2025年下學期高中數(shù)學混沌理論技術觀試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）下列關于混沌系統(tǒng)的描述中，正確的是（）A.混沌系統(tǒng)的長期行為可精確預測B.混沌系統(tǒng)對初始條件具有弱敏感性C.混沌系統(tǒng)的運動軌跡在相空間中呈現(xiàn)周期性循環(huán)D.混沌系統(tǒng)的行為看似隨機但具有內在確定性logistic映射是研究混沌現(xiàn)象的經典模型，其迭代公式為(x_{n+1}=\mux_n(1-x_n))，其中(x_n\in[0,1])，(\mu)為控制參數(shù)。當(\mu=3.8)時，系統(tǒng)處于（）A.穩(wěn)定不動點狀態(tài)B.周期2分岔狀態(tài)C.混沌狀態(tài)D.周期4分岔狀態(tài)相空間重構是分析混沌時間序列的關鍵技術，其核心是確定嵌入維數(shù)(m)和時間延遲(\tau)。若已知原始時間序列為單變量序列({x(t)})，則重構后的相空間向量可表示為（）A.(\mathbf{X}(t)=(x(t),x(t+\tau),x(t+2\tau),\dots,x(t+(m-1)\tau)))B.(\mathbf{X}(t)=(x(t),x(t-\tau),x(t-2\tau),\dots,x(t-(m-1)\tau)))C.(\mathbf{X}(t)=(x(t),x(t+\tau),x(t+2\tau),\dots,x(t+m\tau)))D.(\mathbf{X}(t)=(x(t),x(t+\tau),x(t+3\tau),\dots,x(t+(2m-1)\tau)))李雅普諾夫指數(shù)（LyapunovExponent）是衡量混沌系統(tǒng)敏感性的重要指標。對于三維混沌系統(tǒng)，若其最大李雅普諾夫指數(shù)（LE1）、次大李雅普諾夫指數(shù)（LE2）和最小李雅普諾夫指數(shù)（LE3）滿足（），則系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。A.LE1>0,LE2=0,LE3<0B.LE1>0,LE2<0,LE3<0C.LE1=0,LE2<0,LE3<0D.LE1<0,LE2<0,LE3<0下列數(shù)學模型中，不屬于混沌系統(tǒng)的是（）A.洛倫茲（Lorenz）系統(tǒng)：(\dot{x}=\sigma(y-x),\dot{y}=rx-y-xz,\dot{z}=xy-bz)B.羅斯勒（R?ssler）系統(tǒng)：(\dot{x}=-y-z,\dot{y}=x+ay,\dot{z}=b+z(x-c))C.簡諧振動系統(tǒng)：(\ddot{x}+\omega^2x=0)D.杜芬（Duffing）系統(tǒng)：(\ddot{x}+\delta\dot{x}+\alphax+\betax^3=\gamma\cos(\omegat))在混沌控制技術中，“OGY方法”的核心思想是（）A.通過外加周期擾動使系統(tǒng)穩(wěn)定到周期軌道B.利用系統(tǒng)的不穩(wěn)定周期軌道（UPO），通過微小反饋控制將系統(tǒng)穩(wěn)定到目標軌道C.通過調整系統(tǒng)參數(shù)使混沌吸引子消失D.采用神經網絡模型對混沌系統(tǒng)進行預測補償分形幾何是描述混沌系統(tǒng)幾何特征的重要工具，其核心概念是“自相似性”?？坪昭┗ㄇ€是典型的分形圖形，若初始圖形為邊長為1的等邊三角形，經過第3次迭代后，曲線的總長度為（）A.(\frac{3}{4})B.(\left(\frac{4}{3}\right)^3)C.(3\times\left(\frac{4}{3}\right)^3)D.(3\times\left(\frac{3}{4}\right)^3)對于混沌時間序列的預測，下列方法中不依賴于系統(tǒng)動力學模型的是（）A.基于相空間重構的局部線性預測法B.基于微分方程數(shù)值求解的預測法C.基于神經網絡的非線性擬合預測法D.基于支持向量機（SVM）的回歸預測法下列關于混沌與隨機過程的區(qū)別，錯誤的是（）A.混沌系統(tǒng)的運動由確定性方程支配，隨機過程由概率統(tǒng)計規(guī)律描述B.混沌系統(tǒng)的短期行為可預測，隨機過程的短期行為不可預測C.混沌系統(tǒng)的相空間軌跡具有遍歷性，隨機過程的軌跡不具有遍歷性D.混沌系統(tǒng)的功率譜為連續(xù)譜，隨機過程的功率譜也可能為連續(xù)譜延遲坐標法重構相空間時，時間延遲(\tau)的選擇常用自相關函數(shù)法，其判據(jù)是（）A.自相關函數(shù)首次下降到初始值的(\frac{1}{e})時對應的延遲B.自相關函數(shù)首次下降到0時對應的延遲C.自相關函數(shù)達到最大值時對應的延遲D.自相關函數(shù)出現(xiàn)第一個極小值時對應的延遲混沌同步是混沌理論的重要應用方向，若驅動系統(tǒng)和響應系統(tǒng)滿足(\lim_{t\to\infty}|\mathbf{x}(t)-\mathbf{y}(t)|=0)，其中(\mathbf{x}(t))為驅動系統(tǒng)狀態(tài)，(\mathbf{y}(t))為響應系統(tǒng)狀態(tài)，則稱二者實現(xiàn)了（）A.完全同步B.相位同步C.滯后同步D.廣義同步在混沌保密通信中，“混沌掩蓋”技術的原理是（）A.將明文信號疊加到混沌載波中，接收端通過同步混沌載波分離明文B.利用混沌系統(tǒng)生成偽隨機序列對明文進行加密C.通過調整混沌系統(tǒng)參數(shù)將明文信息隱藏在分岔參數(shù)中D.將明文信號作為混沌系統(tǒng)的初始條件，通過迭代軌跡傳遞信息二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）洛倫茲吸引子是由美國氣象學家洛倫茲（E.N.Lorenz）在研究大氣對流時發(fā)現(xiàn)的，其動力學方程組為：[\begin{cases}\dot{x}=\sigma(y-x)\\dot{y}=rx-y-xz\\dot{z}=xy-bz\end{cases}]其中(\sigma)為普朗特數(shù)，(r)為瑞利數(shù)，(b)為幾何參數(shù)。當參數(shù)(\sigma=10)，(b=\frac{8}{3})，(r=28)時，系統(tǒng)呈現(xiàn)混沌行為，此時相空間中的軌跡呈現(xiàn)______形狀，該現(xiàn)象被洛倫茲形象地稱為“______”。分形維數(shù)是描述分形圖形復雜度的定量指標，其中盒維數(shù)（Box-countingDimension）的計算公式為(D_0=\lim_{\epsilon\to0}\frac{\lnN(\epsilon)}{\ln(1/\epsilon)})，其中(N(\epsilon))表示覆蓋分形圖形所需邊長為(\epsilon)的小盒子數(shù)量。若某分形圖形用邊長為(\epsilon=0.1)的盒子覆蓋時需1000個，用邊長為(\epsilon=0.01)的盒子覆蓋時需100000個，則其盒維數(shù)(D_0\approx)______。混沌系統(tǒng)的“蝴蝶效應”體現(xiàn)了對初始條件的極端敏感性。若某混沌系統(tǒng)的最大李雅普諾夫指數(shù)(\lambda=0.5)（單位：1/秒），初始誤差為(\Deltax_0=10^{-6})，則當系統(tǒng)誤差增長到(\Deltax(t)=10^{-3})時，所需時間(t\approx)______秒（結果保留兩位小數(shù)，(\ln10\approx2.3026)）。耦合混沌系統(tǒng)的同步穩(wěn)定性可通過李雅普諾夫穩(wěn)定性理論分析。若驅動系統(tǒng)為(\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{f}(\mathbf{x}))，響應系統(tǒng)為(\dot{\mathbf{y}}=\mathbf{f}(\mathbf{y})+\mathbf{u}(\mathbf{x},\mathbf{y}))，其中(\mathbf{u})為控制項。為實現(xiàn)同步(\mathbf{y}\to\mathbf{x})，可構造誤差向量(\mathbf{e}=\mathbf{y}-\mathbf{x})，則誤差動力學方程為(\dot{\mathbf{e}}=\mathbf{f}(\mathbf{y})-\mathbf{f}(\mathbf{x})+\mathbf{u})。若取控制項(\mathbf{u}=\mathbf{f}(\mathbf{x})-\mathbf{f}(\mathbf{y})-k\mathbf{e})（(k>0)為反饋增益），則誤差動力學方程簡化為______，此時系統(tǒng)誤差將______。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）（10分）簡述混沌理論的三大核心特征，并舉例說明混沌現(xiàn)象在自然界中的一個具體應用場景。（12分）已知logistic映射(x_{n+1}=\mux_n(1-x_n))，其中(x_n\in[0,1])，(\mu\in[0,4])。（1）求映射的不動點（即滿足(x^*=\mux^*(1-x^))的解）；（2）分析不動點的穩(wěn)定性條件（提示：通過導數(shù)(f'(x^))的絕對值判斷，(|f'(x^*)|<1)時穩(wěn)定）。（12分）考慮一維混沌時間序列({x(t)}={0.1,0.3,0.5,0.7,0.9,0.8,0.6,0.4,0.2,0.4,0.6,0.8})，采用延遲坐標法重構相空間，取嵌入維數(shù)(m=3)，時間延遲(\tau=2)。（1）寫出重構后的相空間向量(\mathbf{X}(t))（至少寫出3個向量）；（2）若使用歐氏距離衡量相空間中向量的相似度，計算向量(\mathbf{X}(1))與(\mathbf{X}(3))之間的距離（其中(t=1)對應序列的第一個數(shù)據(jù)點）。（12分）洛倫茲系統(tǒng)在參數(shù)(\sigma=10)，(b=\frac{8}{3})，(r=28)時呈現(xiàn)混沌行為，其相空間軌跡在(x-y)平面上的投影如圖所示（圖略，考生可根據(jù)已知信息分析）。（1）寫出洛倫茲系統(tǒng)的三個平衡點坐標；（2）簡述洛倫茲吸引子的拓撲結構特征，并說明其為何被稱為“奇怪吸引子”。（12分）分形幾何中，謝爾賓斯基三角形（SierpińskiTriangle）的構造過程如下：第0次迭代：邊長為1的等邊三角形；第1次迭代：連接各邊中點，將原三角形分為4個小等邊三角形，移除中心的小三角形；第2次迭代：對剩余的3個小三角形重復上述操作；以此類推，每次迭代均移除每個小三角形的中心部分。（1）求第(n)次迭代后，剩余圖形的面積(S(n))（用(n)表示）；（2）計算謝爾賓斯基三角形的分形維數(shù)(D)（提示：分形維數(shù)滿足(N=k^D)，其中(N)為迭代后圖形的數(shù)量，(k)為線性尺度縮小比例）。（10分）混沌控制與同步技術在工程中具有廣泛應用，例如在電力系統(tǒng)穩(wěn)定控制中，可利用混沌同步實現(xiàn)遠距離信號傳輸。（1）簡述混沌同步技術的兩種典型實現(xiàn)方法；（2）分析混沌系統(tǒng)在保密通信中應用的優(yōu)勢，并指出其面臨的主要挑戰(zhàn)。四、附加題（本大題共1小題，共20分。不計入總分，供學有余力的學生選做）考慮受迫杜芬系統(tǒng)(\ddot{x}+0.2\dot{x}-x+x^3=0.3\cos(t))，該