2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)競賽概率統(tǒng)計試卷一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）一個不均勻的骰子，擲出1，2，3，4，5，6點的概率依次成等差數(shù)列。獨立地先后擲該骰子兩次，所得的點數(shù)分別記為m，n。若事件“m>n”發(fā)生的概率為$\frac{7}{12}$，則事件“m=n”發(fā)生的概率為（）A.$\frac{1}{6}$B.$\frac{1}{4}$C.$\frac{1}{3}$D.$\frac{5}{12}$青蛙在正方形ABCD的四個頂點間跳躍，每次跳躍總是等可能地跳至與當前所在頂點相鄰的兩個頂點之一，且各次跳躍是獨立的。若青蛙第一次跳躍前位于頂點A，則它第6次跳躍后恰好仍位于頂點A的概率為（）A.$\frac{1}{4}$B.$\frac{5}{16}$C.$\frac{1}{2}$D.$\frac{11}{32}$設(shè)n為正整數(shù)。從1，2，…，n中隨機選出一個數(shù)，若事件“該數(shù)是3的倍數(shù)”發(fā)生的概率為$\frac{1}{3}$，則n的所有可能的值為（）A.9和12B.12和15C.12和18D.15和18一枚不均勻的硬幣，若隨機拋擲它兩次均得到正面的概率是均得到反面的概率的9倍，則隨機拋擲它兩次得到正面、反面各一次的概率為（）A.$\frac{3}{8}$B.$\frac{3}{10}$C.$\frac{3}{16}$D.$\frac{3}{5}$在某次數(shù)學(xué)競賽小組交流活動中，四名男生與三名女生按隨機次序圍坐一圈，則三名女生兩兩不相鄰的概率為（）A.$\frac{1}{7}$B.$\frac{2}{7}$C.$\frac{3}{7}$D.$\frac{4}{7}$從1，2，…，10中隨機選出三個不同的數(shù)，它們兩兩互素的概率為（）A.$\frac{11}{60}$B.$\frac{13}{60}$C.$\frac{17}{60}$D.$\frac{19}{60}$甲、乙兩人進行羽毛球比賽，已知每局比賽甲勝的概率為$\frac{2}{3}$，乙勝的概率為$\frac{1}{3}$，規(guī)定誰先勝3局誰贏得勝利，則甲贏得勝利的概率為（）A.$\frac{64}{81}$B.$\frac{65}{81}$C.$\frac{67}{81}$D.$\frac{68}{81}$現(xiàn)有甲、乙兩人進行某棋類比賽，每局比賽時，若決出輸贏則獲勝方得2分，負方得0分；若平局則各得1分。已知甲在每局中獲勝、平局、負的概率均為$\frac{1}{3}$，且各局比賽結(jié)果相互獨立。若比賽共進行三局，則甲共得3分的概率為（）A.$\frac{7}{27}$B.$\frac{8}{27}$C.$\frac{10}{27}$D.$\frac{11}{27}$二、填空題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）將一枚均勻的骰子獨立投擲三次，所得的點數(shù)依次記為a，b，c，則事件“a+b>c”發(fā)生的概率為________。投籃測試規(guī)則如下：每人最多投三次，投中為止，且第k次投中得分為(4-k)分，若三次均未投中則得分為0分。假設(shè)甲同學(xué)投籃的命中率為p，且甲同學(xué)參加投籃測試的投籃次數(shù)的均值為1.56，則甲同學(xué)投籃測試的得分的均值為________。有4道選擇題，每題有4個選項，其中恰有一個選項正確。某同學(xué)對每道選擇題都隨機選擇一個選項，則該同學(xué)恰好答對兩題的概率為________。某校三個年級舉辦乒乓球比賽，每個年級選派4名選手參加比賽，組委會隨機將這12名選手分成6組，每組2人，則在上述分組方式中每組的2人均來自不同年級的概率為________。設(shè)集合M={1,2,3,4}。若M的子集A滿足：若x∈A，則5-x?A，則稱子集A具有性質(zhì)P，現(xiàn)從M的所有非空子集中，等可能地取出一個，則所取出的非空子集具有性質(zhì)P的概率為________。從1，2，…，11中任取三個不同的數(shù)，則這三個數(shù)可以構(gòu)成等差數(shù)列的概率為________。一珍稀物種出現(xiàn)在地球，對每個珍稀生物，每天有如下事件發(fā)生：有$\frac{1}{6}$的概率消失，有$\frac{1}{3}$的概率保持不變，有$\frac{1}{3}$的概率分裂成兩個，有$\frac{1}{6}$的概率分裂成三個。對所有新產(chǎn)生的生物每天也會發(fā)生上述事件。假設(shè)開始只有一個這樣的珍稀生物，若希望最終這種生物滅絕的概率不超過$\frac{1}{2}$，則p至多為________。已知來自三校的60名學(xué)生參加面試，其中A校10人，B校20人，C校30人，面試時每次都從尚未面試的學(xué)生中隨機抽取一位，面試完畢后再選擇下一位面試。則A校學(xué)生先于其他兩校學(xué)生完成面試的概率為________。三、解答題（本大題共6小題，共70分）17.（本小題滿分10分）盒中有標記數(shù)字1，2的小球各2個。（1）若有放回地隨機取出2個小球，求取出的2個小球上的數(shù)字不同的概率；（2）若不放回地依次隨機取出4個小球，記相鄰小球上的數(shù)字相同的對數(shù)為X（如1122，則X=2），求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X)。18.（本小題滿分12分）甲、乙兩人進行某棋類比賽，每局比賽時，若決出輸贏則獲勝方得2分，負方得0分；若平局則各得1分。已知甲在每局中獲勝、平局、負的概率均為$\frac{1}{3}$，且各局比賽結(jié)果相互獨立。（1）若比賽共進行了三局，求甲共得3分的概率；（2）規(guī)定比賽最多進行五局，若一方比另一方多得4分，則停止比賽，求比賽局數(shù)X的分布列與數(shù)學(xué)期望。19.（本小題滿分12分）某市在高中階段舉辦“環(huán)保知識競賽”，全體高中生參與了此次活動?，F(xiàn)從參賽學(xué)生中隨機抽取了男、女各30名學(xué)生，將他們的成績（單位：分）按[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]五個分數(shù)段進行分組，統(tǒng)計如下：成績[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]男生人數(shù)361182女生人數(shù)ab1242（1）在抽取的60名學(xué)生中，從成績在80分及以上的學(xué)生中隨機抽取2人，求恰好男、女生各1人，且2人分數(shù)段不同的概率；（2）從該市參賽的男生中隨機抽取4人，設(shè)成績在80分及以上的人數(shù)為X，用頻率估計概率，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）試確定a，b的值，使得抽取的女生成績方差最小。20.（本小題滿分12分）設(shè)整數(shù)n≥4，從編號1,2,...,n的卡片中有放回地等概率抽取，并記錄下每次的編號。若1，2均出現(xiàn)或3，4均出現(xiàn)就停止抽取，設(shè)抽取卡片數(shù)的數(shù)學(xué)期望為E(n)。（1）求E(4)；（2）證明：E(n)≤E(n+1)對任意n≥4恒成立。21.（本小題滿分12分）現(xiàn)有甲、乙、丙三人進行傳球訓(xùn)練，每次傳球時，持球者會等可能地傳給另外兩人中的任意一位，若第一次由甲開始傳球。（1）求經(jīng)過四次傳球后，球回到甲手中的概率；（2）設(shè)經(jīng)過n次傳球后，球在甲手中的概率為P(n)，在乙手中的概率為Q(n)，在丙手中的概率為R(n)。①證明：P(n+1)=Q(n)=R(n)；②求P(n)的表達式，并求$\lim_{n\to\infty}P(n)$。22.（本小題滿分12分）某闖關(guān)游戲規(guī)則如下：在第k關(guān)要投擲骰子k次，如果這k次投擲所得