2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽民族情懷試卷一、選擇題（每題5分，共30分）《九章算術(shù)》中的粟米之法《九章算術(shù)》是中國古代最重要的數(shù)學(xué)典籍之一，其"粟米章"記載了比例換算的方法："粟米之法：粟率五十，糲米三十，粺米二十七，糳米二十四......"若現(xiàn)有粟米15斗，按照"粟米:粺米=50:27"的比例兌換，可得到粺米（）A.8.1斗B.9斗C.10.8斗D.12斗祖沖之圓周率的近似計(jì)算南朝數(shù)學(xué)家祖沖之將圓周率精確到小數(shù)點(diǎn)后7位，給出"密率"$\frac{355}{113}$和"約率"$\frac{22}{7}$。若用密率計(jì)算半徑為10丈的圓形土樓底面周長（1丈=10尺），所得結(jié)果與實(shí)際值的誤差小于（）A.1寸B.1分C.1厘D.1毫《周髀算經(jīng)》中的勾股定理《周髀算經(jīng)》記載："勾廣三，股修四，徑隅五"，這是勾股定理的特例。現(xiàn)有一直角三角形，其三邊長度恰為連續(xù)正整數(shù)，且對(duì)應(yīng)《周髀算經(jīng)》中"弦"的邊長為（）A.12B.13C.14D.15秦九韶算法與多項(xiàng)式求值南宋數(shù)學(xué)家秦九韶發(fā)明的"增乘開方法"可高效求解多項(xiàng)式的值。用秦九韶算法計(jì)算多項(xiàng)式$f(x)=2x^5-3x^4+4x^3-5x^2+6x-7$在$x=2$時(shí)的值，需進(jìn)行加法運(yùn)算的次數(shù)為（）A.4B.5C.6D.7楊輝三角與二項(xiàng)式系數(shù)北宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》中記載了"開方作法本源圖"（即楊輝三角），比歐洲早約600年。若將楊輝三角中第$n$行（自上而下，從0開始計(jì)數(shù)）的第$k$個(gè)數(shù)記為$C(n,k)$，則$C(8,3)+C(8,4)$等于（）A.$C(9,3)$B.$C(9,4)$C.$C(10,3)$D.$C(10,4)$侗族鼓樓的幾何結(jié)構(gòu)侗族鼓樓是民族建筑的瑰寶，其頂部多為正八邊形攢尖頂。若某鼓樓頂部正八邊形的外接圓半徑為$R$，則該正八邊形的邊長為（）A.$R\sin\frac{\pi}{8}$B.$2R\sin\frac{\pi}{8}$C.$R\cos\frac{\pi}{8}$D.$2R\cos\frac{\pi}{8}$二、填空題（每題5分，共30分）《海島算經(jīng)》中的測(cè)量術(shù)劉徽在《海島算經(jīng)》中提出"重差術(shù)"解決遠(yuǎn)距離測(cè)量問題："今有望海島，立兩表齊高三丈，前后相去千步，令后表與前表參相直。從前表卻行一百二十三步，人目著地取望島峰，與表末參合。從后表卻行一百二十七步，人目著地取望島峰，亦與表末參合。問島高及去表各幾何？"（注：1步=6尺，1丈=10尺）若將問題簡化為：兩表間距$d=1000$步，前表退行$a=123$步，后表退行$b=127$步，則島高$h=$______丈。藏族唐卡中的對(duì)稱圖案藏族唐卡常使用旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖案，若某圖案由一個(gè)基礎(chǔ)圖形繞中心點(diǎn)旋轉(zhuǎn)$n$次后形成（每次旋轉(zhuǎn)角度相同），且旋轉(zhuǎn)角$\theta$滿足$\cos\theta=\frac{1}{2}$，則$n$的最小值為______。《算學(xué)啟蒙》中的數(shù)列問題元代數(shù)學(xué)家朱世杰在《算學(xué)啟蒙》中記載："今有良馬日行二百四十里，駑馬日行一百五十里。駑馬先行一十二日，問良馬幾何日追及之？"若設(shè)良馬$x$日追上駑馬，則可列方程為______。苗族銀飾的幾何排列苗族銀飾常用圓形銀片按等比數(shù)列排列，若某銀冠頂部第一圈有3片銀片，向下每圈銀片數(shù)量是上一圈的2倍，共8圈，則銀片總數(shù)為______?！端脑耔b》中的多元方程朱世杰在《四元玉鑒》中創(chuàng)立"四元術(shù)"（即四元高次方程組解法），若方程組$\begin{cases}x+y=5\xy=6\end{cases}$的解對(duì)應(yīng)古代"天元"$x$和"地元"$y$，則$x^3+y^3=$______。敦煌壁畫中的幾何圖形敦煌莫高窟第61窟"五臺(tái)山圖"中繪有正六邊形佛塔基座，若該基座邊長為$a$，則其內(nèi)切圓與外接圓的面積之比為______。三、解答題（共40分）（10分）《九章算術(shù)》中的體積計(jì)算《九章算術(shù)》"商功章"記載："今有芻甍，下廣三丈，袤四丈；上袤二丈，無廣；高一丈。問積幾何？"（注：芻甍為五面體，下底面為矩形，上底面為一線段，兩側(cè)面為梯形，前后為三角形）（1）畫出芻甍的直觀圖并標(biāo)注尺寸；（2）用祖暅原理推導(dǎo)其體積公式$V=\frac{1}{6}(2b+b')ah$（其中$b$為下底長，$b'$為上棱長，$a$為下底寬，$h$為高）；（3）計(jì)算該芻甍的體積。（12分）華羅庚與優(yōu)選法數(shù)學(xué)家華羅庚在20世紀(jì)60年代推廣"優(yōu)選法"，用黃金分割數(shù)$\omega=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx0.618$解決生產(chǎn)優(yōu)化問題。某民族工藝品廠要優(yōu)化銀器鍛造溫度，已知最佳溫度在$1000^\circC$~$1200^\circC$之間，設(shè)溫度$x(^\circC)$與合格率$y(%)$的關(guān)系為二次函數(shù)$y=ax^2+bx+c$。（1）用0.618法選取第一個(gè)試點(diǎn)$x_1$；（2）若$x_1=1123.6^\circC$時(shí)合格率$y_1=92%$，第二個(gè)試點(diǎn)$x_2=1076.4^\circC$時(shí)合格率$y_2=88%$，求函數(shù)$y(x)$的解析式；（3）求最佳溫度及最高合格率。（18分）鄭和下西洋與航海數(shù)學(xué)明代鄭和七下西洋是世界航海史上的壯舉，航海中需用"牽星術(shù)"測(cè)量星體高度來確定緯度，其原理如圖所示：在一根長為$l$的牽星桿上，滑動(dòng)觀測(cè)板（稱為"窺"），使窺的上邊緣、下邊緣與目標(biāo)星體、海平面對(duì)齊，測(cè)出窺與桿底端距離$d$，則星體高度角$\alpha$滿足$\tan\alpha=\frac{l-d}$（$b$為窺的寬度）。（1）若牽星桿長$l=1$丈，窺寬$b=2$寸，某次觀測(cè)得$d=6$尺，求$\alpha$的度數(shù)（精確到0.1°）；（2）已知地球半徑$R\approx6370km$，若在北緯$\alpha$處觀測(cè)北極星，其高度角近似等于當(dāng)?shù)鼐暥取Ｈ舸?duì)從北緯$30^\circ$的劉家港出發(fā)，到達(dá)北緯$10^\circ$的爪哇，求航線最短距離（精確到1km）；（3）設(shè)航線為球面大圓，某日正午太陽直射點(diǎn)緯度為$\delta=20^\circN$，船隊(duì)所在地緯度為$\varphi=25^\circN$，求該日正午太陽高度角$\theta$（公式：$\theta=90^\circ-|\varphi-\delta|$），并說明其幾何意義。附加題（20分）中國剩余定理的應(yīng)用《孫子算經(jīng)》記載："今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何？"這是中國剩余定理的經(jīng)典問題。（1）用枚舉法求滿足條件的最小正整數(shù)；（2）用現(xiàn)代數(shù)學(xué)語言表示該問題的同余方程組；（3）某民族學(xué)校將學(xué)生分成若干小組參加刺繡比賽，若每組3人則余2人，每組5人則余3人，每組7人則余4人，且學(xué)生總數(shù)在100~200人之間，求學(xué)生人數(shù)；（4）證明：對(duì)于互質(zhì)的正整數(shù)$m,n$，同余方程組$\begin{cases}x\equiva\modm\x\equivb\modn\end{cases}$有唯一解$x\equiva\cdotn\cdotn^{-1}_m+b\cdotm\cdotm^{-1}_n\modmn$，其中$n^{-1}_m$