2025年下學期高中數(shù)學核心價值試卷一、單項選擇題（共12小題，每小題5分，共60分）數(shù)學抽象素養(yǎng)：在函數(shù)概念教學中，教師引導學生從“出租車計費”“氣溫變化曲線”“人口增長數(shù)據(jù)”等實例中提煉共同特征，最終抽象出“兩個非空數(shù)集間的對應(yīng)關(guān)系”。這一過程主要培養(yǎng)的核心素養(yǎng)是（）A.邏輯推理B.數(shù)學抽象C.直觀想象D.數(shù)據(jù)分析數(shù)學建模應(yīng)用：某社區(qū)計劃修建一個矩形健身廣場，周長固定為100米，設(shè)矩形的長為x米，面積為S平方米。則S關(guān)于x的函數(shù)解析式及定義域正確的是（）A.(S=x(50-x))，(x\in(0,50))B.(S=x(100-x))，(x\in(0,100))C.(S=50x-x^2)，(x\in[0,50])D.(S=100x-2x^2)，(x\in[0,50])邏輯推理能力：已知命題p：“若a>b，則ac2>bc2”，命題q：“若a2>b2，則a>b”。下列說法正確的是（）A.p真q真B.p真q假C.p假q真D.p假q假直觀想象與幾何：在正方體ABCD-A?B?C?D?中，棱長為2，點E為棱CC?的中點，則異面直線AE與BD?所成角的余弦值為（）A.(\frac{\sqrt{3}}{3})B.(\frac{\sqrt{6}}{6})C.(\frac{1}{3})D.(\frac{\sqrt{2}}{2})數(shù)據(jù)分析與概率：某學校為了解學生每周體育鍛煉時間，隨機抽取100名學生進行調(diào)查，得到如下頻數(shù)分布表：|鍛煉時間（小時）|[0,2)|[2,4)|[4,6)|[6,8]||------------------|-------|-------|-------|-------||頻數(shù)|15|30|40|15|則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)所在區(qū)間是（）A.[0,2)B.[2,4)C.[4,6)D.[6,8]數(shù)學文化滲透：祖暅原理“冪勢既同，則積不容異”在高中數(shù)學中的應(yīng)用是（）A.推導球的體積公式B.證明勾股定理C.求解定積分D.驗證三角函數(shù)誘導公式數(shù)學運算規(guī)范：已知復(fù)數(shù)z滿足(z(1+i)=2-i)（i為虛數(shù)單位），則z的共軛復(fù)數(shù)(\overline{z})為（）A.(\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i)B.(\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i)C.(\frac{3}{2}+\frac{1}{2}i)D.(\frac{3}{2}-\frac{1}{2}i)函數(shù)與實際應(yīng)用：某物體做簡諧運動，其位移x（單位：米）與時間t（單位：秒）的函數(shù)關(guān)系為(x=2\sin\left(\frac{\pi}{4}t+\frac{\pi}{3}\right))，則該物體的振幅和最小正周期分別為（）A.2，8B.2，4C.1，8D.1，4邏輯推理與證明：用數(shù)學歸納法證明“(1+2+3+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2})”時，第一步應(yīng)驗證（）A.n=1時等式成立B.n=2時等式成立C.n=3時等式成立D.n=4時等式成立數(shù)學建模與優(yōu)化：某工廠生產(chǎn)兩種產(chǎn)品A和B，生產(chǎn)1件A需消耗原料3kg、工時2小時，生產(chǎn)1件B需消耗原料2kg、工時3小時。若原料每日供應(yīng)不超過120kg，工時每日不超過120小時，A、B每件利潤分別為50元和60元，則每日最大利潤為（）A.2400元B.2500元C.2600元D.2700元直觀想象與空間向量：在空間直角坐標系中，平面α的一個法向量為(\mathbf{n}=(2,-1,3))，點P(1,2,-1)在平面α上，則平面α的方程為（）A.2x-y+3z+3=0B.2x-y+3z-3=0C.2x+y+3z+3=0D.2x+y+3z-3=0數(shù)據(jù)分析與統(tǒng)計推斷：為比較兩種教學方法的效果，隨機選取兩個班級，甲班采用“項目式學習”，乙班采用“傳統(tǒng)講授式”，一學期后成績?nèi)缦卤恚簗班級|人數(shù)|平均分|方差||------|------|--------|------||甲班|40|85|36||乙班|40|82|25|若顯著性水平α=0.05，兩班成績均服從正態(tài)分布且方差齊性，則下列結(jié)論正確的是（）A.甲班成績顯著優(yōu)于乙班B.乙班成績顯著優(yōu)于甲班C.兩班成績無顯著差異D.無法判斷二、填空題（共4小題，每小題5分，共20分）數(shù)學文化與歷史：古希臘數(shù)學家阿基米德利用“窮竭法”計算圓的面積，其核心思想與現(xiàn)代數(shù)學中的__________（填“微積分”或“線性代數(shù)”）一脈相承。數(shù)學建模與實際問題：某城市2025年人口為100萬，若年增長率為2%，則2035年該城市人口約為__________萬（精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：(1.02^{10}\approx1.219)）。直觀想象與幾何：在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB=AC=2，∠BAC=90°，PA=3，則該三棱錐外接球的表面積為__________。數(shù)據(jù)分析與概率：從1，2，3，4，5中隨機抽取3個數(shù)，記事件A為“這3個數(shù)的和為偶數(shù)”，則P(A)=__________。三、解答題（共6小題，共70分）17.（10分）邏輯推理與函數(shù)性質(zhì)已知函數(shù)(f(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2})（x∈R）。（1）判斷f(x)的奇偶性并證明；（2）證明f(x)在R上單調(diào)遞增。18.（12分）數(shù)學建模與導數(shù)應(yīng)用某網(wǎng)店銷售一種成本為40元/件的商品，經(jīng)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，當售價為x元/件（x≥50）時，每天的銷售量為(q=200-2x)件。（1）求每天的利潤L(x)關(guān)于售價x的函數(shù)解析式；（2）當售價x為多少時，每天的利潤最大？最大利潤是多少？19.（12分）幾何與代數(shù)綜合如圖，在直三棱柱ABC-A?B?C?中，AB=AC=AA?=2，∠BAC=90°，D為BC的中點。（1）求證：A?B∥平面ADC?；（2）求二面角A?-ADC?的余弦值。20.（12分）數(shù)據(jù)分析與概率統(tǒng)計某學校為評估學生體質(zhì)健康水平，隨機抽取100名學生進行體能測試，得到800米跑成績（單位：秒）的頻率分布直方圖如下：（注：直方圖數(shù)據(jù)缺失，此處假設(shè)分組為[120,140)，[140,160)，[160,180)，[180,200]，頻率分別為0.2，0.5，0.2，0.1）（1）求這100名學生800米跑成績的平均數(shù)和中位數(shù)；（2）若成績在[120,160)為“良好”，[160,200]為“合格”，現(xiàn)從“良好”和“合格”的學生中分層抽樣選取5人，再從這5人中隨機選2人，求至少有1人成績?yōu)椤傲己谩钡母怕省?1.（12分）數(shù)學文化與數(shù)列綜合《九章算術(shù)》中有“衰分”問題：“今有大夫、不更、簪裊、上造、公士，凡五人，共獵得五鹿，欲以爵次分之，問各得幾何？”其意為：“有5人按爵位從高到低依次分得5只鹿，各爵位分得的數(shù)量成等差數(shù)列，且高爵位者比低爵位者多分，問每人各得多少？”（1）若5人分得的鹿數(shù)之和為5，公差為(\frac{1}{2})，求大夫（最高爵位）所得鹿數(shù)；（2）在（1）的條件下，若改為按等比數(shù)列分配，且公比q>1，5人分得的鹿數(shù)之和仍為5，求最低爵位者所得鹿數(shù)（精確到0.01）。22.（12分）創(chuàng)新探究與數(shù)學建模某城市計劃在一條直線型河岸一側(cè)修建一個污水處理廠P，處理來自A、B兩個工廠的污水。已知A廠到河岸的距離為3km，B廠到河岸的距離為5km，兩廠之間的水平距離為8km（如圖所示）。（1）建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，設(shè)污水處理廠P到A廠投影點的距離為xkm，寫出PA+PB關(guān)于x的函數(shù)解析式；（2）當x為何值時，PA+PB最?。孔钚≈凳嵌嗌?？試卷核心價值分析一、核心素養(yǎng)導向的命題設(shè)計本試卷嚴格依據(jù)2025年高中數(shù)學課程標準，全面覆蓋六大核心素養(yǎng)：數(shù)學抽象：如第1題通過實例抽象函數(shù)本質(zhì)，第13題結(jié)合數(shù)學史考查抽象思維；邏輯推理：第3題命題真假判斷、第17題函數(shù)奇偶性證明，強調(diào)推理的嚴謹性；數(shù)學建模：第2題矩形面積優(yōu)化、第10題工廠利潤最大化，體現(xiàn)“問題情境—數(shù)學抽象—模型求解—實際應(yīng)用”完整鏈條；直觀想象：第4題異面直線所成角、第15題三棱錐外接球，通過空間圖形考查空間想象能力；數(shù)學運算：第7題復(fù)數(shù)運算、第18題導數(shù)求最值，注重運算的規(guī)范性與準確性；數(shù)據(jù)分析：第5題中位數(shù)計算、第20題頻率分布直方圖分析，培養(yǎng)基于數(shù)據(jù)的決策能力。二、數(shù)學文化與實際應(yīng)用的深度融合試卷貫穿“數(shù)學源于生活、用于生活”的理念：數(shù)學文化滲透：第6題祖暅原理、第13題阿基米德窮竭法、第21題《九章算術(shù)》衰分問題，展現(xiàn)數(shù)學的歷史厚重感；真實情境建模：第10題工廠生產(chǎn)優(yōu)化、第22題污水處理廠選址，均來自現(xiàn)實問題，引導學生用數(shù)學解決實際挑戰(zhàn)。三、開放性與探究性的體現(xiàn)解法開放：如第22題可通過幾何法（對稱點）或代數(shù)法（函數(shù)求導）求解，鼓勵多樣化思維；分層設(shè)計：選擇題前8題為基礎(chǔ)題，后4題為中檔題；解答題第17-19題側(cè)重知識應(yīng)用，第21-22題強調(diào)創(chuàng)新探究，滿足不同水平學生的發(fā)展需求。四、教學