2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽歐拉定理試卷一、選擇題（共6小題，每小題5分，滿分30分）設(shè)正整數(shù)n>1，歐拉函數(shù)φ(n)表示小于n且與n互素的正整數(shù)個(gè)數(shù)，則φ(12)的值為（）A.2B.4C.6D.8在△ABC中，外接圓半徑為R，內(nèi)切圓半徑為r，外心與內(nèi)心的距離為d，則下列關(guān)系式正確的是（）A.d2=R2-2RrB.d2=R2+2RrC.d2=2R2-RrD.d2=R2-r2若正整數(shù)a與n互素，則下列結(jié)論正確的是（）A.a^φ(n)≡0(modn)B.a^φ(n)≡1(modn)C.a^φ(n)≡n-1(modn)D.a^φ(n)≡a(modn)對(duì)于凸多面體，其頂點(diǎn)數(shù)V、棱數(shù)E、面數(shù)F滿足的歐拉公式是（）A.V+E+F=2B.V-E+F=2C.V+E-F=2D.V-E-F=2設(shè)復(fù)數(shù)z=cosθ+isinθ，則根據(jù)歐拉公式，z可以表示為（）A.e^(iθ)B.e^(-iθ)C.e^(iπθ)D.e^(i2πθ)若a=3，n=7，且3^100mod7的值為（）A.2B.3C.4D.5二、填空題（共6小題，每小題5分，滿分30分）計(jì)算φ(18)=________（其中φ為歐拉函數(shù)）已知三角形的外接圓半徑R=5，內(nèi)切圓半徑r=2，則外心與內(nèi)心的距離d=________正四面體的頂點(diǎn)數(shù)V=4，面數(shù)F=4，則其棱數(shù)E=________設(shè)復(fù)數(shù)z=1+i，則z^5的模長(zhǎng)為________計(jì)算2^2025mod9=________若凸多邊形的內(nèi)角和為1440°，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是________三、解答題（共5小題，每小題12分，滿分60分）證明歐拉定理：若整數(shù)a與n互素，則a^φ(n)≡1(modn)證明：取模n的一個(gè)縮系{r?,r?,...,r_{φ(n)}}，因?yàn)閍與n互素，所以{ar?,ar?,...,ar_{φ(n)}}也是模n的一個(gè)縮系。因此，兩個(gè)縮系中所有元素的乘積模n相等，即：r?r?...r_{φ(n)}≡(ar?)(ar?)...(ar_{φ(n)})(modn)即：r?r?...r_{φ(n)}≡a^φ(n)r?r?...r_{φ(n)}(modn)由于r?r?...r_{φ(n)}與n互素，兩邊可以約去，得到a^φ(n)≡1(modn)，定理得證。已知正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為3，求該三棱錐的表面積和體積。解：首先計(jì)算底面正三角形的面積。底面邊長(zhǎng)為2，底面面積S底=√3/4×22=√3。側(cè)棱長(zhǎng)為3，側(cè)面為等腰三角形，斜高h(yuǎn)斜=√[32-(1)2]=√8=2√2。每個(gè)側(cè)面面積S側(cè)=1/2×2×2√2=2√2，三個(gè)側(cè)面總面積為3×2√2=6√2。所以表面積S=S底+3S側(cè)=√3+6√2。計(jì)算體積時(shí)，先求高h(yuǎn)。底面中心到底面頂點(diǎn)的距離r=2/√3=2√3/3。則高h(yuǎn)=√[32-(2√3/3)2]=√[9-4/3]=√(23/3)=√69/3。體積V=1/3×S底×h=1/3×√3×√69/3=√207/9=√23×√9/9=3√23/9=√23/3。設(shè)復(fù)數(shù)z?=1+i，z?=√3+i，求z?z?的指數(shù)形式，并計(jì)算其輻角主值。解：z?=1+i的模長(zhǎng)r?=√(12+12)=√2，輻角θ?=π/4，所以z?=√2(cosπ/4+isinπ/4)=√2e^(iπ/4)。z?=√3+i的模長(zhǎng)r?=√((√3)2+12)=2，輻角θ?=π/6，所以z?=2(cosπ/6+isinπ/6)=2e^(iπ/6)。z?z?=√2×2e^(i(π/4+π/6))=2√2e^(i5π/12)，其指數(shù)形式為2√2e^(i5π/12)，輻角主值為5π/12。用擴(kuò)展歐拉定理計(jì)算7^2025mod15的值。解：因?yàn)?和15不互素（gcd(7,15)=1），滿足歐拉定理?xiàng)l件。φ(15)=φ(3×5)=φ(3)φ(5)=2×4=8。2025mod8=2025-8×253=2025-2024=1，所以7^2025≡7^1≡7mod15，即7^2025mod15=7。證明三角形的外心O、重心G、垂心H三點(diǎn)共線（歐拉線），且OG:GH=1:2。證明：連接OH，設(shè)G為重心，只需證明G在OH上且OG=1/3OH。以O(shè)為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，設(shè)三角形三個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的向量為A、B、C，外心O為原點(diǎn)，則OA=OB=OC=R。重心G的向量表示為G=(A+B+C)/3。垂心H的向量表示為H=A+B+C（可通過(guò)向量證明）。因此OH向量=H=A+B+C，OG向量=G=(A+B+C)/3=OH/3，所以O(shè)G=1/3OH，即O、G、H三點(diǎn)共線且OG:GH=1:2。四、綜合題（共2小題，每小題15分，滿分30分）已知正多面體有五種：正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體和正二十面體。（1）分別計(jì)算這五種正多面體的頂點(diǎn)數(shù)V、棱數(shù)E、面數(shù)F，并驗(yàn)證歐拉公式V-E+F=2；（2）若一個(gè)正多面體的面都是正三角形，且頂點(diǎn)數(shù)V=12，求其面數(shù)F和棱數(shù)E。解：（1）五種正多面體的V、E、F如下：正四面體：V=4，E=6，F(xiàn)=4，V-E+F=4-6+4=2正六面體：V=8，E=12，F(xiàn)=6，V-E+F=8-12+6=2正八面體：V=6，E=12，F(xiàn)=8，V-E+F=6-12+8=2正十二面體：V=20，E=30，F(xiàn)=12，V-E+F=20-30+12=2正二十面體：V=12，E=30，F(xiàn)=20，V-E+F=12-30+20=2均滿足歐拉公式V-E+F=2。（2）設(shè)面數(shù)為F，每個(gè)面為正三角形，每面有3條邊，每條棱被2個(gè)面共用，所以3F=2E?E=3F/2。由歐拉公式V-E+F=2，已知V=12，代入得12-3F/2+F=2?12-F/2=2?F/2=10?F=20。則E=3F/2=3×20/2=30，所以面數(shù)F=20，棱數(shù)E=30。設(shè)n為正整數(shù)，證明以下結(jié)論：（1）若p為素?cái)?shù)，則φ(p)=p-1；（2）若m與n互素，則φ(mn)=φ(m)φ(n)；（3）利用（1）（2）的結(jié)論，計(jì)算φ(2025)的值。證明：（1）因?yàn)閜為素?cái)?shù)，小于p的正整數(shù)有1,2,...,p-1，共p-1個(gè)數(shù)，且均與p互素，所以φ(p)=p-1。（2）因?yàn)閙與n互素，根據(jù)歐拉函數(shù)的積性性質(zhì)，φ(mn)=φ(m)φ(n)。（可通過(guò)建立模mn的縮系與模m、模n縮系的雙射關(guān)系證明）（3）2025=452=(9×5)2=3?×52，所以φ(2025)=φ(3?)φ(52)。φ(3?)=3?-33=81-27=54，φ(52)=52-51=25-5=20，因此φ(2025)=54×20=1080。五、附加題（共1小題，滿分20分）設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z|=1，證明：對(duì)于任意正整數(shù)n，|z^n-1|=2|sin(nθ/2)|，其中θ為z的輻角，并利用該結(jié)論計(jì)算|(1+i)^10-1|的值。證明：因?yàn)閨z|=1，設(shè)z=e^(iθ)=cosθ+isinθ，z^n=e^(inθ)=cosnθ+isinnθ。|z^n-1|=|(cosnθ-1)+isinnθ|=√[(cosnθ-1)2+(sinnθ)2]=√[cos2nθ-2cosnθ+1+sin2nθ]=√[2-2cosnθ]=√[4sin2(nθ/2)]=2|sin(nθ/2)|。對(duì)于z=1+i，其模長(zhǎng)|z|=√2，輻角θ=π/4，先將z化為標(biāo)準(zhǔn)形式：z=√2e^(iπ/4)，則z^10=(√2)^10e^(i10×π/4)=2^5e^(i5π/2)=32e^(iπ/2)=32i。|z^10-1|=|32i-1|=√((-1)^2+32^2)=√(1+1024)=√1025=5√41。若直接用所證公式：|z^n-1|=2|sin(n