2025年下學(xué)期高中發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）已知集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|x2-ax+a-1=0}，若A∪B=A，則實數(shù)a的值為（）A.2B.3C.2或3D.1或2函數(shù)f(x)=ln(x2-2x-3)的定義域是（）A.(-∞,-1)∪(3,+∞)B.(-1,3)C.(-∞,-1]∪[3,+∞)D.[-1,3]已知向量a=(1,2)，b=(m,1)，若a⊥b，則m的值為（）A.-2B.2C.-1/2D.1/2下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（）A.f(x)=x3B.f(x)=sinxC.f(x)=lnxD.f(x)=e^x已知sinα=3/5，α∈(π/2,π)，則cos(α-π/4)的值為（）A.-√2/10B.√2/10C.-7√2/10D.7√2/10已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S3=7，S6=63，則公比q的值為（）A.2B.-2C.3D.-3函數(shù)f(x)=x3-3x2+2在區(qū)間[-1,3]上的最大值為（）A.2B.0C.-2D.-4已知直線l1:ax+2y+6=0與直線l2:x+(a-1)y+a2-1=0平行，則實數(shù)a的值為（）A.-1B.2C.-1或2D.1或-2從5名男生和4名女生中選出3人參加數(shù)學(xué)競賽，要求至少有1名女生，不同的選法共有（）A.80種B.100種C.120種D.140種已知橢圓x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的離心率為√3/2，短軸長為2，則橢圓的方程為（）A.x2/4+y2=1B.x2/16+y2/4=1C.x2/4+y2/3=1D.x2/16+y2/12=1已知函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期為π，且f(π/3)=2，則φ的值為（）A.π/6B.π/3C.π/2D.2π/3已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=-f(x)，且當x∈[0,2)時，f(x)=x2，則f(2025)的值為（）A.0B.1C.4D.9二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）若函數(shù)f(x)=x2-2x+m在區(qū)間[0,3]上的最小值為1，則m的值為________。已知tanα=2，則sin2α的值為________。已知圓C:x2+y2-4x+6y-3=0，則圓C的圓心坐標為________，半徑為________。已知函數(shù)f(x)=x3-3x+1，則函數(shù)f(x)的極大值為________，極小值為________。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）（本小題滿分10分）已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，且a1=1，a3=5。（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）求數(shù)列{an}的前n項和Sn。（本小題滿分12分）在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，已知a=2，b=3，c=√7。（1）求角C的大?。唬?）求△ABC的面積。（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+2x+1。（1）求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x)；（2）求函數(shù)f(x)在點(1,f(1))處的切線方程；（3）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間。（本小題滿分12分）已知拋物線C:y2=4x的焦點為F，準線為l。（1）求焦點F的坐標和準線l的方程；（2）過點F的直線與拋物線C交于A、B兩點，若|AB|=8，求直線AB的方程。（本小題滿分12分）某工廠生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)1件A產(chǎn)品需要消耗甲材料1kg、乙材料2kg，可獲利30元；生產(chǎn)1件B產(chǎn)品需要消耗甲材料2kg、乙材料1kg，可獲利40元。該工廠現(xiàn)有甲材料100kg、乙材料120kg，問如何安排生產(chǎn)才能使利潤最大？最大利潤是多少？（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)=e^x-ax-1(a∈R)。（1）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)f(x)有兩個零點，求實數(shù)a的取值范圍。四、附加題（本大題共2小題，每小題10分，共20分。不計入總分，供學(xué)有余力的同學(xué)選做）已知函數(shù)f(x)=lnx+ax2-(2a+1)x(a∈R)。（1）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)f(x)在x=1處取得極值，且對任意x>0，f(x)≥bx-1恒成立，求實數(shù)b的取值范圍。已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=2an+1(n∈N*)。（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）設(shè)bn=an+1/an·an+1，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn。參考答案及評分標準一、選擇題C2.A3.A4.A5.C6.A7.A8.A9.B10.A11.A12.B二、填空題214.4/515.(2,-3)，416.3，-1三、解答題解：（1）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則a3=a1+2d=1+2d=5，解得d=2。所以數(shù)列{an}的通項公式為an=a1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1。（5分）（2）數(shù)列{an}的前n項和Sn=n(a1+an)/2=n(1+2n-1)/2=n2。（10分）解：（1）由余弦定理得cosC=(a2+b2-c2)/(2ab)=(4+9-7)/(2×2×3)=6/12=1/2。因為0<C<π，所以C=π/3。（6分）（2）△ABC的面積S=1/2absinC=1/2×2×3×sinπ/3=3×√3/2=3√3/2。（12分）解：（1）f'(x)=3x2-6x+2。（3分）（2）f(1)=1-3+2+1=1，f'(1)=3-6+2=-1。所以函數(shù)f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為y-1=-(x-1)，即x+y-2=0。（7分）（3）令f'(x)=3x2-6x+2=0，解得x=1±√3/3。當x<1-√3/3或x>1+√3/3時，f'(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當1-√3/3<x<1+√3/3時，f'(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減。所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,1-√3/3)和(1+√3/3,+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(1-√3/3,1+√3/3)。（12分）解：（1）拋物線C:y2=4x的焦點F的坐標為(1,0)，準線l的方程為x=-1。（4分）（2）設(shè)直線AB的方程為x=my+1，代入拋物線方程y2=4x，得y2-4my-4=0。設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，則y1+y2=4m，y1y2=-4。所以|AB|=x1+x2+2=m(y1+y2)+2+2=4m2+4=8，解得m2=1，m=±1。所以直線AB的方程為x=±y+1，即x+y-1=0或x-y-1=0。（12分）解：設(shè)生產(chǎn)A產(chǎn)品x件，B產(chǎn)品y件，利潤為z元。則目標函數(shù)為z=30x+40y。約束條件為：x+2y≤1002x+y≤120x≥0,y≥0,x,y∈N作出可行域，如圖所示。由圖可知，當直線z=30x+40y經(jīng)過點(40,30)時，z取得最大值。zmax=30×40+40×30=2400（元）。所以生產(chǎn)A產(chǎn)品40件，B產(chǎn)品30件時，利潤最大，最大利潤為2400元。（12分）解：（1）f'(x)=e^x-a。當a≤0時，f'(x)>0恒成立，函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增；當a>0時，令f'(x)=0，得x=lna。當x<lna時，f'(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；當x>lna時，f'(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增。（6分）（2）由（1）知，當a≤0時，函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增，最多有一個零點，不符合題意；當a>0時，函數(shù)f(x)在x=lna處取得最小值f(lna)=a-alna-1。若函數(shù)f(x)有兩個零點，則f(lna)=a-alna-1<0，即lna+1/a>1。令g(a)=lna+1/a(a>0)，則g'(a)=1/a-1/a2=(a-1)/a2。當0<a<1時，g'(a)<0，函數(shù)g(a)單調(diào)遞減；當a>1時，g'(a)>0，函數(shù)g(a)單調(diào)遞增。所以g(a)≥g(1)=1，當且僅當a=1時取等號。所以lna+1/a>1等價于a≠1，又因為a>0，所以a>0且a≠1。當a=1時，f(lna)=f(0)=0，函數(shù)f(x)有一個零點；當a>0且a≠1時，函數(shù)f(x)有兩個零點。所以實數(shù)a的取值范圍為(0,1)∪(1,+∞)。（12分）附加題參考答案解：（1）f'(x)=1/x+2ax-(2a+1)=(2ax2-(2a+1)x+1)/x=(2ax-1)(x-1)/x。當a≤0時，2ax-1<0，所以當0<x<1時，f'(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當x>1時，f'(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減。當0<a<1/2時，1/(2a)>1，所以當0<x<1或x>1/(2a)時，f'(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當1<x<1/(2a)時，f'(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減。當a=1/2時，f'(x)=(x-1)2/x≥0，函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增。當a>1/2時，0<1/(2a)<1，所以當0<x<1/(2a)或x>1時，f'(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當1/(2a)<x<1時，f'(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減。（6分）（2）因為函數(shù)f(x)在x=1處取得極值，所以f'(1)=0，即2a-1=0，a=1/2。所以f(x)=lnx+1/2x2-2x。由f(x)≥bx-1，得lnx+1/2x2-2x≥bx-1，即b≤lnx/x+1/2x-2+1/x。令h(x)=lnx/x+1/2x-2+1/x(x>0)，則h'(x)=(1-lnx)/x2+1/2-1/x2=(1-lnx-1)/x2+1/2=-lnx/x2+1/2。令h'(x)=0，得lnx=1/2x2，解得x=√e。當0<x<√e時，h'(x)<0，函數(shù)h(x)單調(diào)遞減；當x>√e時，h'(x)>0，函數(shù)h(x)單調(diào)遞增。所以h(x)min=h(√e)=ln√e/√e+1/2√e-2+1/√e=1/(2√e)+√e/2-2+1/√e=3/(2√e)+√e/2-2。所以實數(shù)b的取值范圍為(-∞,3/(2√e)+√e/2-2]。（10分）解：（1）由an+1=2an+1，得an+1+1=2(an+1)。所以數(shù)列{an+1}是以a1+1=2為首項，2為公比的等比數(shù)列。所以an+1=2×2^(n-1)=2^n，即an=2^n-1。（5分）（2）bn=an+1/(an·an+1)=(2^(n+1)-1)/((2^n-1)(2^(n+1)-1))=1/(2^n-1)-1/(2^(n+1)-1)。所以Sn=b1+b2+...+bn=(1/(2^1-1)-1/(2^2-1))+(1/(2^2-1)-1/(2^3-1))+...+(1/(2^n-1)-1/(2^(n+1)-1))=1-1/(2^(n+1)-1)。（10分）本試卷注重考查高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識和基本技能，同時兼顧