2025年下學期高中數(shù)學航空技術觀試卷一、選擇題（共12小題，每小題5分，共60分）某無人機在執(zhí)行航拍任務時，其飛行軌跡可近似看作拋物線y=ax2+bx+c，已知當x=0時y=2，當x=1時y=3，當x=2時y=6，則該拋物線的頂點坐標為（）A.(-1,1)B.(0,2)C.(1,3)D.(2,6)飛機在起飛過程中，其加速度a（m/s2）與時間t（s）的關系滿足a(t)=0.5t+2（0≤t≤20），若初始速度為0，則飛機在t=10s時的速度為（）A.45m/sB.50m/sC.55m/sD.60m/s人造地球衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動，其軌道半徑為r，線速度為v，已知地球質(zhì)量為M，萬有引力常量為G，則v與r的函數(shù)關系為（）A.v=√(GM/r)B.v=√(GM/r2)C.v=√(Gr/M)D.v=√(Gr2/M)某航空發(fā)動機的功率P（kW）與轉(zhuǎn)速n（r/min）的關系滿足P=0.002n2+0.1n+5，當n=1000r/min時，功率P對轉(zhuǎn)速n的瞬時變化率為（）A.4.1kW·min/rB.5.1kW·min/rC.6.1kW·min/rD.7.1kW·min/r在航空導航中，方位角是指從正北方向順時針轉(zhuǎn)到目標方向線的水平角。若飛機從機場A出發(fā)，先沿方位角30°飛行100km，再沿方位角120°飛行100km，則此時飛機與機場A的距離為（）A.50√2kmB.100kmC.100√2kmD.100√3km飛機在平流層飛行時，外界溫度T（℃）與海拔高度h（km）的關系近似滿足T=-6.5h+15，其中h≥11km。若某飛機在h=11km處的外界溫度為-56.5℃，則當h=15km時，外界溫度為（）A.-72.5℃B.-79℃C.-85.5℃D.-92℃某機場跑道長度為3000m，一架飛機著陸時的速度為72m/s，著陸后做勻減速直線運動，加速度大小為2m/s2，則飛機從著陸到停止所需的跑道長度為（）A.1296mB.1444mC.1584mD.1728m在航空材料力學中，材料的應力σ與應變ε的關系滿足σ=Eε（胡克定律），其中E為彈性模量。已知某種航空鋁合金的彈性模量E=70GPa，當應變ε=0.001時，應力σ為（）A.7×10?PaB.7×10?PaC.7×10?PaD.7×10?Pa飛機的升力F與飛行速度v的平方成正比，即F=kv2。若某飛機以速度v飛行時的升力為F?，則當速度增加到2v時，升力變?yōu)椋ǎ〢.F?/2B.F?C.2F?D.4F?某衛(wèi)星在地球赤道上空做勻速圓周運動，其軌道周期與地球自轉(zhuǎn)周期相同，則該衛(wèi)星的軌道半徑為（已知地球質(zhì)量M=5.98×102?kg，萬有引力常量G=6.67×10?11N·m2/kg2，地球自轉(zhuǎn)周期T=86400s）（）A.3.6×10?kmB.4.2×10?kmC.4.8×10?kmD.5.4×10?km飛機在飛行過程中受到的空氣阻力f與飛行速度v的關系滿足f=kv3，其中k為常數(shù)。若飛機以速度v勻速飛行時發(fā)動機的功率為P，則當速度增加到2v時，發(fā)動機的功率需變?yōu)椋ǎ〢.2PB.4PC.8PD.16P在航空攝影測量中，像片比例尺為1:m，地面分辨率為r（m），相機焦距為f（mm），航高為H（m），則它們之間的關系滿足r=H·0.001/f·m。若某相機焦距f=50mm，航高H=1000m，地面分辨率r=0.5m，則像片比例尺為（）A.1:10000B.1:20000C.1:30000D.1:40000二、填空題（共4小題，每小題5分，共20分）某直升機在豎直方向上做勻加速直線運動，其位置坐標y（m）與時間t（s）的關系為y=2t2+3t+5，則t=2s時的加速度大小為________m/s2。飛機在水平面上做勻速圓周運動，其向心力由空氣升力的水平分力提供。若飛機質(zhì)量為m，飛行速度為v，傾斜角為θ，則圓周運動的半徑r=________（用m、v、θ、g表示）。某航空發(fā)動機的效率η與壓縮比ε的關系滿足η=1-1/ε?.?，當壓縮比ε=10時，效率η=________（精確到0.01）。在三維空間直角坐標系中，無人機A的坐標為(1,2,3)，無人機B的坐標為(4,5,6)，則A、B兩點之間的距離為________。三、解答題（共6小題，共70分）（10分）某無人機在距離地面高度為h處水平飛行，在A點處觀測地面目標P的俯角為30°，繼續(xù)向前飛行100m到達B點，觀測目標P的俯角為45°，求無人機飛行的高度h。（12分）飛機在起飛過程中，其速度v（m/s）與時間t（s）的關系滿足v(t)=0.5t+10（0≤t≤30），求：（1）飛機在t=0到t=30s內(nèi)的位移；（2）飛機在t=0到t=30s內(nèi)的平均速度。（12分）某人造地球衛(wèi)星的軌道為橢圓，近地點距離地心r?，遠地點距離地心r?，已知衛(wèi)星在近地點的速度為v?，求衛(wèi)星在遠地點的速度v?（假設衛(wèi)星僅受地球引力作用，地球質(zhì)量為M）。（12分）在航空材料中，某種合金的拉伸強度y（MPa）與含碳量x（%）的關系滿足線性回歸方程y=150x+500?，F(xiàn)有5組樣本數(shù)據(jù)：(0.1,516)、(0.2,530)、(0.3,545)、(0.4,560)、(0.5,575)，求：（1）該線性回歸方程的殘差平方和；（2）該線性回歸方程的決定系數(shù)R2。（12分）飛機在豎直平面內(nèi)做勻速圓周運動，已知圓周半徑為500m，飛行速度為100m/s，重力加速度g=10m/s2，求：（1）飛機在最高點時飛行員對座椅的壓力；（2）飛機在最低點時飛行員對座椅的壓力（假設飛行員質(zhì)量為70kg）。（12分）某航空發(fā)動機的耗油量Q（kg/h）與飛行速度v（km/h）的關系滿足Q=0.001v2+0.5v+100，若飛機的航程為1000km，求：（1）飛行時間t與飛行速度v的函數(shù)關系；（2）總耗油量W與飛行速度v的函數(shù)關系；（3）當飛行速度v為多少時，總耗油量W最小，并求出最小值。四、應用題（共2小題，共50分）（25分）在航空導航中，VOR（甚高頻全向信標）是一種常用的無線電導航系統(tǒng)。假設機場附近有兩個VOR臺A和B，相距100km，坐標分別為A(0,0)和B(100,0)。飛機上的VOR接收機顯示：到A臺的方位角為30°，到B臺的方位角為300°。（1）建立平面直角坐標系，求出飛機當前位置的坐標；（2）若飛機以800km/h的速度向機場（坐標原點）飛行，需要多長時間到達機場？（3）若飛機在飛行過程中，保持到A臺和B臺的距離之和為200km，求飛機的飛行軌跡方程，并判斷該軌跡的類型。（25分）某航空公司正在設計一款新型支線客機，其巡航速度v（km/h）與機翼面積S（m2）的關系需要通過風洞試驗確定。在一次試驗中，獲得如下數(shù)據(jù)：機翼面積S（m2）5060708090100巡航速度v（km/h）450420390360330300（1）判斷巡航速度v與機翼面積S是否存在線性相關關系，若存在，求出線性回歸方程v=aS+b；（2）若該型飛機的最大起飛重量為20噸，機翼載荷（機翼每平方米面積所承受的重量）為w=G/S，其中G為飛機重量（N），重力加速度g=10m/s2，求當機翼面積S=80m2時的機翼載荷w；（3）根據(jù)空氣動力學理論，巡航速度v與機翼面積S的關系滿足v=k/√S（k為常數(shù)），利用上述試驗數(shù)據(jù)求出常數(shù)k的估計值，并預測當機翼面積S=120m2時的巡航速度v。五、附加題（共2小題，共30分）（15分）在航天工程中，軌道轉(zhuǎn)移是指將航天器從一個軌道轉(zhuǎn)移到另一個軌道的過程?？紤]將航天器從半徑為r的圓形低軌道轉(zhuǎn)移到半徑為R的圓形高軌道，通常采用霍曼轉(zhuǎn)移軌道，該軌道是一個橢圓，其近地點和遠地點分別與兩個圓形軌道相切。已知地球質(zhì)量為M，萬有引力常量為G，求：（1）霍曼轉(zhuǎn)移軌道的半長軸a；（2）航天器在低軌道的速度v?和在高軌道的速度v?；（3）完成霍曼轉(zhuǎn)移所需的總速度增量Δv=|v?-v?|+|v?-v?|，其中v?為霍曼轉(zhuǎn)移軌道近地點速度，v?為霍曼轉(zhuǎn)移軌道遠地點速度。（15分）在無人機編隊表演中，100架無人機在夜空中排列成一個圓形圖案，已知每架無人機的坐標滿足(x-100cosθ)2+(y-100sinθ)2=1，其中θ=0°,3.6°,7.2°,...,356.4°。（1）求該圓形圖案的圓心坐標和半徑；（2）求第1架無人機（θ=0°）和第51架無人機（θ=180°）之間的距離；（3）若所有無人機同時以相同的角速度ω繞原點做勻速圓周運動，角速度ω=0.1rad/s，求t=10s時，第1架無人機的坐標。本試卷從多個角度將高中數(shù)學知識與航空技術相結(jié)合，涵蓋了函數(shù)、導數(shù)、積分、幾何、概率統(tǒng)計等多個數(shù)學分支，旨在考查學生運用數(shù)學知識解決實際問題的能力。通過這些題目，學生不僅可以鞏固數(shù)學基礎知識，還能了解航空技術中的數(shù)學應用，培養(yǎng)科學素養(yǎng)和創(chuàng)新思維。在解題過程中，學生需要注意以下幾點：認真審題，準確理解題目中的航空術語和物理概念；建立合理的數(shù)學模型，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題；選擇合適的數(shù)學方法進行求解，注意單位換算和數(shù)值計算的準確性；對結(jié)果進行合理性分析，結(jié)合航空實際背景判斷答案的正確性。通過本試卷的練習，希望能幫助學生更好地認識到數(shù)學在航空技術領域的重要性，激發(fā)學習數(shù)學的興趣，為今后從事航空航天相關工作打下堅實的數(shù)學基礎。同時，也希望能培養(yǎng)學生的工程思維和創(chuàng)新能力，為我國航空事業(yè)的發(fā)展貢獻力量。數(shù)學作為一門基礎學科，在航空技術的發(fā)展中發(fā)揮著重要作用。從飛機設計、飛行控制到航空材料、導航系統(tǒng)，都離不開數(shù)學的支撐。隨著航空技術的不斷進步，對數(shù)學的要求也越來越高，因此，高中生在學習數(shù)學時，應注重理論與實踐的結(jié)合，提高運用數(shù)學知識解決實際問題的能力，為未來的學習和工作做好準備。在航空工程中，數(shù)學建模是連接數(shù)學理論與工程實踐的橋梁。通過建立數(shù)學模型，可以將復雜的航空問題簡化為可求解的數(shù)學問題，從而為工程設計提供理論依據(jù)。例如，在飛機氣動布局設計中，需要通過流體力學方程求解流場分布；在飛行控制系統(tǒng)設計中，需要建立飛機的運動方程和控制方程；在航空發(fā)動機設計中，需要通過熱力學和氣體動力學方程分析發(fā)動機性能。這些都離不開高等數(shù)學、線性代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計等數(shù)學知識的應用。隨著人工智能、大數(shù)據(jù)等技術在航空領域的應用，數(shù)學的重要性更加凸顯。例如，在飛機故障診斷中，需要通過機器學習算法對傳感器數(shù)據(jù)進行分析；在航班調(diào)度中，需要通過優(yōu)化算法提高運行效率；在無人機自主飛行中，需要通過路徑規(guī)劃算法實現(xiàn)避障和導航。這些新興領域的發(fā)展，為數(shù)學應用提供了更廣闊的空間，也對數(shù)學教育提出了新的要求。作為新時代的高中生，應樹立遠大理想，培養(yǎng)科學精神，努力學習數(shù)學知識，提高