2025年下學期高中數(shù)學競賽操作問題試卷一試（共80分鐘，滿分120分）一、填空題（本大題共8小題，每小題8分，共64分）某實驗室需將濃度為75%的酒精溶液與濃度為40%的酒精溶液混合，配置出1000毫升濃度為60%的酒精溶液用于儀器消毒。設需75%酒精溶液x毫升，40%酒精溶液y毫升，可列方程組為________，其正整數(shù)解為________。用一個半徑為10cm的圓形鐵片制作一個無蓋圓柱形容器，需在鐵片中央挖去一個小圓作為容器底面。設挖去小圓的半徑為rcm，容器體積為Vcm3，則V關于r的函數(shù)解析式為________，當r=________時容器體積最大。某密碼鎖有3個撥盤，每個撥盤上有0-9共10個數(shù)字。若在一次嘗試中，每個撥盤隨機轉(zhuǎn)動到一個數(shù)字，則恰好有兩個撥盤數(shù)字相同的概率為________。用總長為24m的籬笆圍成一個矩形菜園，菜園一邊靠墻（墻長不限），則菜園面積的最大值為________m2，此時矩形的長為________m。某工廠生產(chǎn)A、B兩種零件，生產(chǎn)1個A零件需2小時，生產(chǎn)1個B零件需3小時，每天總工時不超過120小時。已知A零件每個利潤5元，B零件每個利潤8元，每天生產(chǎn)兩種零件的總利潤最大值為________元。用半徑為R的球切割出一個體積最大的正方體，則正方體的棱長為________，體積為________。某物流公司用無人機向山區(qū)運送物資，無人機在距離地面100m的高度以10m/s的速度水平飛行。當無人機距離目標投放點的水平距離為________m時，物資恰好能垂直落到目標點（不計空氣阻力，重力加速度g=10m/s2）?，F(xiàn)有5個不同的紅球和3個不同的白球，從中任取4個球排成一列，要求紅球和白球均至少有1個，則不同的排列方法共有________種。二、解答題（本大題共3小題，共56分）（16分）某車間加工一批零件，原計劃每天加工50個，12天完成。實際加工時引入自動化設備，效率提升20%，但因設備調(diào)試耽誤了2天。（1）實際每天加工零件多少個？（2）實際完成任務比原計劃推遲了幾天？（3）若剩余零件必須在3天內(nèi)完成，每天至少需多加工多少個零件？（20分）如圖，在平面直角坐標系中，矩形ABCD的頂點A(0,0)，B(4,0)，C(4,3)，D(0,3)。點P從A出發(fā)，沿AB→BC→CD→DA勻速運動，速度為1單位/秒，設運動時間為t秒（0≤t≤14）。（1）寫出點P的坐標關于t的函數(shù)解析式；（2）當t為何值時，△PBD的面積為6？（3）若點Q(2,2)，求PQ長度的最小值及對應的t值。（20分）某電商平臺銷售甲、乙兩種商品，甲商品售價為每件30元，利潤率為50%；乙商品售價為每件50元，利潤率為25%。（1）求甲、乙兩種商品的成本價；（2）若平臺推出“滿100減10”促銷活動（每滿100元減10元，可疊加），某顧客購買x件甲商品和y件乙商品，總付款金額為W元，寫出W關于x、y的函數(shù)解析式；（3）若顧客購買甲商品數(shù)量不超過乙商品數(shù)量的2倍，且總預算不超過200元，求最大購買數(shù)量。二試（共170分鐘，滿分180分）一、平面幾何操作問題（40分）已知銳角△ABC中，AB=5，AC=6，BC=7，點D為BC中點，點E在AB上，且AE=2EB。（1）用尺規(guī)作圖法作出△ABC的外接圓（保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）證明：DE∥AC；（3）若過點E作BC的垂線，垂足為F，求△DEF的面積。二、代數(shù)操作問題（45分）已知函數(shù)f(x)=|x-2|+|2x+1|，g(x)=ax2+bx+c（a≠0）。（1）作出函數(shù)f(x)的圖像，并求出f(x)的最小值；（2）若g(x)的圖像經(jīng)過點(0,3)，且與f(x)的圖像有三個交點，求a、b、c滿足的條件；（3）設h(x)=f(x)+g(x)，若對任意x∈[-1,2]，h(x)≥0恒成立，求a的取值范圍。三、數(shù)論與組合操作問題（50分）（1）證明：任意5個整數(shù)中，必有3個數(shù)的和是3的倍數(shù)；（2）現(xiàn)有100個盒子，每個盒子中裝有1個紅球或1個藍球，且紅球數(shù)量不少于藍球。每次操作可任選2個盒子，交換其中的球。若經(jīng)過有限次操作后，所有紅球集中在前m個盒子中，求m的最小值；（3）在1~2025的所有正整數(shù)中，任取k個數(shù)，使得其中必有兩個數(shù)的差為4，求k的最小值。四、實際應用操作問題（45分）某城市規(guī)劃修建一條連接A、B兩地的地鐵線路，A、B相距10km，地鐵線路需經(jīng)過P、Q兩個站點，其中P在A北偏東30°方向，距離A4km處；Q在B北偏西45°方向，距離B5km處。（1）建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，求出P、Q兩點的坐標；（2）若地鐵線路為線段PQ，求線路長度；（3）若地鐵線路需在PQ之間設置一個換乘站M，使得A到M的距離與B到M的距離之和最小，求M點的位置及最小距離。參考答案與評分標準（簡要提示）一試方程組：$\begin{cases}x+y=1000\0.75x+0.4y=0.6\times1000\end{cases}$，解：x=571，y=429（近似整數(shù)解）$V=πr2\sqrt{R2-r2}$，最大值點$r=\frac{\sqrt{6}}{3}R$$\frac{27}{100}$72，12320$\frac{2\sqrt{3}}{3}R$，$\frac{8\sqrt{3}}{9}R3$44.7（或$10\sqrt{20}$）3600（1）60個；（2）0天；（3）20個（1）分段函數(shù)：$P(t)=\begin{cases}(t,0)&0≤t≤4\(4,t-4)&4<t≤7\(11-t,3)&7<t≤10\(0,14-t)&10<t≤14\end{cases}$；（2）t=2或t=10；（3）最小值$\sqrt{2}$，t=3或t=5（1）甲成本20元，乙成本40元；（2）$W=30x+50y-10\times\lfloor\frac{30x+50y}{100}\rfloor$；（3）最大購買數(shù)量6（甲4件，乙2件）二試（3）面積$\frac{15}{8}$（1）最小值$\frac{5}{2}$；（3）a≥1（2）m=50；（3）k=1013（2）PQ≈7.8km；（