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2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)精確性技術(shù)觀試卷本試卷共4頁(yè),滿分150分,考試用時(shí)120分鐘一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)已知集合A={x|x2-3x+2=0},集合B={x|log?(x-1)=0},則A∩B=()A.{1}B.{2}C.{1,2}D.?函數(shù)f(x)=sin(2x+π/3)的最小正周期和振幅分別是()A.π,1B.2π,1C.π,2D.2π,2已知向量a=(1,2),b=(m,1),若a⊥b,則m的值為()A.-2B.-1/2C.1/2D.2某幾何體的三視圖如圖所示(單位:cm),則該幾何體的體積為()A.12πcm3B.18πcm3C.24πcm3D.36πcm3已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若a1=1,公比q=2,則S5=()A.15B.31C.63D.127若直線l:y=kx+1與圓C:x2+y2-2x-3=0相交于A,B兩點(diǎn),且|AB|=2√3,則k=()A.±√3/3B.±√3C.±1D.±2函數(shù)f(x)=x3-3x2+2在區(qū)間[-1,3]上的最大值為()A.2B.0C.-2D.-4已知tanα=2,則sin2α+cos2α=()A.1B.3/5C.7/5D.9/5從5名男生和4名女生中選出3人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽,要求至少有1名女生,則不同的選法共有()A.70種B.80種C.90種D.100種已知橢圓C:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的離心率為√3/2,且過(guò)點(diǎn)(2,1),則橢圓C的方程為()A.x2/8+y2/2=1B.x2/10+y2/5=1C.x2/12+y2/3=1D.x2/16+y2/4=1已知函數(shù)f(x)=lnx+ax2-(2a+1)x,若f(x)在x=1處取得極值,則a=()A.-1/2B.0C.1/2D.1已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=-f(x),且當(dāng)x∈[0,2)時(shí),f(x)=x2-2x,則f(2025)=()A.-1B.0C.1D.2二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分)若復(fù)數(shù)z=(1+i)(2-i),則|z|=________。已知函數(shù)f(x)=2x+1,g(x)=x2-2x,則f(g(2))=________。已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=2an+1,則a5=________。在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若a=3,b=4,c=5,則sinA=________。三、解答題(本大題共6小題,共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)(本小題滿分10分)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且a3=5,S10=100。(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)bn=2an+1,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn。(本小題滿分12分)在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知cosA=4/5,b=3,c=5。(1)求a的值;(2)求sinB的值;(3)求△ABC的面積。(本小題滿分12分)如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1=2,∠BAC=90°,點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)。(1)求證:AD⊥平面BCC1B1;(2)求直線A1B與平面ADC1所成角的正弦值。(本小題滿分12分)已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,過(guò)點(diǎn)F的直線與拋物線C交于A,B兩點(diǎn),且|AB|=8。(1)求直線AB的方程;(2)設(shè)點(diǎn)P在準(zhǔn)線l上,且∠APB=90°,求點(diǎn)P的坐標(biāo)。(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+3x-1。(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,2]上的最大值和最小值;(3)若關(guān)于x的方程f(x)=m有三個(gè)不同的實(shí)根,求實(shí)數(shù)m的取值范圍。(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=e^x-ax-1(a∈R)。(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+∞)上有兩個(gè)零點(diǎn),求a的取值范圍;(3)當(dāng)a=1時(shí),求證:f(x)≥x2在區(qū)間[0,+∞)上恒成立。參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題(每小題5分,共60分)B2.A3.A4.B5.B6.C7.A8.C9.B10.A11.C12.A二、填空題(每小題5分,共20分)√1014.515.3116.3/5三、解答題(共70分)(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,由題意得:[\begin{cases}a_1+2d=5\10a_1+\frac{10\times9}{2}d=100\end{cases}]解得a1=1,d=2,所以an=1+2(n-1)=2n-1。(5分)(2)由(1)得bn=2^(2n-1)+1=2×4^(n-1)+1,所以[Tn=2(1+4+4^2+\cdots+4^{n-1})+n=2\times\frac{4^n-1}{4-1}+n=\frac{2}{3}(4^n-1)+n](10分)(1)由余弦定理得:[a^2=b^2+c^2-2bc\cosA=16+25-2\times4\times5\times\frac{4}{5}=9]所以a=3。(4分)(2)由正弦定理得:[\frac{a}{\sinA}=\frac{\sinB}\Rightarrow\sinB=\frac{b\sinA}{a}=\frac{4\times\frac{3}{5}}{3}=\frac{4}{5}](8分)(3)△ABC的面積為:[S=\frac{1}{2}bc\sinA=\frac{1}{2}\times4\times5\times\frac{3}{5}=6](12分)(1)證明:因?yàn)锳B=AC,D為BC的中點(diǎn),所以AD⊥BC。又因?yàn)槿庵鵄BC-A1B1C1是直三棱柱,所以CC1⊥平面ABC,AD?平面ABC,所以CC1⊥AD。因?yàn)锽C∩CC1=C,所以AD⊥平面BCC1B1。(6分)(2)以A為原點(diǎn),AB,AC,AA1所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,0),A1(0,0,2),B(2,0,0),C(0,2,0),D(1,1,0),C1(0,2,2)。向量A1B=(2,0,-2),向量AD=(1,1,0),向量AC1=(0,2,2)。設(shè)平面ADC1的法向量為n=(x,y,z),則[\begin{cases}n\cdotAD=x+y=0\n\cdotAC1=2y+2z=0\end{cases}]令x=1,則y=-1,z=1,所以n=(1,-1,1)。設(shè)直線A1B與平面ADC1所成角為θ,則[\sin\theta=\frac{|A1B\cdotn|}{|A1B|\cdot|n|}=\frac{|2\times1+0\times(-1)+(-2)\times1|}{\sqrt{8}\times\sqrt{3}}=\frac{0}{\sqrt{24}}=0]所以直線A1B與平面ADC1所成角的正弦值為0。(12分)(1)拋物線C的焦點(diǎn)F(1,0),準(zhǔn)線l:x=-1。設(shè)直線AB的方程為x=my+1,代入y2=4x得:[y^2-4my-4=0]設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則y1+y2=4m,y1y2=-4。|AB|=x1+x2+2=m(y1+y2)+4=4m2+4=8,解得m=±1,所以直線AB的方程為x±y-1=0。(6分)(2)設(shè)P(-1,t),由(1)得y1+y2=±4,y1y2=-4。因?yàn)椤螦PB=90°,所以PA·PB=0,即:[(x1+1)(x2+1)+(y1-t)(y2-t)=0]代入x1=my1+1,x2=my2+1,整理得:[(m^2+1)y1y2+(2m-mt)(y1+y2)+t^2+4=0]解得t=±2,所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-1,2)或(-1,-2)。(12分)(1)f'(x)=3x2-6x+3=3(x-1)2≥0,所以函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增。(4分)(2)由(1)知函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,2]上單調(diào)遞增,所以:[f(x){\min}=f(-1)=-8,f(x){\max}=f(2)=1](8分)(3)由(1)知函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增,所以方程f(x)=m只有一個(gè)實(shí)根,不存在三個(gè)不同的實(shí)根。(12分)(1)f'(x)=e^x-a。當(dāng)a≤0時(shí),f'(x)>0,函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增;當(dāng)a>0時(shí),令f'(x)=0得x=lna,函數(shù)f(x)在(-∞,lna)上單調(diào)遞減,在(lna,+∞)上單調(diào)遞增。(4分)(2)由(1)知,當(dāng)a≤0時(shí),函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+∞)上最多有一個(gè)零點(diǎn);當(dāng)a>0時(shí),函數(shù)f(x)在(0,lna)上單調(diào)遞減,在(lna,+∞)上單調(diào)遞增。要使函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+∞)上有兩個(gè)零點(diǎn),需滿足:[\begin{cases}f(lna)<0\f(0)>0\\lim_{x\to+\infty}f(x)>0\end{cases}]解得a>e。(8分)(3)當(dāng)a=1時(shí),f(x)=e^x-x-1。令g(x)=f(x)-x2=e^x-x2-x-1,則g'(x)=e^x-2x-1,g''(x)=e^x-2。當(dāng)x∈(0,ln2)時(shí),g''(x)<0,g'(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x∈(ln2,+∞)時(shí),g''(x)>0,g'(x)單調(diào)遞增。所以g'(x)≥g'(ln2)=2-2ln2-1=1-2ln2>0,所以g(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增,g(x)≥g(0)=0,即f(x)≥x2在區(qū)間[0,+∞)上恒成立。(12分)命題說(shuō)明本試卷嚴(yán)格按照《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》要求命題,注重考查基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本思想方法,同時(shí)兼顧對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的考查。試卷結(jié)構(gòu)合理,難度適中,覆蓋面廣,涵蓋了高中數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容,包括函數(shù)、幾何、代數(shù)、概率統(tǒng)計(jì)等知識(shí)模塊。試題設(shè)計(jì)注重理論聯(lián)系實(shí)際,突出數(shù)學(xué)的應(yīng)用性和工具性,如第9題考查排列組合知識(shí)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用,第19題考查立體幾何在空間想象能力中的應(yīng)用。試卷注重對(duì)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)和探究能力的考查,如第22題考查函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的探究,第21題考查函數(shù)單調(diào)性和極值問(wèn)題的綜合應(yīng)用。本試卷滿分150分,考試用時(shí)120分鐘,題型包括選擇題、填空題和解答題,其中解答題注重對(duì)學(xué)生解題過(guò)程和數(shù)學(xué)表達(dá)能力的考查。試卷命題遵循科學(xué)性、公平性和規(guī)范性原則,嚴(yán)格控制試題難度和區(qū)分度,力求準(zhǔn)確反映學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平,為高中數(shù)學(xué)教學(xué)提供有效的反饋信息。參考答案及
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