直線，當(dāng)時(shí)，，則，．結(jié)合，得．由題意可知，兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸直線對(duì)稱，則，將代入，結(jié)合拋物線的對(duì)稱軸是直線，求出，令，求出，則，根據(jù)求解即可．【詳解】解：拋物線的對(duì)稱軸為直線，當(dāng)時(shí)，，，．，．由題意可知，兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸直線對(duì)稱，，將代入，得．拋物線的對(duì)稱軸是直線，，，，令，，，，，．故選：B．10．（24-25九年級(jí)上·四川成都·期中）拋物線的頂點(diǎn)為，與軸的一個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)和之間，其部分圖象如圖，則以下結(jié)論錯(cuò)誤是（）A．B．C．當(dāng)時(shí)，的值隨值的增大而減小D．若方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，則【答案】A【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，根據(jù)二次函數(shù)的圖象與判斷式子的符號(hào)，拋物線與軸的交點(diǎn)問(wèn)題，根據(jù)二次函數(shù)圖象確定相應(yīng)方程根的情況等．解題的關(guān)鍵在于二次函數(shù)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸為，且拋物線的開(kāi)口向下，據(jù)此即可判斷C選項(xiàng)；根據(jù)拋物線與軸的交點(diǎn)，結(jié)合拋物線的對(duì)稱性可得拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)和之間，得出當(dāng)時(shí)，，據(jù)此即可判斷B選項(xiàng)；根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合拋物線的開(kāi)口方向，得出拋物線的最大值是，根據(jù)一元二次方程的根，可以看作是二次函數(shù)于直線的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，據(jù)此即可判斷D選項(xiàng)；根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸得出，推得，據(jù)此即可判斷A選項(xiàng)錯(cuò)誤．【詳解】解：∵拋物線的對(duì)稱軸為，且拋物線的開(kāi)口向下，∴當(dāng)時(shí)，的值隨值的增大而減小，∴選項(xiàng)C說(shuō)法正確；∵拋物線與軸的一個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)和之間，且拋物線的對(duì)稱軸為，∴拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)和之間，∴當(dāng)時(shí)，，∴選項(xiàng)B說(shuō)法正確；∵拋物線的頂點(diǎn)為，且拋物線的開(kāi)口向下，故的最大值是，當(dāng)時(shí)，拋物線與直線沒(méi)有交點(diǎn)，即方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，∴選項(xiàng)D說(shuō)法正確，∵拋物線的對(duì)稱軸，∴，∵，即，∴，∴選項(xiàng)A說(shuō)法錯(cuò)誤．故選：A．第II卷（非選擇題）二、填空題（6小題，每小題3分，共18分）11．（25-26九年級(jí)上·廣東汕頭·階段練習(xí)）一元二次方程的根為．【答案】，【分析】本題考查因式分解法解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程的解法是關(guān)鍵．先將等號(hào)右邊代數(shù)式移項(xiàng)至等號(hào)左邊，再用因式分解法解方程即可．【詳解】解：，，，或，解得，，故答案為：，．12．（25-26九年級(jí)上·河南信陽(yáng)·階段練習(xí)）頂點(diǎn)坐標(biāo)是，且開(kāi)口方向和形狀與拋物線相同的拋物線的解析式是．【答案】【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)拋物線的開(kāi)口方向和形狀與a值有關(guān)，利用頂點(diǎn)式解析式寫出即可．【詳解】解：∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，開(kāi)口方向和形狀與拋物線相同，∴這個(gè)二次函數(shù)的解析式為．故答案為：．13．（24-25九年級(jí)上·四川成都·期中）如圖，在中，，，繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得，則的度數(shù)為度．【答案】40【分析】此題重點(diǎn)考查直角三角形的兩個(gè)銳角互余、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識(shí)，求得，并推導(dǎo)出是解題的關(guān)鍵．由，，求得，由旋轉(zhuǎn)得，則，于是得到問(wèn)題的答案．【詳解】解：∵，，∴，∵繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得，∴，∴，故答案為：4014．（2025·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，軸，垂足為C，將繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到，則點(diǎn)的坐標(biāo)是．【答案】【分析】本題考查了坐標(biāo)與圖形，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，由題意可得，，，再結(jié)合旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可得解，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵在平面直角坐標(biāo)系中，，軸，垂足為C，∴，，，∵將繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到，∴，，，∴點(diǎn)的坐標(biāo)是，故答案為：．15．（24-25九年級(jí)上·全國(guó)·隨堂練習(xí)）某皮衣專賣店銷售某款皮衣，其進(jìn)價(jià)為每件750元，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，按每件1100元出售，平均每天可售出30件，每件降價(jià)50元，平均每天的銷售量可增加10件，皮衣專賣店想要平均每天獲利12000元，則每件皮衣定價(jià)為多少元？(1)以下是小明和小紅的兩種不同設(shè)法，請(qǐng)幫忙填完整；小明：設(shè)每件皮衣降價(jià)x元，由題意，可列方程為_(kāi)_______________．小紅：設(shè)每件皮衣定價(jià)為y元，由題意，可列方程為_(kāi)_______________．(2)每件皮衣定價(jià)為_(kāi)_______元時(shí)，皮衣專賣店平均每天獲得12000元．【答案】(1)；(2)1050或950【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，理解題意，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解此題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)利潤(rùn)單件利潤(rùn)件數(shù)列出一元二次方程即可；（2）根據(jù)（1）中列出的一元二次方程計(jì)算即可得解．【詳解】（1）解：小明：設(shè)每件皮衣降價(jià)x元，則平均每天的銷售量為件，依題意，得；小紅：設(shè)每件皮衣定價(jià)為y元，則平均每天的銷售量為件，依題意，得．（2）解：選擇小明的設(shè)法，則，整理，得，解得，，則定價(jià)為元或元，答：每件皮衣定價(jià)為1050元或950元；選擇小紅的設(shè)法，則，整理，得，解得，．答：每件皮衣定價(jià)為1050元或950元．16．（2025九年級(jí)上·安徽宿州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，分別過(guò)點(diǎn)（，，）作軸的垂線，交二次函數(shù)于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，則的值為．【答案】【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，規(guī)律探索，找出題中的規(guī)律是解本題的關(guān)鍵．先求出，再將各項(xiàng)分別表示出來(lái)，拆項(xiàng)后抵消即可得到結(jié)果．【詳解】解：根據(jù)題意得：，，．故答案為：．三、解答題（9小題，第17、18、19題每小題6分，第20、21題每小題8分，第22、23題每小題9分，第24、25題每小題10分，共72分）17．（24-25九年級(jí)上·寧夏銀川·期中）選用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?1)(2)(3)(4)【答案】(1)，(2)，(3)，(4)【分析】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的常用方法（直接開(kāi)平方法、配方法、公式法、換元法、因式分解法等）是解題關(guān)鍵．（1）方程可以變形為，利用直接開(kāi)平方法解方程即可得；（2）方程可以變形為，利用直接開(kāi)平方法解方程即可得；（3）方程利用平方差公式變形為，利用因式分解法解方程即可得；（4）方程利用完全平方公式變形為，利用直接開(kāi)平方法解方程即可得．【詳解】（1）解：，，，，所以方程的解為，．（2）解：，，或，或，所以方程的解為，．（3）解：，，，，或，或，所以方程的解為，．（4）解：，，，所以方程的解為．18．（24-25九年級(jí)上·甘肅蘭州·階段練習(xí)）已知二次函數(shù)，過(guò)點(diǎn)．(1)求此二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)直接寫出當(dāng)取何值時(shí)，．【答案】(1)；(2)．【分析】本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，拋物線與x軸的交點(diǎn)問(wèn)題．（1）把兩個(gè)已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入中得到關(guān)于a的方程，然后解方程求出a即可；（2）求出二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)，結(jié)合開(kāi)口方向可得結(jié)果．【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：，解得：，所以二次函數(shù)的表達(dá)式為；（2）解：令，解得：或，∴二次函數(shù)的圖象與x軸交于和，∵，∴二次函數(shù)的圖象開(kāi)口向上，∴當(dāng)時(shí)，x的取值范圍是．19．（24-25九年級(jí)上·福建福州·期中）已知：如圖繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，此時(shí)恰好，，，求是多少度？【答案】【分析】由平行線的性質(zhì)可得，由三角形內(nèi)角和得，則，即求出的度數(shù)．本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：，，，，．繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，，．20．（25-26九年級(jí)上·安徽宿州·階段練習(xí)）小強(qiáng)同學(xué)用配方法推導(dǎo)一元二次方程的求根公式時(shí)的部分過(guò)程如下．移項(xiàng)，得，二次項(xiàng)系數(shù)化為1，得，配方，得，……(1)請(qǐng)你幫小強(qiáng)同學(xué)完成剩余的推導(dǎo)過(guò)程．(2)用公式法解一元二次方程．【答案】(1)詳見(jiàn)解析(2)，【分析】本題主要考查了解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用配方法和公式法解方程，（1）根據(jù)配方法的步驟求解即可；（2）根據(jù)公式法解方程即可．【詳解】（1）解：移項(xiàng)，得，二次項(xiàng)系數(shù)化為1，得，配方，得，整理得，∵，，∴，∴；（2）解：，∵，∴，∴，∴，．21．（24-25九年級(jí)上·全國(guó)·單元測(cè)試）按下列要求畫出圖形：(1)如圖，畫出三角形繞點(diǎn)按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后的三角形；(2)如圖，將已知四邊形分別在格點(diǎn)圖中補(bǔ)成以已知直線，為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形．【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)見(jiàn)解析；【分析】本題主要考查了利用旋轉(zhuǎn)和軸對(duì)稱作圖．分別畫出線段、繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的對(duì)應(yīng)線段、，再連接線段得到即為所求；圖中分別作點(diǎn)、、關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)、、，順次連接點(diǎn)、、、得到四邊形即為所求；圖中分別畫出點(diǎn)、、、關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)、、、，順次連接點(diǎn)、、、，得到四邊形即為所求．【詳解】（1）解：如下圖所示，分別畫出線段、繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的對(duì)應(yīng)線段、，再連接線段得到，則即為所求；（2）解：如圖所示，分別作點(diǎn)、、關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)、、，順次連接點(diǎn)、、、得到四邊形，四邊形即為所求；如圖所示，分別畫出點(diǎn)、、、關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)、、、，順次連接點(diǎn)、、、，得到四邊形，四邊形即為所求．22．（24-25九年級(jí)上·湖北武漢·階段練習(xí)）閱讀材料，解答問(wèn)題：已知實(shí)數(shù)滿足，且，顯然是方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，由根與系數(shù)的關(guān)系可知(1)已知實(shí)數(shù)滿足，求的值．(2)已知實(shí)數(shù)滿足且，求的值．【答案】(1)(2)3【分析】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，弄懂所給的例子，靈活應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．（1）由題意可知、是方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，再由根與系數(shù)的關(guān)系可得，，將所求式子變形為，代入求解計(jì)算即可；（2）由題意可知是方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，再由根與系數(shù)的關(guān)系求解即可．【詳解】（1）解：∵，，是方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，，，；（2）解：∵，∴，∴，∵即，且，∴是方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，．23．（25-26九年級(jí)上·廣東廣州·階段練習(xí)）如圖，正方形網(wǎng)格中，三角形的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，請(qǐng)?jiān)谒o直角坐標(biāo)系中按要求解答下列問(wèn)題：(1)畫出，使它與三角形關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O成中心對(duì)稱，則的坐標(biāo)為．(2)將三角形繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后，其對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為則旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)為．【答案】(1)畫圖見(jiàn)解析，(2)【分析】本題考查了關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征、中心對(duì)稱圖形的畫法以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)（旋轉(zhuǎn)中心的確定方法），解題的關(guān)鍵是：對(duì)于關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)，掌握其橫、縱坐標(biāo)互為相反數(shù)的規(guī)律；對(duì)于旋轉(zhuǎn)中心的確定，利用“旋轉(zhuǎn)中心到任意一組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離相等”，即通過(guò)作兩組對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線，其交點(diǎn)即為旋轉(zhuǎn)中心．（1）根據(jù)原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，據(jù)此解答；（2）畫出，連接，分別作垂直平分線交于，即可解答．【詳解】（1）解：如圖，即為所作，根據(jù)圖得，點(diǎn)，∵與關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O成中心對(duì)稱，∴，故答案為：；（2）解：如圖所示，連接，分別作垂直平分線交于，即旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)為，故答案為：．24．（24-25九年級(jí)上·廣東東莞·階段練習(xí)）閱讀：我們約定，在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過(guò)某點(diǎn)且平行于坐標(biāo)軸或平行于兩坐標(biāo)軸夾角平分線的直線，叫該點(diǎn)的“特征線”．例如，點(diǎn)的特征線有：，，，．問(wèn)題與探究：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有正方形，點(diǎn)在第一象限，，分別在軸和軸上，拋物線經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，頂點(diǎn)在正方形內(nèi)部．(1)直接寫出點(diǎn)所有的特征線用含有，的式子表示；(2)若點(diǎn)有一條特征線是，求此拋物線的解析式；(3)點(diǎn)是邊上除點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，連接，將沿著折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)的位置，當(dāng)點(diǎn)在平行于坐標(biāo)軸的點(diǎn)的特征線上時(shí)，將滿足（2）中條件的拋物線向下平移多少距離，其頂點(diǎn)落在上？【答案】(1)，，，(2)(3)拋物線向下平移或的距離，其頂點(diǎn)落在上【分析】（1）依據(jù)“特征線”定義，從平行于坐標(biāo)軸、平行于坐標(biāo)軸夾角平分線角度，直接推導(dǎo)點(diǎn)的特征線．（2）先由特征線得出與關(guān)系，再結(jié)合正方形性質(zhì)及拋物線過(guò)、點(diǎn)，代入求解拋物線解析式．（3）分點(diǎn)在平行于軸和軸的特征線兩種情況，利用折疊性質(zhì)、勾股定理等，結(jié)合拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算向下平移距離．【詳解】（1）解：點(diǎn)，點(diǎn)的特征線是，，，；（2）解：點(diǎn)有一條特征線是，，，拋物線解析式為，，四邊形是正方形，且點(diǎn)在的垂直平分線上，，，，將代入得到，；，拋物線解析式為；（3）解：當(dāng)點(diǎn)在平行于軸的點(diǎn)的特征線上時(shí)，特征線交軸于，交于，根據(jù)題意可得，，，，，，，拋物線需要向下平移的距離；當(dāng)點(diǎn)在平行于軸的點(diǎn)的特征線上時(shí)，特征線交軸于，交于，設(shè)，則，，，，設(shè)，在中，，，，直線解析式為，，拋物線需要向下平移的距離，綜上所述，拋物線向下平移或的距離，其頂點(diǎn)落在上.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面直角坐標(biāo)系中“特征線”概念、拋物線解析式求解、圖形折疊性質(zhì)及拋物線平移