2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)競賽排序不等式試卷一、選擇題（每題5分，共30分）設(shè)(a,b,c)為正實(shí)數(shù)，且(a\geqb\geqc>0)，則下列不等式中恒成立的是（）A.(a^2b+b^2c+c^2a\geqab^2+bc^2+ca^2)B.(a^2b+b^2c+c^2a\leqab^2+bc^2+ca^2)C.(a^2b+b^2c+c^2a=ab^2+bc^2+ca^2)D.以上均不正確已知兩組實(shí)數(shù)(x_1\leqx_2\leq\cdots\leqx_n)和(y_1\leqy_2\leq\cdots\leqy_n)，若(P=x_1y_n+x_2y_{n-1}+\cdots+x_ny_1)，(Q=x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_ny_n)，則（）A.(P\geqQ)B.(P\leqQ)C.(P=Q)D.(P)與(Q)的大小關(guān)系不確定設(shè)(a,b,c)為非負(fù)實(shí)數(shù)，且(a+b+c=1)，則(ab+bc+ca)的最大值為（）A.(\frac{1}{3})B.(\frac{1}{2})C.(\frac{2}{3})D.1若(a,b,c>0)，則(\frac{a}{b+c}+\frac{a+c}+\frac{c}{a+b})的最小值為（）A.(\frac{3}{2})B.2C.(\frac{5}{2})D.3已知正實(shí)數(shù)(a,b,c)滿足(a^2+b^2+c^2=1)，則(ab+bc+ca)的最大值與最小值之和為（）A.1B.(\frac{3}{2})C.2D.(\frac{5}{2})設(shè)(x,y,z)為正實(shí)數(shù)，且(x+y+z=1)，則(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y})的最小值為（）A.(\frac{1}{2})B.1C.(\frac{3}{2})D.2二、填空題（每題5分，共30分）設(shè)(a,b,c)為正實(shí)數(shù)，且(a\geqb\geqc)，則(a^3+b^3+c^3)與(3abc)的大小關(guān)系為________。已知(x,y,z>0)，且(x+y+z=6)，則(xy+yz+zx)的最大值為________。若(a,b,c)為正實(shí)數(shù)，且(a+b+c=1)，則(\frac{1}{a}+\frac{1}+\frac{1}{c})的最小值為________。設(shè)(x_1,x_2,\cdots,x_n)為正實(shí)數(shù)，且(x_1+x_2+\cdots+x_n=1)，則(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2)的最小值為________。已知(a,b,c>0)，且(a^2+b^2+c^2=3)，則(ab+bc+ca)的最大值為________。設(shè)(x,y,z)為正實(shí)數(shù)，且(xyz=1)，則(x+y+z)的最小值為________。三、解答題（每題15分，共60分）證明：對于任意正實(shí)數(shù)(a,b,c)，有(\frac{a^2}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geqa+b+c)。已知(a,b,c)為正實(shí)數(shù)，且(a+b+c=1)，求證：(a^3+b^3+c^3\geq\frac{1}{3}(a^2+b^2+c^2))。設(shè)(x_1,x_2,\cdots,x_n)為正實(shí)數(shù)，且(x_1+x_2+\cdots+x_n=S)，求證：(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2\geq\frac{S^2}{n})，并指出等號成立的條件。有10人各拿一只水桶去接水，設(shè)水龍頭注滿第(i)個(gè)人的水桶需要(t_i)分鐘，且這些(t_i)互不相同。問：只有一個(gè)水龍頭時(shí)，應(yīng)如何安排10人的順序，使他們等候的總時(shí)間最少？并求出這個(gè)最少的總時(shí)間。四、附加題（20分）設(shè)(a_1,a_2,\cdots,a_n)為正實(shí)數(shù)，求證：(\frac{a_1^2}{a_2}+\frac{a_2^2}{a_3}+\cdots+\frac{a_n^2}{a_1}\geqa_1+a_2+\cdots+a_n)。已知(a,b,c)為正實(shí)數(shù)，且(a+b+c=3)，求證：(\frac{a}+\frac{c}+\frac{c}{a}\geq3)。參考答案與解析一、選擇題A解析：由排序不等式，順序和(\geq)亂序和，即(a^2b+b^2c+c^2a\geqab^2+bc^2+ca^2)。B解析：(P)為反序和，(Q)為順序和，由排序不等式知反序和(\leq)順序和，即(P\leqQ)。A解析：由排序不等式，當(dāng)(a=b=c=\frac{1}{3})時(shí)，(ab+bc+ca)取得最大值(\frac{1}{3})。A解析：設(shè)(a\geqb\geqc>0)，則(\frac{a}{b+c}\geq\frac{a+c}\geq\frac{c}{a+b})，由排序不等式得(\frac{a}{b+c}+\frac{a+c}+\frac{c}{a+b}\geq\frac{3}{2})。C解析：最大值為1（當(dāng)(a=b=c=\frac{\sqrt{3}}{3})時(shí)），最小值為(-\frac{1}{2})（當(dāng)(a=1,b=c=0)時(shí)），之和為(\frac{1}{2}+1=\frac{3}{2})。A解析：由柯西不等式，((\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y})(y+z+x+z+x+y)\geq(x+y+z)^2=1)，即(\frac{x^2}{y+z}+\cdots\geq\frac{1}{2})。二、填空題(a^3+b^3+c^3\geq3abc)解析：由排序不等式的推論（均值不等式）可得。12解析：當(dāng)(x=y=z=2)時(shí)，(xy+yz+zx=12)。9解析：由柯西不等式，((a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}+\frac{1}{c})\geq9)。(\frac{1}{n})解析：由平方平均不等式，(\frac{x_1^2+\cdots+x_n^2}{n}\geq(\frac{x_1+\cdots+x_n}{n})^2=\frac{1}{n^2})，即(x_1^2+\cdots+x_n^2\geq\frac{1}{n})。3解析：當(dāng)(a=b=c=1)時(shí)，(ab+bc+ca=3)。3解析：由均值不等式，(x+y+z\geq3\sqrt[3]{xyz}=3)。三、解答題證明：不妨設(shè)(a\geqb\geqc>0)，則(a^2\geqb^2\geqc^2)，(\frac{1}{c}\geq\frac{1}\geq\frac{1}{a})。由排序不等式，順序和(\geq)亂序和，即(\frac{a^2}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq\frac{a^2}{a}+\frac{b^2}+\frac{c^2}{c}=a+b+c)。證明：由排序不等式，(a^3+b^3+c^3\geqa^2b+b^2c+c^2a)，同理(a^3+b^3+c^3\geqab^2+bc^2+ca^2)。兩式相加得(2(a^3+b^3+c^3)\geqa^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b)=(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)-(a^3+b^3+c^3))，整理得(3(a^3+b^3+c^3)\geqa^2+b^2+c^2)，即(a^3+b^3+c^3\geq\frac{1}{3}(a^2+b^2+c^2))。證明：由柯西不等式，((x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2)(1+1+\cdots+1)\geq(x_1+x_2+\cdots+x_n)^2=S^2)，即(x_1^2+\cdots+x_n^2\geq\frac{S^2}{n})。等號成立當(dāng)且僅當(dāng)(x_1=x_2=\cdots=x_n=\frac{S}{n})。解：應(yīng)按水桶注滿時(shí)間從小到大排序，即(t_1\leqt_2\leq\cdots\leqt_{10})。總等候時(shí)間為(T=10t_1+9t_2+\cdots+1t_{10})，此時(shí)總時(shí)間最少。四、附加題證明：由排序不等式，(\frac{a_1^2}{a_2}+\frac{a_2^2}{a_3}+\cdots+\frac{a_n^2}{a_1}\geqa_1+a_2+\cdots+a_n)（順序和(\geq)亂序和）。證明：由均值不等式