高等代數(shù)1考試題及答案

單項選擇題（每題2分，共10題）1.設(shè)A是n階方陣，k是常數(shù)，則|kA|=（）A.k|A|B.|k||A|C.k^n|A|D.|k|^n|A|2.向量組α1，α2，…，αs線性相關(guān)的充要條件是（）A.其中有一個零向量B.其中有兩個向量成比例C.其中有一個向量是其余向量的線性組合D.以上都不對3.設(shè)A是m×n矩陣，r(A)=r，則A的行向量組的秩為（）A.mB.nC.rD.以上都不對4.二次型f(x1,x2,x3)=x1^2+2x2^2+3x3^2+4x1x2的矩陣為（）A.\(\begin{pmatrix}1&2&0\\2&2&0\\0&0&3\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}1&2&0\\2&4&0\\0&0&3\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}1&1&0\\1&2&0\\0&0&3\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{pmatrix}\)5.設(shè)λ是方陣A的特征值，則A^2的特征值為（）A.λB.λ^2C.2λD.以上都不對6.若矩陣A與B相似，則（）A.A與B有相同的特征值B.A與B有相同的特征向量C.A與B相等D.以上都不對7.實對稱矩陣A的不同特征值對應(yīng)的特征向量（）A.線性相關(guān)B.線性無關(guān)C.可能線性相關(guān)也可能線性無關(guān)D.以上都不對8.設(shè)A是n階正交矩陣，則|A|=（）A.1B.-1C.1或-1D.以上都不對9.多項式f(x)=x^3+2x^2+3x+4的次數(shù)是（）A.1B.2C.3D.410.設(shè)V是數(shù)域P上的線性空間，α，β∈V，則α+β=β+α稱為（）A.加法交換律B.加法結(jié)合律C.數(shù)乘結(jié)合律D.以上都不對答案：CCCADABCCA多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列哪些是n階方陣A可逆的充要條件（）A.|A|≠0B.r(A)=nC.A的列向量組線性無關(guān)D.A可以表示為一系列初等矩陣的乘積2.向量組α1，α2，…αs線性無關(guān)的充分條件是（）A.其中任意兩個向量線性無關(guān)B.其中任意一個向量都不能由其余向量線性表示C.存在一組不全為零的數(shù)k1,k2,…,ks，使得k1α1+k2α2+…+ksαs=0D.該向量組的秩等于s3.設(shè)A是m×n矩陣，B是n×p矩陣，則（）A.r(AB)≤r(A)B.r(AB)≤r(B)C.r(A+B)≤r(A)+r(B)D.r(A-B)≤r(A)+r(B)4.二次型f(x1,x2,x3)=x1^2+x2^2+x3^2+2x1x2+2x1x3+2x2x3是（）A.正定二次型B.負定二次型C.半正定二次型D.不定二次型5.設(shè)λ是方陣A的特征值，對應(yīng)的特征向量為α，則（）A.Aα=λαB.(A-λE)α=0C.A^kα=λ^kαD.f(A)α=f(λ)α（f(x)是多項式）6.若矩陣A與B相似，則（）A.A與B有相同的行列式B.A與B有相同的跡C.A與B有相同的秩D.A與B有相同的特征多項式7.實對稱矩陣A一定（）A.可以正交相似對角化B.特征值都是實數(shù)C.屬于不同特征值的特征向量正交D.是正定矩陣8.設(shè)A是n階正交矩陣，則（）A.A^-1=A^TB.A的列向量組是單位正交向量組C.A的行向量組是單位正交向量組D.|A|^2=19.下列哪些是多項式的運算律（）A.加法交換律B.加法結(jié)合律C.乘法交換律D.乘法結(jié)合律10.設(shè)V是數(shù)域P上的線性空間，α，β，γ∈V，則（）A.(α+β)+γ=α+(β+γ)B.k(α+β)=kα+kβC.(k+l)α=kα+lαD.k(lα)=(kl)α答案：ABCDBDABCDDABCDABCDABCABCDABCDABCD判斷題（每題2分，共10題）1.若A是方陣，且|A|=0，則A不可逆。（）2.向量組α1，α…αs中若有兩個向量成比例，則該向量組線性相關(guān)。（）3.矩陣的秩等于它的行秩也等于它的列秩。（）4.正定二次型的矩陣一定是正定矩陣。（）5.方陣A的特征向量一定是非零向量。（）6.相似矩陣一定有相同的特征向量。（）7.實對稱矩陣的特征值都是實數(shù)。（）8.正交矩陣的行列式等于1。（）9.多項式的加法和乘法滿足交換律、結(jié)合律和分配律。（）10.線性空間中零向量是唯一的。（）答案：√√√√√×√×√√簡答題（總4題，每題5分）1.簡述矩陣可逆的定義及判定方法。答：若方陣A存在方陣B使得AB=BA=E，則A可逆。判定方法有|A|≠0、r(A)=n等。2.說明向量組線性相關(guān)與線性無關(guān)的區(qū)別。答：線性相關(guān)指存在不全為零的數(shù)使向量組線性組合為零向量；線性無關(guān)則不存在這樣的數(shù)，只有全為零的數(shù)使線性組合為零向量。3.簡述實對稱矩陣的性質(zhì)。答：特征值為實數(shù)，不同特征值對應(yīng)的特征向量正交，可正交相似對角化。4.簡述線性空間的定義。答：非空集合V，對數(shù)域P中加法和數(shù)乘封閉，滿足加法交換律、結(jié)合律，數(shù)乘分配律等八條運算律。討論題（總4題，每題5分）1.討論矩陣秩的重要性。答：矩陣秩反映矩陣行（列）向量組線性無關(guān)程度及線性方程組解的情況等，在矩陣運算、線性方程組求解等方面很關(guān)鍵。2.談?wù)勏嗨凭仃囋诶碚摵蛯嶋H中的應(yīng)用。答：理論上用于簡化矩陣計算等，實際中在物理、工程等領(lǐng)域處理線性變換問題有應(yīng)用