2025年下學(xué)期高中理科數(shù)學(xué)拔高訓(xùn)練試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）已知集合A={x|x2-3x+2≤0}，B={x|log?(x-1)≥1}，則A∩B=（）A.[1,2]B.[2,+∞)C.[2,3]D.[1,3]函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)(|φ|<π/2)的圖像向左平移π/6個單位后關(guān)于原點對稱，則φ的值為（）A.π/6B.-π/6C.π/3D.-π/3已知向量a=(1,2)，b=(m,-1)，若a⊥(a+b)，則實數(shù)m的值為（）A.-3B.3C.-5D.5已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S3=7，S6=63，則a7+a8+a9=（）A.512B.384C.256D.128某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積為（）A.12πcm3B.16πcm3C.20πcm3D.24πcm3已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+2x，則函數(shù)f(x)的極大值點為（）A.x=0B.x=1C.x=2D.x=3在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a=2，b=3，c=√7，則角C=（）A.π/6B.π/4C.π/3D.π/2已知拋物線y2=4x的焦點為F，準(zhǔn)線為l，點P在拋物線上，且在第一象限，過點P作l的垂線，垂足為M，若|MF|=2√3，則點P的坐標(biāo)為（）A.(1,2)B.(2,2√2)C.(3,2√3)D.(4,4)已知函數(shù)f(x)=|lnx|，若0<a<b，且f(a)=f(b)，則a+2b的取值范圍是（）A.(3,+∞)B.[3,+∞)C.(2√2,+∞)D.[2√2,+∞)已知雙曲線C：x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0)的離心率為√3，右焦點為F，過點F作一條漸近線的垂線，垂足為M，若△OFM的面積為√2（O為坐標(biāo)原點），則雙曲線C的方程為（）A.x2/2-y2/4=1B.x2/4-y2/2=1C.x2/3-y2/6=1D.x2/6-y2/3=1已知函數(shù)f(x)=sinωx+cosωx(ω>0)，若f(x)在區(qū)間(0,π)上有且只有兩個極值點，則ω的取值范圍是（）A.(1,3/2]B.(3/2,5/2]C.(5/2,7/2]D.(7/2,9/2]已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=f(x)，且當(dāng)x∈[0,2)時，f(x)=x2-2x，則函數(shù)g(x)=f(x)-log?|x|的零點個數(shù)為（）A.2B.3C.4D.5二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）若復(fù)數(shù)z滿足(1+i)z=2i（i為虛數(shù)單位），則|z|=________。已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2,σ2)，若P(X<4)=0.8，則P(0<X<2)=________。已知正四棱錐P-ABCD的底面邊長為2，側(cè)棱長為√5，則該正四棱錐的體積為________。已知函數(shù)f(x)=x3-3ax2+3bx(a,b∈R)，若函數(shù)f(x)在x=1處有極值，且其圖像在點(1,f(1))處的切線與直線6x+2y+5=0平行，則a+b=________。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）（本小題滿分10分）已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足Sn=2an-2(n∈N*)。（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；（Ⅱ）設(shè)bn=log?an，求數(shù)列{1/(bnbn+1)}的前n項和Tn。（本小題滿分12分）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足ccosB=(2a-b)cosC。（Ⅰ）求角C的大??；（Ⅱ）若c=2√3，求△ABC面積的最大值。（本小題滿分12分）如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB=AC=AA1=2，∠BAC=90°，點D為BC的中點。（Ⅰ）求證：A1B//平面ADC1；（Ⅱ）求二面角A1-AD-C1的余弦值。（本小題滿分12分）已知橢圓C：x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的離心率為√2/2，且過點(1,√2/2)。（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）設(shè)直線l與橢圓C交于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，若OA⊥OB，求證：原點O到直線l的距離為定值。（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)=lnx-ax+1(a∈R)。（Ⅰ）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；（Ⅱ）若函數(shù)f(x)有兩個零點x1，x2(x1<x2)，求證：x1+x2>2/a。（本小題滿分14分）已知拋物線C：y2=4x的焦點為F，準(zhǔn)線為l，過點F的直線與拋物線C交于A，B兩點，點A在第一象限，過點A作準(zhǔn)線l的垂線，垂足為M，線段MF與拋物線C交于點N。（Ⅰ）若直線AB的斜率為1，求|AB|的值；（Ⅱ）求證：點N為線段MF的中點；（Ⅲ）若|AF|=m|BF|(m>1)，求m的值，使得四邊形AMBN的面積最小。參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題C2.B3.A4.B5.D6.A7.C8.C9.A10.A11.B12.C二、填空題√214.0.315.4/316.-1三、解答題（Ⅰ）解：當(dāng)n=1時，S1=2a1-2，解得a1=2。當(dāng)n≥2時，Sn-1=2an-1-2，則an=Sn-Sn-1=2an-2-(2an-1-2)=2an-2an-1，整理得an=2an-1，所以數(shù)列{an}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，故an=2×2^(n-1)=2^n。（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知bn=log?an=log?2^n=n，則1/(bnbn+1)=1/(n(n+1))=1/n-1/(n+1)，所以Tn=1/1-1/2+1/2-1/3+...+1/n-1/(n+1)=1-1/(n+1)=n/(n+1)。（Ⅰ）解：由正弦定理得sinCcosB=(2sinA-sinB)cosC，即sinCcosB+sinBcosC=2sinAcosC，所以sin(B+C)=2sinAcosC，因為A+B+C=π，所以sin(B+C)=sinA，則sinA=2sinAcosC，因為sinA≠0，所以cosC=1/2，又0<C<π，所以C=π/3。（Ⅱ）解：由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC，即12=a2+b2-ab，因為a2+b2≥2ab，所以12=a2+b2-ab≥2ab-ab=ab，即ab≤12，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2√3時取等號，所以△ABC的面積S=1/2absinC=1/2ab×√3/2=√3/4ab≤√3/4×12=3√3，故△ABC面積的最大值為3√3。（Ⅰ）證明：連接A1C，交AC1于點O，連接OD，因為四邊形ACC1A1是平行四邊形，所以O(shè)為A1C的中點，又D為BC的中點，所以O(shè)D//A1B，因為OD?平面ADC1，A1B?平面ADC1，所以A1B//平面ADC1。（Ⅱ）解：以A為坐標(biāo)原點，AB，AC，AA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,0)，A1(0,0,2)，D(1,1,0)，C1(0,2,2)，所以向量AD=(1,1,0)，向量AC1=(0,2,2)，向量A1D=(1,1,-2)，設(shè)平面ADC1的法向量為n=(x,y,z)，則{n·AD=0,n·AC1=0}，即{x+y=0,2y+2z=0}，令x=1，則y=-1，z=1，所以n=(1,-1,1)，設(shè)平面A1AD的法向量為m=(a,b,c)，則{m·AD=0,m·A1A=0}，即{a+b=0,2c=0}，令a=1，則b=-1，c=0，所以m=(1,-1,0)，所以cos<n,m>=n·m/(|n||m|)=(1×1+(-1)×(-1)+1×0)/(√(1+1+1)×√(1+1+0))=2/(√3×√2)=√6/3，由圖可知二面角A1-AD-C1為銳角，故二面角A1-AD-C1的余弦值為√6/3。（Ⅰ）解：由題意得{e=c/a=√2/2,1/a2+(√2/2)2/b2=1,a2=b2+c2}，解得{a2=2,b2=1,c2=1}，所以橢圓C的方程為x2/2+y2=1。（Ⅱ）證明：當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y=kx+m，聯(lián)立{y=kx+m,x2/2+y2=1}，得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0，設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，則x1+x2=-4km/(1+2k2)，x1x2=(2m2-2)/(1+2k2)，因為OA⊥OB，所以向量OA·向量OB=x1x2+y1y2=0，又y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2，所以x1x2+k2x1x2+km(x1+x2)+m2=0，即(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0，將x1+x2，x1x2代入上式，得(1+k2)(2m2-2)/(1+2k2)+km(-4km)/(1+2k2)+m2=0，整理得3m2=2(1+k2)，所以原點O到直線l的距離d=|m|/√(1+k2)=|m|/√(3m2/2)=√6/3，當(dāng)直線l的斜率不存在時，設(shè)直線l的方程為x=t，則A(t,√(1-t2/2))，B(t,-√(1-t2/2))，因為OA⊥OB，所以t2-(1-t2/2)=0，解得t=±√6/3，此時原點O到直線l的距離d=√6/3，綜上，原點O到直線l的距離為定值√6/3。（Ⅰ）解：函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞)，f'(x)=1/x-a=1-ax/x，當(dāng)a≤0時，f'(x)>0恒成立，所以函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增；當(dāng)a>0時，令f'(x)=0，得x=1/a，當(dāng)0<x<1/a時，f'(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x>1/a時，f'(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，綜上，當(dāng)a≤0時，函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增；當(dāng)a>0時，函數(shù)f(x)在(0,1/a)上單調(diào)遞增，在(1/a,+∞)上單調(diào)遞減。（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知，當(dāng)a≤0時，函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，最多有一個零點，不符合題意，所以a>0，且函數(shù)f(x)在x=1/a處取得極大值f(1/a)=ln(1/a)-a×1/a+1=-lna，因為函數(shù)f(x)有兩個零點，所以f(1/a)=-lna>0，即0<a<1，又f(1)=ln1-a×1+1=1-a>0，當(dāng)x→0+時，lnx→-∞，-ax+1→1，所以f(x)→-∞，當(dāng)x→+∞時，lnx的增長速度小于ax的增長速度，所以f(x)→-∞，所以存在x1∈(0,1/a)，x2∈(1/a,+∞)，使得f(x1)=f(x2)=0，令g(x)=f(x)-f(2/a-x)，x∈(0,1/a)，則g'(x)=f'(x)+f'(2/a-x)=1/x-a+1/(2/a-x)-a=1/x+a/(2-ax)-2a=(2-ax+ax-2ax(2-ax))/(x(2-ax))=(2-4ax+2a2x2)/(x(2-ax))=2(ax-1)2/(x(2-ax))，因為x∈(0,1/a)，所以ax-1<0，x(2-ax)>0，所以g'(x)>0，即函數(shù)g(x)在(0,1/a)上單調(diào)遞增，所以g(x1)<g(1/a)=f(1/a)-f(2/a-1/a)=0，即f(x1)-f(2/a-x1)<0，因為f(x1)=f(x2)，所以f(x2)<f(2/a-x1)，又x2>1/a，2/a-x1>2/a-1/a=1/a，且函數(shù)f(x)在(1/a,+∞)上單調(diào)遞減，所以x2>2/a-x1，即x1+x2>2/a。（Ⅰ）解：由題意得F(1,0)，l：x=-1，因為直線AB的斜率為1，所以直線AB的方程為y=x-1，聯(lián)立{y=x-1,y2=4x}，得(x-1)2=4x，即x2-6x+1=0，設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，則x1+x2=6，所以|AB|=x1+x2+2=6+2=8。（Ⅱ）證明：設(shè)直線AB的方程為x=ty+1，聯(lián)立{x=ty+1,y2=4x}，得y2-4ty-4=0，設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，則y1+y2=4t，y1y2=-4，因為點A在第一象限，所以y1>0，因為點M是點A在準(zhǔn)線l上的垂足，所以M(-1,y1)，又F(1,0)，所以直線MF的方程為y=(-y1/2)(x-1)，聯(lián)立{y=(-y1/2)(x-1),y2=4x}，得(y12/4)(x-1)2=4x，因為y12=4x1，所以x1(x-1)2=4x，即x1x2-(2x1+4)x+x1=0，因為x=1是方程的一個根，設(shè)另一個根為xN，則x1xN=x1/1，所以xN=1，將xN=1代入y=(-y1/2)(x-1)，得yN=0，所以點N的坐標(biāo)為(1,0)，即點N為線段MF的中點。（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知y1y2=-4，因為|AF|=