2024-2025學年江西省萍鄉(xiāng)市高二上學期期中考試數(shù)學檢測試卷

本試卷分和兩部分.第I卷1至2頁，第n卷5至6頁.滿分150分，考試時間120分鐘.

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.考生要認真核對答題卡上粘貼

的條形碼的“準考證號、姓名、考試科目”與考生本人準考證號、姓名是否一致.

2.客觀題選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；如需改動，用

橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.答案不能答在試卷上.主觀題用黑色墨水簽字筆在答題卡

上書寫作答，在試題卷上作答，答題無效.

3.考試結束后，監(jiān)考員將試題卷、答題卡一并收回.

第I卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

1.已知集合"={沖"'<0},N=若MjN,則實數(shù)〃的取值范圍為

()

AB.C.(-邛］D.(e,C)

2.設2,b?。是非零向量，貝『'15=13'是"】=：'’的()

A,充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

3.下圖是我國2018?2023年純電動汽車銷量統(tǒng)計情況，下列說法錯誤的是()

201A2023年中國純電動汽車箱依統(tǒng)計

800n■銷量：萬輛匯6.8

A,我國純電動汽車俏量呈現(xiàn)逐年增長趨勢

B.這六年銷量第60百分位數(shù)為536.5萬輛

C.這六年增長率最大的為2019年至202()年

D.2020年銷量高于這六年銷量的平均值

4,直線/過拋物線C：_/=2〃x(〃>0)的焦點，且與。交于43兩點，若使|4卻=2的直

線/恰有2條，則〃的取值范圍為()

A.0<p<lB,0<p<2C.p>1D.p>2

5,已知橢圓r：W+4=l(Q>b>0)的右焦點為尸，過尸且斜率為1的直線/與T交于

43兩點，若線段43的中點〃在直線x+2y=0上，則T的離心率為()

A.旦BWC.立D.旦

4352

6.如圖，在平行四邊形力3。中，tanNB4D=7,4B=56MD=5,E為邊BC上異于端

點的一點，且萬?萬斤=45，則sin/COE=()

7.在平面直角坐標系內，方程2/+2/一9=1對應的曲線為橢圓，則該橢圓的離心率為

()

A.正B.正C.巫D.巫

2255

22

8.已知O為坐標原點，雙曲線。:二一4=1(〃>0/>0)的左、右焦點分別是Q,離

a'b~

心率為如，點P(M，y)是C的右支上異于頂點的一點，過用作4P6的平分線的垂線，

2

垂足是例，|MO|二也，若雙曲線c上一點r滿足幣?虧=5,則點r到雙曲線。的兩條

漸近線距離之和為()

A.2>/2B.2>/3c.2V5D.2m

9.在V4BC中，若sin4=2cosBcosC,則cos?8+cos2c的取值范圍為()

A」19B」?1C.俘2)D.

「向IA

~1~9

L/

二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得。分.

r22

10.已知雙曲線C：「----=v1,則()

3-mm+6

A.〃？的取值范圍是(-6,3)

B.6=1時，。的漸近線方程為＞=±gx

C.C的焦點坐標為(TO),(3,0)

D.?？梢允堑容S雙曲線

11.如圖，正方形力3。。的中心與圓。的圓心重合，P是圓。上的動點，則下列敘述正確的

是()

A.中元+麗?麗是定值

B.莎?麗+而?斤+所歷+近萬是定值

C.|莎|+|而|+|定|+|而|是定值

D.蘇2+而2+京2+而2是定值

12.直四棱柱488—44G2的所有棱長都為4，/BAD/，點、P在四邊形BDD&I及

其內部運動，且滿足|夕4+|0C|=8,則下列選項正確的是（)

A.點尸的軌跡的長度為兀.

B.直線加＞與平面所成的角為定值.

C.點尸到平面424的距離的最小值為名包.

D.可?隔的最小值為-2.

第H卷

注意事項：

第H卷共2頁，需用黑色墨水簽字筆在答題卡上作答，若在試題卷上作答，答題無效.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

13.已知雙曲線G:工-產=],c,：二一片=1的離心率分別為。和？2，則。臼的最小值為

m4m

14.（2x2+x—y）’的展開式中Q/的系數(shù)為（用數(shù)字作答）.

15.法國數(shù)學家盧卡斯在研究一元二次方程/一工_1=（）的兩個根七,巧不同幕的和時，發(fā)現(xiàn)

了占+工2=1，x：+￥=3,…，由此推算x：°+E°=.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

16.如圖所示的五面體力3c-NQG為直三棱柱45C-4片G截去一個三棱錐。-44G后

的幾何體，ACA.BC,AC=BC=AA,=2f。為的中點，E,尸分別為G。，耳。的

中占

I八、、?

（1）判斷8廠和CE是否垂直，并說明理由；

（2）設萬=%萬（0W4W1）,是否存在丸，使得平面48c與平面P8尸夾角的余弦值為

，2？若存在，請求出丸的值；若不存在，請說明理由.

17.將一枚質地均勻的骰子先后拋擲兩次，所得的向上的點數(shù)分別記為設［可表示不超

過實數(shù)x的最大整數(shù)，［:的值為隨機變量X

（1）求在X>0的條件下，X=@的概率；

b

（2）求X的分布列及其數(shù)學期望.

18.如左圖所示，在直角梯形中，BC//AD,AD1CD,BC=2,AD=3,CD=日

邊AD上一點E滿足DE=1.現(xiàn)將"BE沿BE折起到△48E的位置，使平面A.BE平面

BCDE,如右圖所示.

（1）求證：4c，BE；

（2）求異面直線4c與的距離：

（3）求平面與平面4。。所成銳二面角的余弦值.

19.已知月（一2,0）,乙（2,0）,M是圓。：/+/=1上任意一點，巴關于點”的對稱點為

N,線段與N的垂直平分線與直線用N相交于點兀記點7的軌跡為曲線C.

（1）求曲線。的方程;

(2)設E(r,O)(Z>0)為曲線C上一點，不與X軸垂直的直線/與曲線C交于G,4兩點

(異于E點).若直線GE,的斜率之積為2,求證：直線/過定點.

20.在幾何學常常需要考慮曲線的彎曲程度，為此我們需要刻畫曲線的彎曲程度.考察如圖所

示的光滑曲線C：y=/(x)上的曲線段薪，其弧長為集，當動點從月沿曲線段標運動到夕

點時，A點的切線。也隨著轉動到B點的切線。，記這兩條切線之間的夾角為(它等于。

的傾斜角與。的傾斜角之差).顯然，當弧長固定時，夾角越大，曲線的彎曲程度就越大；當

夾角固定時、弧長越小則彎曲程度越大，因此可以定義K=——為曲線段標的平均曲率；

△s

顯然當8越接近人即以越小，K就越能精確刻畫曲線。在點力處的彎曲程度，因此定義

―一1/1

j(若極限存在)為曲線。在點/處的曲率.(其中/，/'分別表

(1+吁

示y=/(%)在點力處的一階、二階導數(shù))

(1)求單位圓上圓心角為60。的圓弧的平均曲率;

(2)求橢圓?+/=1在(行處的曲率；

(3)定義。(歹)=;^----T為曲線y=f(x)的“柯西曲率”.已知在曲線/(x)=xlnx-2x上

(1+力

存在兩點產(4/(』))和°(%2，/(%))，且P，。處的“柯西曲率”相同，求病+病的取

值范圍.

2024-2025學年江西省萍鄉(xiāng)市高二上學期期中考試數(shù)學檢測試卷

本試卷分和兩部分.第I卷1至2頁，第n卷3至4頁.滿分150分，考試時間120分鐘.

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.考生要認真核對答題卡上粘貼

的條形碼的“準考證號、姓名、考試科目”與考生本人準考證號、姓名是否一致.

2.客觀題選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；如需改動，用

橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.答案不能答在試卷上.主觀題用黑色墨水簽字筆在答題卡

上書寫作答，在試題卷上作答，答題無效.

3.考試結束后，監(jiān)考員將試題卷、答題卡一并收回.

第I卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

1.已知集合"={沖"'<0},N=若MjN,則實數(shù)〃的取值范圍為

（）

A.（一8/B.（y/）C.（一8,e]D.（y,e）

【正確答案】A

【分析】先解出集合必，再由子集關系求解集合N即可.

【詳解】由lnx<0得0<x<l,所以"二{x[0<x<l},

因為M=所以Q<C'對"w（0』）恒成立，

所以

故選：A.

2.設方,b?守是非零向量,則“3萬=屋》’是"3=”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【正確答案】B

（分析】分別判斷充分性和必要性成立情況得出結論.

【詳解】若黑書=".配則入（3-，=。，」.。，僅一44b=c^

若B=c,則B—c=6,6=0即。，,一c)=。n〃B=a

“￡石=￡.》'是“5=7’的必要而不充分條件;

故選：B.

3.下圖是我國2018?2023年純電動汽車銷量統(tǒng)計情況，下列說法錯誤的是（）

A.我國純電動汽車銷量呈現(xiàn)逐年增長趨勢

B.這六年銷鼠第60百分位數(shù)為536.5萬輛

C.這六年增長率最大的為2019年至2020年

D.2020年銷量高于這六年銷量的平均值

【正確答案】D

【分析】根據(jù)條形圖，結合百分位數(shù)、平均數(shù)求法及各項描述判斷正誤即可.

【詳解】A：由條形圖知，我國純電動汽車銷量呈現(xiàn)逐年增長趨勢，對：

B：由6x60%=3.6,故第60百分位數(shù)為2021年數(shù)據(jù)，為536.5萬輛，對；

C：由圖知：2019年到2020年增長率超過了100%,其它都不超過100%,對；

97.2+111.5+291.6+536.5+668.5+756.8

D：由------------------------------------------二410.35>291.6,錯；

6

故選：D

4.直線/過拋物線C：丁=2川（2>0）的焦點，且與。交于48兩點，若使|力卻=2的直

線/恰有2條，則〃的取值范圍為（）

A.0<p<1B.0<p<2C.p>\D.p>2

【正確答案】A

【分析】根據(jù)拋物線方程可得通徑長，根據(jù)拋物線的焦點弦中通徑長最短可確定2。<2,由

此可得所求范圍.

【詳解】由拋物線方程知：拋物線焦點為（5,0）,通徑長為2p,

當力3垂直于％軸時，43兩點坐標為（5,土P）,

此時81mm=22<2,且〃>0.

即拋物線的焦點弦中，通徑最短，

所以0<p<l.

故選：A.

22

5.已知橢圓「：?+方=1（。>力>0）的右焦點為過產且斜率為1的直線/與7交于

45兩點，若線段48的中點〃在直線x+2y=0上，則「的離心率為（）

A.巫BWC.立D.旦

4352

【止確答案】D

【分析】分別聯(lián)立直線和橢圓，利用"的坐標相等建立齊次方程，求解離心率即可.

[詳解】

設4（孫力）4（%2，力）由題意可知直線48的方程為可=3一。

線段AB的中點M是直線/與直線x+2y=0的交點，

-_2

[y=x-c3。一（21

聯(lián)立〈,解得《，所以"—c,——c,

x+2y=01（33,

iv=——C

V3

22

zl=1

另一方面，聯(lián)立〃，得（/+/）/-2/以+。20l-a2b2=O.

y=x-c

易知△>(),由韋達定理得玉+%=得木=^C，解得/=2〃，

所以故離心率《=￡=巫，故D正確.

a2

故選：D.

6.如圖.在平行四邊形力。C。中,tan/B4D=7,4B=5M,<D=5,E為邊RC卜異干端

點的一點，且荏.瓦=45，MsinZCDE=()

【正確答案】B

17

【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關系求出cos/84D;3分,sin/8RQ=正，利用共

線定理設詬=2前(0<丸<1),表示出族=茄+/1翔，DE=7B+^-\\AD,根據(jù)

3

4￡??！?45建立等式求解2=w，分別求出各邊的長度，然后即可求解?

?、旺…sin^BAD

【詳解】由tan/BAD=----------=7,

cos/B4D

知/ZM。為銳角,

又因為sin2/8/O+cos2/84O=l，

1.7

所以cosNB4D=—尸,sin/B^O=—產.

5V25y/2

設屁二%前(0<4<1)，即屁=2而，

標而=畫畫cos/4/O=572x5x志=5

AE=AB+BE-AB+AAD

DE=JE-JD=JB+（X-\）AD.

由而瓦二45，

得（石+2通）?（而+（4—1）通）二萬2+義（2_］）石2+（24—1）荔.而

=2522-152+45

=45,

3

乂故九二一.

5

CEDE

即。￡=5及.在△COE中，由正弦定理

sin/CDEsinC

以及sinC=sin/4/。，

7

整理計算得sin/CDE:一.

25

故選：B.

7.在平面直角坐標系內，方程2/+2/一9=1對應的曲線為橢圓，則該橢圓的離心率為

（）

A拒R6

A.---D.----V*.-----

2255

【正確答案】C

【分析】根據(jù)題意，分別籽v=x與y=-x代入方程解得交點坐標，即可得到。力,c,再由

離心率的公式代入計算，即可得到結果.

【詳解】易得該橢圓的對稱中心為（0,0）,且關于直線歹=±x對稱，

將y=x代入方程，解得兩交點的坐標為

333

_正）且）

將^二一尤代入方程，解得兩交點的坐標為，旦f_x/5

~~~y一行5‘三5'

所以該橢圓的長半軸長4短半軸長方=巫，所以半焦距

35

所以其離心率為e=￡=巫

a5

故選：C.

8.已知o為坐標原點，雙曲線。：二一々=1（4>0力>o）的左、右焦點分別是a,F：,離

a-b~

心率為逅，點尸（西，必）是C的右支上異于頂點的一點，過乃作/月尸片的平分線的垂線，

2

垂足是M,|MO|二后，若雙曲線C上一點7滿足可?可=5,則點「到雙曲線C的兩條

漸近線距離之和為（）

A.272B.2打C.275D.2旅

【正確答案】A

【分析】由雙曲線的定義，結合雙曲線的離心率，得雙曲線的方程及漸近線的方程,

再設7（〃#）,由雙曲線的方程求點到兩條漸近線的距離之和.

設半焦距為c,延長工必交P片于點N,由于PM是6的平分線，F(xiàn)2M1PM,

所以△、分；是等腰三角形，所以|/W|=|P￡|,且必是的中點.

根據(jù)雙曲線的定義可知|心卜戶周二2Q,即|N￡|=2Q,由于。是￡名的中點，

所以MO是的中位線，所以|MO|二』NE|=a=JL

又雙曲線的離心率為"，所以c=g,h=\,所以雙曲線C的方程為二一/二]

22

所以7-石,0),8(G,0)，雙曲線。的漸近線方程為工±gy=0，

設7(〃,y),7到兩漸近線的距離之和為S,則S]〃+*,

V3V3

由可?可=(〃一百)(〃+G)+y2=/+y2—3=5,即/+y2=8，

又「在E_jJ=i上，則即〃2_2/=2,解得6=6，-=2，

22

由故5=當=2〃，即距離之和為26.

故選:A.

由平面幾何知識，|/W|=|PK|,依據(jù)雙曲線的定義，可將|MO|=轉化為用〃表示，進而

的雙曲線的標準方程.

9.在VZBC中，若sin4=2cos3cosC,則cosz8+cos?C的取值范圍為()

3/

2，

L/

【正確答案】B

【分析】先由已知條件結合sin4=sin(3+C)整理得tan5+tanC=2,tan5>0,

tanC〉0,再對cos28+cos?C進行弦化切，結合換元法、基本不等式、對勾函數(shù)性質即可

求解取值范圍.

【詳解】由sinA=2cos5cosc以及sin/=sin[乃一(8+C)]=sin(8+C)得

sinBcosC+cosBsinC=2cosBcosC，

又由力w(O,T)得sin/=2cos3cosC>0,

所以tan3+tanC=2,且8,。均為銳角，即tan8>0,tanC>0?

所以

*I2*2

2c2ccosBcosC11

cos'B+cos"C=-；------；—+—；------；—=-----；—+-----—=

sin~5+cos'Bsin~C+cos~C14-tan-B1+tan-C

2+tan75+tan7C_tan?i?+tan?C+2

(1+tan2+tan2C)tan25tan2C+tan2^+tan2C+l'

因為tann8+tan2C=(tan5+tanC)2-2tan5tanC=4-2tan8tanC,

b-、6-2tan5tanC

所以cos?8+cos2C=—7---y----------~~，

tan-Btan~C-2tanBtanC+5

設3-tan3tanC=m,

2

因為tan3tanC'a08+tanC]曰，當且僅當二^二生時等號成立，

I2)4

所以me[2,3),故由對勾函數(shù)性質7W+-GF472,61,

mL」

,,2m_2機_2F,V2+1

milcos-B+cos~C=--------------------一~~~?G1，一"一

川(3F)2_2(3-〃)+5〃―4〃z+8w+l_4L2J-

m

故選：B.

思路點睛：解三角形取值范圍問題通常結合使用輔助角利用三角函數(shù)有界性、一元二次函數(shù)

單調性、基本不等式等求解.

二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分,在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

22

10.已知雙曲線。：上-----i―=1,貝IJ()

3-m〃?+6

A.〃7的取值范圍是(-6,3)

B.加=1時，C的漸近線方程為>=土，x

c.c的焦點坐標為（-，（））,（工。）

D.C可以是等軸雙曲線

【正確答案】ACD

【分析】選項A,利用雙曲線的標準方程，即可求解；選項B,根據(jù)條件，利用求雙曲線漸近

線的求法，即可求解；選項C,由選項A知焦點在X軸上，再由=〃I+6+3-〃7=9,即可

求解；選項D,利用等軸雙曲線的定義，即可求解.

X2

【詳解】對于選項A,因為C：—-=1表示雙曲線，所以(〃?+6乂3-〃?)>0,解

3—〃7m+6

得-6<〃7<3,所以選項A正確;

7

對于選項B,當〃7=1時，雙曲線方程為-y~=1,其漸近線方程為、=

27

所以選項B錯誤:

對于選項C,由選項A得"?+6〉0,3-〃7>0,所以焦點在X軸上，設C的半焦距為c(c>0),

則02=,〃+6+3-〃?=9,解得c=3,故其焦點坐標為(-3,0),(3,0),所以選項C正確；

3

對于D,若。為等軸雙曲線，則3-〃7=6+6,解得加=-]￡(—6,3),所以選項D正確，

故選：ACD.

11.如圖，正方形力的中心與圓。的圓心重合，。是圓。上的動點，則下列敘述正確的

A.9元+麗麗是定值

B.PA?PB+PB?PC+PC?PD+PD?PA是定值

C|莎|+|而|+|元|+|而|是定值

D.92+而2+12+而2是定值

【正確答案】ABD

【分析】依題意建立以。為原點的坐標系，設正方形邊長為2。，圓的半徑為廠，尸點坐標為

P(x,y)，對選項中的表達式進行化簡可得選項ABD中的表達式可寫成只含有。和〃的式子,

結果為定值，而C選項中的結果最終含有X，〉，即與夕點位置有關，不是定值.

【詳解】根據(jù)題意，以O為坐標原點建立平面直角坐標系，如下圖所示：

不妨設正方形邊長為2。，圓的半徑為〃，P點坐標為尸(XJ)；

則可得力(。,。),8(-4,。),。(一4,一4),。(。,一4),且/+jj=廠2；

易知PA=(a-x,a-y),PB=(-a-x,a-y),PC=(-a-xy-a-y\PD-(ci-x^-a-y)；

所以對于A選項，

PA?PC+PBPD=_2[(Q—x)(q+x)+(a+y)(q—y)]=_2(a2_x2+Q2_y212r2_加2

,為定值，即A正確；

對于B選項，莎?麗+麗?正+定屈+麗?莎=-(〃-x)(〃+x)+(a-y)2

+(Q+X『一(Q+y)(Q_y)一(〃一++(。+婢+(〃7)_(4+/)僅一))

=4(x2+/)=4r2,為定值，所以B止確；

對于C選項，易知|巨彳+1而|+1正|+1而|表達式中不能表示成只含有邊長2a和半徑r的式

子，

即與尸(xj)有關，故其不是定值，所以C錯誤；

對于D選項，P^2+ra2+Pr2+PZ52=(a-x)2+(a-y)2+(a+x)2+(r/-y)2

+(〃+X)2+(Q+?+(Q7/+(〃+埒=21(Q+X,■+(a

=8tz2+4(x2+/)=8a2+4r2,為定值,故D正確;

故選：ABD

關鍵點點睛：求解本題的關鍵在于建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?，將向量坐標化，再由向量?shù)量積

的坐標表示求解是否為定值.

12.直四棱柱力3。。一44GA的所有校長都為4,/84。=三，點、P在四邊形BDRB1及

=8,則下列選項正確的是（）

A.點尸的軌跡的長度為兀.

B,直線與平面3力。4所成的角為定值.

C.點尸到平面4。1用的距離的最小值為3包.

7

D.%?吃的最小值為2

【正確答案】BC

【分析】建立空間直角坐標系，表示|P4|+|PC|=8,化簡后得點夕的軌跡方程，得軌跡長度

判斷A；向量法求線面角判斷B,向量法求點到平面距離，結合點P的軌跡得最小值判斷C；

坐標表示向量數(shù)量積，結合點尸的軌跡最小值判斷D.

【詳解】直四棱柱48cA的所有棱長都為4,則底面48CQ為菱形，

又/BAD，,則△/BZ）和△C8Z）都是等邊三角形，

3

設8。與/C相交于點。，由4Q_L4C,以。為原點，。力為x軸，03為N軸，過。垂直

于底面的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則有力(2行,0,0),8(020),C「26,0,0),0(0,—2,0),

4(26,0,4)中(0,2,4),G卜26,0,4),A(0,-2,4),

點夕在四邊形8。。片及其內部運動，設尸(Oj,z),-2<y<2,0<z<4,

由歸H+|PC|=8,有向fj+y2+z2+4—2團+)-2=8，

即V+z?=4(-2Vj"2,00z02),

所以點尸的軌跡為yQz平面內，以。為圓心，2為半徑的半圓弧,

所以點尸的軌跡的長度為2兀，A選項錯誤;

平面BDD圈的法向量為=(1,0,0),AP=卜2百，乂z卜

APR__6

直線力。與平面8。，片所成的角為夕，則sin。:

方|明|y/l2+y2+z2'

7F

又由0,二則0=一,

23

所以直線AP與平面BDDR所成的角為定值，B選項正確;

羽=卜2技2,4),明卜26,-2,4),設平面力?！甑囊粋€法向量為五=(%y,z),

A8,?萬=-2百%+2y+4z=0

則有《令x=2,得y=0,z=G，"=(2,0,6卜

AD[?ii=-2\/3x-2y+4z=0

卜46+3

所以點尸到平面4D￡的距離d=

一時“嗎陰呼

0<z<2,所以

所以點尸到平面/"4的距離的最小值為2叵，C選項正確；

7

可=(2廄-八4-2),反二126,-乂4-2),

陽?七=—12+/+(z-4『，其幾何意義為點。(乂z)到點(0,4)距離的平方減12,

由V+z?=4,點尸(夕/)到點(0,4)距離最小值為4一2=2,

瓦?西的最小值為22-12=-8,D選項錯誤.

故選：BC.

方法點睛：

空間幾何體中的相關問題，要利用好幾何體本身的結構特征，點線面的位置關系，圖形中的

角度和距離等，建立空間直角坐標系，利用向量法解決問題，也是常用的方法.

第H卷

注意事項：

第II卷共2頁，需用黑色墨水簽字筆在答題卡上作答，若在試題卷上作答，答題無效.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

13.已知雙曲線G：工一V=1,G：《一己=1的離心率分別為弓和62,則附2的最小值為

in-4m

3

【正確答案】-##1.5

2

【分析】由雙曲線離心率公式c=Jl+"結合基本不等式即可求解.

工詳解"=行=斤'—舊4字=xjni+4

2

由題意得〃7>0,

Js+zJ"：_3,當且僅當

則V/w+1+4yjtn1+5m+4\++

e.e^=-7=--------=-------7==--------->----------------

4m22vw?222

43

〃7二一，即〃7=2時，等號成立，所以的最小值為大.

m2

3

故答案為.一

2

14.（2儲+工-）丁的展開式中//的系數(shù)為（用數(shù)字作答）.

【正確答案】120

【分析】根據(jù)二項式展開式有關知識求得正確答案.

【詳解】由于

所以（2/+x一”的展開式中含的項為C；（2X2），C，XC；（―J，）2=120XV,

所以（21+x-y）’的展開式中x?2的系數(shù)為120.

故120

15.法國數(shù)學家盧卡斯在研究一元二次方程--工-1=0的兩個根西62不同哥的和時，發(fā)現(xiàn)

了X]+工2=1，X：+X；=3,…，由此推算X；0+xl°=.

【正確答案】123

【分析】利用韋達定理及其=玉+1,考=占+1可先計算立方和，再求五次方和，結合完全

平方公式計算即可.

2

【詳解】因為X]+工2=1，=T，X）=X]+1,x[=x2+1,

所以X；+X：=X]（石+1）+》2（%2+1）=X；+（3+工2）=2（工1+%2）+2=4,

所以

X；+X；=X：（F+1）+工;（12+1）=（x：+X；）+（X：+石卜卜；+X；）-2）'+

（X：+￡）=11,

5

所以x；°+只°=（X：+X：）2—2（X,X2）=I21+2=123.

故123

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

16.如圖所示的五面體ABC-A}DC}為直三棱柱—44G截去一個三棱錐。-44G后

的幾何體，AC.LBC,0C=爪7=/4=2,。為的中點，E,廠分別為￡￡）,耳。的

中I占八、、?

（1）判斷8/和CE是否垂直，并說明理由；

（2）設方=義配（0W2W1）,是否存在力,使得平面H8C與平面P8/夾角的余弦值為

]2?若存在，請求出義的值；若不存在，請說明理由.

【正確答案】（1）和CE不垂直，理由見解析

（2）存在實數(shù)2=?

2

【分析】（1）根據(jù)給定條件，以點C為坐標原點，建立空間直角坐標系，求出麗.無即可

判斷.

（2）利用（1）中坐標系，平面24歹的法向量，再利用面面角的向量求法求解即得.

【小問1詳解】

8戶和CE不垂直，理由如下：

以點C為坐標原點，直線C4,CB,CG分別為K為z軸建立空間直角坐標系，如圖,

則4（2,0,0）,5（0,2,0）,C（0,0,0）,4（2,0,2）,Z）（0,2,l）,G（0,0,2）,

33—3—3

E（0,l，5）,=（1,-1,-）,C￡=（0,l,-）,

因為斯?豆=1x0+(—1)x1+［乂［=:00,

所以4/T和CE不垂直.

【小問2詳解】

7_____

假設存在4使得平面.48C與平面P8E夾角的余弦值為，，由萬=2萬，得

〃(2(1-％),0,0),

顯然平面ABC的一個法向量為成=(0,0,1),PB=(2(Z-1),2,0),

山恬?麗二2(4-l)x+2y=0

設平面尸8尸的法向量為?=(x,y,z),則，------3，取x=3,得

n2-BF=x-y+—z=0

點二(3,3—3兒—24),

設平面力8C與平面P8/的夾角為。，

2221

貝ijcos0=cos(〃］,〃J=—?而0/4W1,解得2=—,

~斗n2^9+9(1-2)2+(-2/^)272

12

所以存在實數(shù)幾=5，使得平面48。與平面PBF夾角的余弦值為1.

17.將一枚質地均勻的骰子先后拋擲兩次，所得的向，的點數(shù)分別記為出力，設［入］表《不超

過實數(shù)x的最大整數(shù)，［，的值為隨機變量X

(1)求在x>o的條件下，x=g的概率;

b

(2)求X的分布列及其數(shù)學期望.

【正確答案】(1)|

41

(2)分布列見解析，—

【分析】(1)列舉X>0與X=3的樣本點，利用條件概率公式計算即可;

b

(2)根據(jù)離散型隨機變量的分布列與期望公式計算即可.

【小問1詳解】

記拋擲骰子的樣本點為（。力），則樣本空間為力）［1?046,1（646,4、/>GN）,樣本空

間容量為36,

設事件力為：X>0,事件4為：X=￡,

b

則力為：｛（1,1）,（2,1）,（3,1）,（4,1）,（5,1）,（6,1）,（2,2）,

（3,2）,（4,2）,（5,2）,（6,2）.（3,3）,（4,3）,（5,3）,（6,3）,（4,4）,（5,4）,（6,4）,

（5,5）,（6,5）,（6,6）｝,其包含的樣本點數(shù)為21,

44=｛（1,1）,（2,1）,（3,1）,（4,1）,（5,1）,（6,1）,（2,2）,（4,2）,（6,2）,（3,3）,（6,3）,（4,4）,（5,5）,（6,6）｝

,其包含的樣本點數(shù)為14,

根據(jù)條件概率得尸（回⑷=胃胃=^=|；

【小問2詳解】

隨機變量X的可能取值為0,1,2,3,4,5,6,

P（%=0）=36~21=—,P（%=1）=—=i,P（A=2）=—=-,

173612v7363v7369

p（X=3}=—=—,P（X=4）=—,P（X=5）=—P（X=6）=-

'73618v736v，36t'736t

所以其分布列為：

X0123456

5]_1111

P

n39?8363636

所以數(shù)學期望E（X）=0X2+1X'+2XL+3XJ-+4XL+5X-!-+6X—=—

'v712391836363636

18.如左圖所示，在直角梯形/8C。中，BC//AD,AD1CD,BC=2,NO=3,CO=G，

邊AD上一點E滿足DE=1.現(xiàn)將"BE沿BE折起至I」"BE的位置，使平面A、BEJ_平面

BCDE,如右圖所示.

(1)求證：AC1BE；

(2)求異血直線力。與BE的距離；

(3)求平面力乃￡與平面4c。所成銳二面角的余弦值.

【正確答案】(1)證明見解析

⑵男

2

(3)叵

7

【分析】(1)在圖1中，連接CE,證明4O_L8E,OC上BE,可證BE_L平面4。。，

即可得證；

(2)過。作4。的垂線QW,交4c于則OM即異面直線4。與4E的距離，求出

即可的解；

(3)在圖2中延長AE,CD,設4EnCO=G,連接4G,則4G是平面力乃￡與平面.4。。

的交線，由面面垂直得性質可得。CJ?平面48￡，即可得0CJ_4G,作。"J.4。，垂

足為〃，連接C”,證得4G_LC〃，則NOHC即為平面48E與平面4。。所成銳二面角

的平面角，從而可得出答案.

【小問1詳解】

證明：在圖1中，連接CE,易求CE=BC=BE=4E=4B=2.

???四邊形ABCE為菱形.連接AC交BE于點O,則AC工BE.

???在圖2中，Afi1BE,OC_L3E.又4O_LOC于。，

BE_L平面40c.

又4Cu平面4。。，???4C_L3￡；

【小問2詳解】

解：由勾股定理可得力c=2百，???4。=0。=6.

過。作4。的垂線0M，交4c于"，

則?！奔串惷姘倬€4c與RE的距面.

/?AOxOCV3xV3J6

OM=-.......=---7=-=——；

4。V62

【小問3詳解】

解：在圖2中延長8E,CD,設BEACD=G,連接4G.

???6￡平面48七，Ge平面4CO.

又同￡平面43E,平面耳。。.

???Afi是平面A.BE與平面A.CD的交線，

???平面48EJ_平面8")區(qū)OC1BE,平面48E上平面BCDE=BE,

???OCJ_平面,又4Gu平面48E,???0C_L4G,

作OU±Afi,垂足為H,連接CH,

乂?！╟OC=O,???4G_L平面0C”,乂C〃u平面OC〃，???4G_LC77.

???ZOHC即為平面44￡與平面4C。所成銳二面角的平面角.

由（1）知，”[BE,△8CE為等邊三角形,

OH(_)(j33

：,OC=sfi，-：^OHG^^XBAfi,A—=T^=7*解得0"==.

15AXD(J42

在RsCOH中,CH=Sc?+OH?=

.??cosZOHC=-=-^=—

CH7217,

???平面A、BE與平面A.CD所成銳二面角的余弦值叵.

7

圖1圖2

19.己知耳（一2,0）,工（2,0）,M是圓O：/+/=1上任意一點，巴關于點M的對稱點為

N,線段KN的垂直平分線與直線巴N相交于點7,記點7的軌跡為曲線C.

（1）求曲線。的方程；

（2）設E”,o）（r>0）為曲線。上一點，不與X軸垂直的直線/與曲線C交于G,〃兩點

（異于E點）.若直線GE,的斜率之積為2