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2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)過去觀試卷一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|log?(x+1)=1},則A∩B=()A.{1}B.{2}C.{1,2}D.?復(fù)數(shù)z滿足z·(1+i)=2i(i為虛數(shù)單位),則|z|=()A.1B.√2C.2D.4函數(shù)f(x)=ln(x2-4x+5)的定義域是()A.(-∞,1)∪(5,+∞)B.(-∞,1]∪[5,+∞)C.(1,5)D.[1,5]已知向量a=(2,3),b=(m,-6),若a⊥b,則m=()A.-9B.-4C.4D.9某幾何體的三視圖如圖所示(單位:cm),則該幾何體的體積是()A.12πcm3B.16πcm3C.24πcm3D.32πcm3已知sinα=3/5,α∈(π/2,π),則cos(α-π/4)=()A.-√2/10B.√2/10C.-7√2/10D.7√2/10執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸入n=5,則輸出的S=()A.10B.15C.20D.25已知函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π/2)的部分圖像如圖所示,則ω+φ=()A.π/3B.π/2C.2π/3D.π已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,點(diǎn)P在拋物線上,且PF⊥x軸,垂足為M,則|PM|=()A.1B.2C.3D.4已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+2x,則函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)為()A.x=0B.x=1C.x=2D.x=3在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若a=2,b=3,c=4,則cosB=()A.11/16B.13/16C.11/14D.13/14已知函數(shù)f(x)=e?-ax-1(a∈R),若f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,則a的取值范圍是()A.(-∞,1]B.(-∞,e]C.[1,+∞)D.[e,+∞)二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分)已知等差數(shù)列{a?}的前n項(xiàng)和為S?,若a?=1,d=2,則S?=______。若x,y滿足約束條件{x+y≥2,x-y≤0,y≤2},則z=x+2y的最大值為______。已知圓C:x2+y2-4x+6y+4=0,過點(diǎn)P(1,1)的直線l與圓C交于A,B兩點(diǎn),若|AB|=4,則直線l的方程為______。已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x>0時,f(x)=x2-2x,則不等式f(x)>0的解集為______。三、解答題(本大題共6小題,共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)(本小題滿分10分)已知數(shù)列{a?}是等比數(shù)列,a?=1,a?=8。(1)求數(shù)列{a?}的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列{a?}的前n項(xiàng)和S?。(本小題滿分12分)某學(xué)校為了解學(xué)生的體育鍛煉情況,隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,得到如下列聯(lián)表:性別經(jīng)常鍛煉不經(jīng)常鍛煉合計(jì)男401050女203050合計(jì)6040100(1)根據(jù)列聯(lián)表,判斷是否有95%的把握認(rèn)為“學(xué)生的性別與是否經(jīng)常鍛煉有關(guān)”;(2)從經(jīng)常鍛煉的學(xué)生中隨機(jī)抽取3人,記其中男生的人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望。參考公式:K2=n(ad-bc)2/[(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)],其中n=a+b+c+d。參考數(shù)據(jù):P(K2≥k?)|0.05|0.01|0.001---|---|---|---k?|3.841|6.635|10.828(本小題滿分12分)如圖,在三棱柱ABC-A?B?C?中,AA?⊥底面ABC,AB=AC=AA?=2,∠BAC=90°,D是BC的中點(diǎn)。(1)求證:AD⊥平面BCC?B?;(2)求二面角A?-BD-C?的余弦值。(本小題滿分12分)已知橢圓C:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的離心率為√3/2,且過點(diǎn)(2,1)。(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)直線l:y=kx+m與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),若OA⊥OB,求△AOB面積的最大值。(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=xlnx-ax2+x(a∈R)。(1)當(dāng)a=1時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若函數(shù)f(x)在(0,+∞)上有兩個極值點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍。(本小題滿分12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C?的參數(shù)方程為{x=2cosθ,y=sinθ}(θ為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C?的極坐標(biāo)方程為ρ=4sinθ。(1)求曲線C?的普通方程和曲線C?的直角坐標(biāo)方程;(2)設(shè)點(diǎn)P在曲線C?上,點(diǎn)Q在曲線C?上,求|PQ|的最小值及此時點(diǎn)P的坐標(biāo)。參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題A2.B3.C4.D5.C6.A7.B8.C9.B10.A11.B12.A二、填空題2514.615.x=1或3x-4y+1=016.(-∞,-2)∪(2,+∞)三、解答題解:(1)設(shè)等比數(shù)列{a?}的公比為q,因?yàn)閍?=1,a?=8,所以a?=a?q3=q3=8,解得q=2。所以數(shù)列{a?}的通項(xiàng)公式為a?=a?q??1=2??1。(5分)(2)由(1)知,a?=2??1,所以數(shù)列{a?}的前n項(xiàng)和S?=a?(1-q?)/(1-q)=1×(1-2?)/(1-2)=2?-1。(10分)解:(1)由列聯(lián)表得,K2=100×(40×30-10×20)2/[(50×50×60×40)]=100×(1200-200)2/(50×50×60×40)=100×10002/(50×50×60×40)=100×1000000/(50×50×60×40)=100×1000000/600000=100×5/3≈16.667>3.841,所以有95%的把握認(rèn)為“學(xué)生的性別與是否經(jīng)常鍛煉有關(guān)”。(4分)(2)由題意知,經(jīng)常鍛煉的學(xué)生有60人,其中男生40人,女生20人,從經(jīng)常鍛煉的學(xué)生中隨機(jī)抽取3人,X的可能取值為0,1,2,3。P(X=0)=C(20,3)/C(60,3)=1140/34220≈0.033;P(X=1)=C(40,1)C(20,2)/C(60,3)=40×190/34220≈7600/34220≈0.222;P(X=2)=C(40,2)C(20,1)/C(60,3)=780×20/34220≈15600/34220≈0.456;P(X=3)=C(40,3)/C(60,3)=9880/34220≈0.289。所以X的分布列為:X0123P0.0330.2220.4560.289數(shù)學(xué)期望E(X)=0×0.033+1×0.222+2×0.456+3×0.289=0+0.222+0.912+0.867=2.001≈2。(12分)(1)證明:因?yàn)锳A?⊥底面ABC,AD?底面ABC,所以AA?⊥AD。因?yàn)锳B=AC,D是BC的中點(diǎn),所以AD⊥BC。因?yàn)锽C∩AA?=A,BC,AA??平面BCC?B?,所以AD⊥平面BCC?B?。(6分)(2)解:以A為原點(diǎn),AB,AC,AA?所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),A?(0,0,2),B?(2,0,2),C?(0,2,2),D(1,1,0)。所以A?D=(1,1,-2),BD=(-1,1,0),C?D=(1,-1,-2)。設(shè)平面A?BD的法向量為n=(x,y,z),則{n·A?D=0,n·BD=0},即{x+y-2z=0,-x+y=0},令x=1,則y=1,z=1,所以n=(1,1,1)。設(shè)平面C?BD的法向量為m=(a,b,c),則{m·C?D=0,m·BD=0},即{a-b-2c=0,-a+b=0},令a=1,則b=1,c=0,所以m=(1,1,0)。所以cos<n,m>=n·m/(|n||m|)=(1×1+1×1+1×0)/(√(12+12+12)×√(12+12+02))=(1+1+0)/(√3×√2)=2/√6=√6/3。因?yàn)槎娼茿?-BD-C?為銳角,所以二面角A?-BD-C?的余弦值為√6/3。(12分)解:(1)因?yàn)闄E圓C的離心率為√3/2,所以e=c/a=√3/2,即c=√3/2a。因?yàn)閍2=b2+c2,所以a2=b2+(3/4)a2,即b2=1/4a2,所以a2=4b2。因?yàn)闄E圓C過點(diǎn)(2,1),所以4/a2+1/b2=1,即4/(4b2)+1/b2=1/b2+1/b2=2/b2=1,解得b2=2,所以a2=4b2=8,所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2/8+y2/2=1。(6分)(2)設(shè)A(x?,y?),B(x?,y?),聯(lián)立{y=kx+m,x2/8+y2/2=1},消去y得,x2/8+(kx+m)2/2=1,即x2+4(kx+m)2=8,即x2+4k2x2+8kmx+4m2=8,即(1+4k2)x2+8kmx+4m2-8=0。因?yàn)橹本€l與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),所以Δ=(8km)2-4(1+4k2)(4m2-8)=64k2m2-4(4m2-8+16k2m2-32k2)=64k2m2-16m2+32-64k2m2+128k2=-16m2+32+128k2>0,即128k2-16m2+32>0,即8k2-m2+2>0,即m2<8k2+2。由韋達(dá)定理得,x?+x?=-8km/(1+4k2),x?x?=(4m2-8)/(1+4k2)。所以y?y?=(kx?+m)(kx?+m)=k2x?x?+km(x?+x?)+m2=k2(4m2-8)/(1+4k2)+km(-8km)/(1+4k2)+m2=(4k2m2-8k2-8k2m2+m2+4k2m2)/(1+4k2)=(m2-8k2)/(1+4k2)。因?yàn)镺A⊥OB,所以O(shè)A·OB=x?x?+y?y?=0,即(4m2-8)/(1+4k2)+(m2-8k2)/(1+4k2)=0,即(4m2-8+m2-8k2)/(1+4k2)=0,即5m2-8k2-8=0,即5m2=8k2+8,即m2=(8k2+8)/5。因?yàn)閙2<8k2+2,所以(8k2+8)/5<8k2+2,即8k2+8<40k2+10,即-32k2<2,即k2>-1/16,因?yàn)閗2≥0,所以k2≥0,所以m2=(8k2+8)/5≥8/5。所以|AB|=√[(x?-x?)2+(y?-y?)2]=√[(1+k2)(x?-x?)2]=√[(1+k2)[(x?+x?)2-4x?x?]]=√[(1+k2)[(-8km/(1+4k2))2-4×(4m2-8)/(1+4k2)]]=√[(1+k2)[64k2m2/(1+4k2)2-(16m2-32)/(1+4k2)]]=√[(1+k2)[64k2m2-(16m2-32)(1+4k2)]/(1+4k2)2]=√[(1+k2)[64k2m2-16m2-64k2m2+32+128k2]/(1+4k2)2]=√[(1+k2)(-16m2+32+128k2)/(1+4k2)2]=√[(1+k2)(128k2-16m2+32)/(1+4k2)2]。因?yàn)閙2=(8k2+8)/5,所以128k2-16m2+32=128k2-16×(8k2+8)/5+32=128k2-(128k2+128)/5+32=(640k2-128k2-128+160)/5=(512k2+32)/5=32(16k2+1)/5。所以|AB|=√[(1+k2)×32(16k2+1)/5/(1+4k2)2]=√[32(1+k2)(16k2+1)/(5(1+4k2)2)]=4√[2(1+k2)(16k2+1)/(5(1+4k2)2)]。因?yàn)辄c(diǎn)O到直線l的距離d=|m|/√(1+k2)=√[(8k2+8)/5]/√(1+k2)=√[8(k2+1)/5]/√(1+k2)=√(8/5)=2√10/5。所以△AOB的面積S=1/2|AB|d=1/2×4√[2(1+k2)(16k2+1)/(5(1+4k2)2)]×2√10/5=4√[2(1+k2)(16k2+1)/(5(1+4k2)2)]×√10/5=4√[20(1+k2)(16k2+1)/(25(1+4k2)2)]=4×√[20(1+k2)(16k2+1)]/(5(1+4k2))=4×2√5√[(1+k2)(16k2+1)]/(5(1+4k2))=8√5√[(1+k2)(16k2+1)]/(5(1+4k2))。令t=4k2+1,則t≥1,k2=(t-1)/4,所以(1+k2)(16k2+1)=(1+(t-1)/4)(16×(t-1)/4+1)=((4+t-1)/4)(4(t-1)+1)=((t+3)/4)(4t-4+1)=(t+3)(4t-3)/4。所以S=8√5√[(t+3)(4t-3)/4]/(5t)=8√5×√[(t+3)(4t-3)]/(2×5t)=4√5√[(t+3)(4t-3)]/(5t)。令f(t)=(t+3)(4t-3)/t2=(4t2-3t+12t-9)/t2=(4t2+9t-9)/t2=4+9/t-9/t2,令u=1/t,則u∈(0,1],所以f(u)=4+9u-9u2=-9u2+9u+4=-9(u2-u)+4=-9(u2-u+1/4-1/4)+4=-9(u-1/2)2+9/4+4=-9(u-1/2)2+25/4,所以當(dāng)u=1/2,即t=2時,f(u)取得最大值25/4,所以S的最大值為4√5×√(25/4)/(5×2)=4√5×5/2/(10)=10√5/10=√5。所以△AOB面積的最大值為√5。(12分)解:(1)當(dāng)a=1時,f(x)=xlnx-x2+x,定義域?yàn)?0,+∞),f'(x)=lnx+1-2x+1=lnx-2x+2。令g(x)=lnx-2x+2,則g'(x)=1/x-2。令g'(x)=0,得x=1/2。當(dāng)x∈(0,1/2)時,g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x∈(1/2,+∞)時,g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減。所以g(x)≤g(1/2)=ln(1/2)-2×(1/2)+2=-ln2-1+2=1-ln2>0,所以f'(x)=g(x)>0,所以函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,即函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+∞),無單調(diào)遞減區(qū)間。(6分)(2)f(x)=xlnx-ax2+x,定義域?yàn)?0,+∞),f'(x)=lnx+1-2ax+1=lnx-2ax+2。因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在(0,+∞)上有兩個極值點(diǎn),所以f'(x)=0在(0,+∞)上有兩個不同的實(shí)根,即lnx-2ax+2=0在(0,+∞)上有兩個不同的實(shí)根,即2a=(lnx+2)/x在(0,+∞)上有兩個不同的實(shí)根。令h(x)=(lnx+2)/x,則h'(x)=(1/x×x-(lnx+2)×1)/x2=(1-lnx-2)/x2=(-lnx-1)/x2。令h'(x)=0,得-lnx-1=0,即lnx=-1,解得x=1/e。當(dāng)x∈(0,1/e)時,h'(x)>0,h(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x∈(1/e,+∞)時,h'(x)<0,h(x)單調(diào)遞減。所以h(x)≤h(1/e)=(ln(1/e)+2)/(1/e)=(-1+2)e=e。當(dāng)x→0?時,lnx→-∞,所以h(x)=(lnx+2)/x→-∞;當(dāng)x→+∞時,lnx→+∞,但x增長速度比lnx快,所以h(x)=(lnx+2)/x→0。所以要使2a=(lnx+2)/x在(0,+∞)上有兩個不同的實(shí)根,則0<2a<e,即0<a<e/2。所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(0,e/2)。(12分)解:(1)曲線C?的參數(shù)方程為{x=2cosθ,y=sinθ}(θ為參數(shù)),消去參數(shù)θ得,曲線C?的普通方程為x2/4+y2=1。曲線C?的極坐標(biāo)方程為ρ=4sinθ,兩邊同乘以ρ得,ρ2=4ρsinθ,因?yàn)棣?=x2+y2,ρsinθ=y,所以曲線C?的直角坐標(biāo)方程為x2+y2=4y,即x2+y2-4y=0,即x2+(y-2)2=4。(6分)(2)
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