2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)個人與集體試卷一、選擇題（本大題共10小題，每題6分，共60分）集合與邏輯用語某外賣平臺統(tǒng)計顯示，2025年10月某市訂單量超過5000單的區(qū)域構(gòu)成集合A={朝陽區(qū),海淀區(qū),西城區(qū)}，訂單好評率高于95%的區(qū)域構(gòu)成集合B={海淀區(qū),東城區(qū),豐臺區(qū)}。則集合A∩B的元素個數(shù)為（）A.0B.1C.2D.3函數(shù)應(yīng)用某共享單車公司采用分段計費模式：騎行時間t（分鐘）在30分鐘內(nèi)收費2元，超過30分鐘的部分按0.1元/分鐘計費。若騎行費用y（元）與時間t的函數(shù)關(guān)系為y=f(t)，則f(45)的值為（）A.2.5B.3.0C.3.5D.4.0三角函數(shù)為測量教學(xué)樓高度，小明在距離樓底50米處使用測角儀，測得樓頂仰角為30°。已知測角儀高度為1.5米，則教學(xué)樓高度約為（sin30°=0.5，cos30°≈0.866，tan30°≈0.577）（）A.28.85米B.30.35米C.57.7米D.59.2米平面向量在平行四邊形ABCD中，已知向量$\overrightarrow{AB}=(2,3)$，$\overrightarrow{AD}=(-1,4)$，則向量$\overrightarrow{AC}$的坐標(biāo)為（）A.(1,7)B.(3,-1)C.(-3,1)D.(-1,-7)復(fù)數(shù)運算若復(fù)數(shù)z滿足$(1+i)z=2-i$（i為虛數(shù)單位），則z的實部與虛部之和為（）A.-1B.0C.1D.2立體幾何某正方體容器棱長為2，若在其中放置一個半徑為1的球體，則球體與正方體表面相切的點的個數(shù)為（）A.4B.6C.8D.12概率統(tǒng)計某班級40名學(xué)生的數(shù)學(xué)月考成績頻率分布直方圖如下，成績在[80,100]區(qū)間的學(xué)生人數(shù)為（）（注：直方圖分組為[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]，對應(yīng)頻率分別為0.05,0.15,0.25,0.3,0.15,0.1）A.6B.10C.12D.16圓錐曲線已知拋物線$y^2=4x$的焦點為F，點P在拋物線上且橫坐標(biāo)為3，則|PF|的值為（）A.2B.3C.4D.5數(shù)列應(yīng)用某工廠2025年1月產(chǎn)量為1000件，若每月產(chǎn)量比上月增長5%，則該工廠2025年第一季度總產(chǎn)量約為（）A.3000件B.3150件C.3152.5件D.3310.125件數(shù)學(xué)建模某超市計劃采購A、B兩種商品，已知A商品每件利潤3元，B商品每件利潤5元。若采購總費用不超過1000元，A商品進價20元/件，B商品進價30元/件，且A商品數(shù)量不超過B商品的2倍，則最大總利潤為（）A.133元B.150元C.166元D.180元二、填空題（本大題共6小題，每題5分，共30分）多空題（1）函數(shù)$f(x)=\sqrt{x-2}+\frac{1}{x-3}$的定義域為________；（2）若$f(a)=3$，則a的值為________。三角恒等變換已知$\sin\alpha=\frac{3}{5}$，$\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi)$，則$\cos(\alpha+\frac{\pi}{4})=$________。空間向量在直三棱柱$ABC-A_1B_1C_1$中，若$\overrightarrow{AB}=(1,0,0)$，$\overrightarrow{AC}=(0,1,0)$，$\overrightarrow{AA_1}=(0,0,2)$，則異面直線$A_1B$與$AC_1$所成角的余弦值為________。概率計算某醫(yī)療檢測中，疾病患者檢測結(jié)果呈陽性的概率為90%，健康人檢測結(jié)果呈陰性的概率為95%。若該疾病在人群中的發(fā)病率為1%，則隨機抽取1人檢測結(jié)果呈陽性時，其實際患病的概率約為________（精確到0.01）。數(shù)列求和數(shù)列${a_n}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=a_n+2n$，則$a_5=$________。數(shù)學(xué)文化《九章算術(shù)》中“粟米之法”記載：“粟率五十，糲米三十”，即50單位粟可換30單位糲米。若現(xiàn)有粟100單位，可換糲米________單位；若要換糲米90單位，需粟________單位。三、解答題（本大題共6小題，共60分）函數(shù)與不等式（8分）已知函數(shù)$f(x)=x^2-2ax+1$（a為常數(shù)），若對任意$x\in[1,3]$，$f(x)\geq0$恒成立，求a的取值范圍。立體幾何（10分）如圖，在四棱錐$P-ABCD$中，底面ABCD為矩形，$PA\perp$底面ABCD，$AB=2$，$AD=3$，$PA=4$。（1）求證：$BD\perpPC$；（2）求三棱錐$P-BCD$的體積。概率統(tǒng)計（10分）某學(xué)校為了解學(xué)生體育鍛煉時間，隨機抽取50名學(xué)生進行調(diào)查，得到如下頻數(shù)分布表：|鍛煉時間（分鐘/天）|[0,20)|[20,40)|[40,60)|[60,80)|[80,100]||---------------------|--------|---------|---------|---------|----------||頻數(shù)|5|15|20|8|2|（1）求這50名學(xué)生鍛煉時間的中位數(shù)；（2）若將鍛煉時間不少于60分鐘的學(xué)生評為“運動達人”，從“運動達人”中隨機選取2人，求至少有1人鍛煉時間在[80,100]內(nèi)的概率。數(shù)學(xué)建模（12分）某快遞公司計劃優(yōu)化配送路線，從倉庫O出發(fā)，依次送往A、B、C三個網(wǎng)點，各網(wǎng)點間距離（單位：公里）如下：OA=3，OB=4，OC=5，AB=2，AC=4，BC=3。假設(shè)配送員沿最短路徑行駛，且完成配送后返回倉庫。（1）畫出配送路線的可能路徑圖；（2）計算最短配送總里程；（3）若配送員電動車?yán)m(xù)航里程為20公里，判斷該方案是否可行，并說明理由。圓錐曲線（10分）已知橢圓$C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且過點$(2,1)$。（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線$y=kx+m$與橢圓C交于P、Q兩點，且OP⊥OQ（O為原點），求$m^2$的取值范圍。開放探究題（10分）已知數(shù)列${a_n}$的前n項和為$S_n$，且滿足$S_n=2a_n-1$。（1）求數(shù)列${a_n}$的通項公式；（2）請從以下兩個問題中任選一個作答：①若數(shù)列${b_n}$滿足$b_n=a_n+\log_2a_n$，求數(shù)列${b_n}$的前n項和$T_n$；②若數(shù)列${c_n}$滿足$c_n=\frac{a_n}{(a_n+1)(a_{n+1}+1)}$，證明：$\sum_{k=1}^nc_k<\frac{1}{2}$。四、集體附加題（共20分，小組合作完成）背景：某社區(qū)計劃修建一個矩形休閑廣場，周長不超過100米，面積不低于500平方米。廣場中間需預(yù)留一個半徑為5米的圓形花壇，四周鋪設(shè)寬2米的步道，步道外沿為矩形邊界。任務(wù)：建立廣場總面積S與矩形邊界長x（米）的函數(shù)關(guān)系；設(shè)計兩種不同尺寸的廣場方案（精確到1米），并計算對應(yīng)的步道面積；若步道鋪設(shè)成本為200元/平方米，花壇綠化成本為100元/平方米，比較兩種方案的總成本，推薦最優(yōu)方案并說明理由。（注：小組需提交書面報告，包含模型假設(shè)、函數(shù)推導(dǎo)、計算過程及結(jié)論，鼓勵使用圖形計算器或Excel輔助分析）試卷設(shè)計說明：知識覆蓋：嚴(yán)格依據(jù)2025年高中數(shù)學(xué)教學(xué)大綱，涵蓋集合、函數(shù)、幾何、概率等必修及選擇性必修內(nèi)容，新增數(shù)學(xué)文化（如《九章算術(shù)》）和數(shù)學(xué)建模題（如配送優(yōu)化）。題型創(chuàng)新：選擇題減少數(shù)量但提高分值，填空題設(shè)置多空題（如第11、16題），解答