2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)北方地區(qū)聯(lián)考試卷一、單選題（共10小題，每小題4分，共40分）1.集合運算已知集合A={x|x2-3x+2≤0}，B={x|log?(x-1)≥1}，則A∩B=（）A.[1,2]B.[2,3]C.[1,3]D.[2,+∞)解析：解不等式x2-3x+2≤0得1≤x≤2，故A=[1,2]；由log?(x-1)≥1得x-1≥2，即x≥3，故B=[3,+∞)；則A∩B=?，無正確選項（注：原題可能存在數(shù)據(jù)設(shè)計誤差，正確交集應(yīng)為空集）。2.復(fù)數(shù)運算若復(fù)數(shù)z滿足(1+i)z=2i3，則|z|=（）A.1B.√2C.2D.2√2解析：i3=-i，故z=2i3/(1+i)=-2i/(1+i)=-2i(1-i)/[(1+i)(1-i)]=(-2i+2i2)/2=(-2-2i)/2=-1-i|z|=√[(-1)2+(-1)2]=√2，答案選B。3.雙曲線離心率已知雙曲線x2/a2-y2/b2=1（a>0,b>0）的一條漸近線方程為y=2x，且過點(√3,4)，則離心率e=（）A.√3B.√5C.2D.3解析：漸近線斜率b/a=2，即b=2a；將(√3,4)代入雙曲線方程：3/a2-16/(4a2)=1?3/a2-4/a2=1?-1/a2=1，矛盾（注：題目數(shù)據(jù)可能有誤，若點為(√5,4)則可解得a=1,b=2,c=√5,e=√5）。4.函數(shù)圖像變換函數(shù)f(x)=ln|x-1|的圖像大致是（）A.關(guān)于x=1對稱的“V”形曲線B.關(guān)于x=1對稱的對數(shù)曲線C.關(guān)于y軸對稱的偶函數(shù)圖像D.過原點的增函數(shù)圖像解析：f(x)=ln|x-1|由y=ln|x|向右平移1個單位得到，圖像關(guān)于x=1對稱，答案選B。5.數(shù)列性質(zhì)在等差數(shù)列{an}中，a3+a5=14，a2a6=45，則公差d=（）A.±1B.±2C.±3D.±4解析：設(shè)首項為a1，公差d，則：a3+a5=2a1+6d=14?a1+3d=7a2a6=(a1+d)(a1+5d)=45將a1=7-3d代入得(7-2d)(7+2d)=49-4d2=45?d2=1?d=±1，答案選A。6.不等式性質(zhì)若a>b>0，c<d<0，則下列不等式一定成立的是（）A.ac>bdB.a/d>b/cC.a-c>b-dD.a+c>b+d解析：c<d<0?-c>-d>0，又a>b>0，相加得a-c>b-d，答案選C。7.充分必要條件“函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期為π”是“ω=2”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析：周期T=2π/|ω|=π?|ω|=2?ω=±2，故“ω=2”是周期為π的充分不必要條件，答案選A。8.三角函數(shù)零點函數(shù)f(x)=sin(2x-π/3)在[0,π]上的零點個數(shù)為（）A.1B.2C.3D.4解析：令2x-π/3=kπ?x=kπ/2+π/6在[0,π]內(nèi)，k=0時x=π/6；k=1時x=2π/3；k=2時x=7π/6（超出范圍），共2個零點，答案選B。9.指數(shù)對數(shù)應(yīng)用某公司2025年利潤為100萬元，計劃每年增長率為x，若到2027年利潤達(dá)到144萬元，則x=（）A.10%B.15%C.20%D.25%解析：100(1+x)2=144?(1+x)2=1.44?1+x=1.2?x=20%，答案選C。10.向量模的范圍已知向量a=(1,2)，b=(x,1)，且|a+2b|≤3√2，則x的取值范圍是（）A.[-2,1]B.[-1,2]C.[-3,0]D.[0,3]解析：a+2b=(1+2x,4)，|a+2b|=√[(1+2x)2+16]≤3√2平方得(1+2x)2+16≤18?(1+2x)2≤2?-√2≤1+2x≤√2解得(-1-√2)/2≤x≤(-1+√2)/2≈-1.207≤x≤0.207，無正確選項（注：題目可能將“≤”誤寫為“≥”，此時x∈(-∞,-2]∪[1,+∞)）。二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分）11.拋物線方程拋物線y2=2px（p>0）上一點M(4,y0)到焦點距離為5，則p=______。解析：拋物線準(zhǔn)線x=-p/2，由拋物線定義得4+p/2=5?p=2，答案為2。12.二項式系數(shù)(x2-2/x)?展開式中x?的系數(shù)為______。解析：通項Tr+1=C(5,r)(x2)???(-2/x)?=(-2)?C(5,r)x1??3?令10-3r=4得r=2，系數(shù)為(-2)2C(5,2)=4×10=40，答案為40。13.三角恒等變換已知tanα=2，則sin2α+cos2α=______。解析：sin2α+cos2α=(2sinαcosα+cos2α)/(sin2α+cos2α)=(2tanα+1)/(tan2α+1)=(4+1)/(4+1)=1，答案為1。14.空間幾何體體積已知某幾何體三視圖如圖（單位：cm），則體積為______cm3。（注：假設(shè)三視圖為底面半徑2cm、高3cm的圓錐與棱長2cm的正方體組合）解析：V=V圓錐+V正方體=1/3πr2h+a3=1/3π×4×3+8=4π+8≈20.56，答案為4π+8（或20.56）。15.抽象函數(shù)性質(zhì)定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=-f(x)，且當(dāng)x∈[0,1]時，f(x)=2x，則f(2025)=______。解析：由f(x+4)=-f(x+2)=f(x)知周期為4，f(2025)=f(1)=2×1=2，答案為2。三、解答題（共6小題，共85分）16.解三角形（13分）在△ABC中，角A,B,C所對邊分別為a,b,c，已知cosA=3/5，b=5，S△ABC=6。（1）求a的值；（2）求sinC的值。解析：（1）sinA=4/5，S=1/2bcsinA=6?1/2×5c×4/5=6?c=3由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA=25+9-2×5×3×3/5=34-18=16?a=4（2）由正弦定理a/sinA=c/sinC?sinC=csinA/a=3×4/5/4=3/517.立體幾何（14分）如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=AA1=2，∠BAC=90°，D為BC中點。（1）求證：A1D⊥平面B1C1D；（2）求直線A1B與平面B1C1D所成角的正弦值。解析：（1）建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，坐標(biāo)如下：A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),A1(0,0,2),B1(2,0,2),C1(0,2,2),D(1,1,0)A1D=(1,1,-2),B1C1=(-2,2,0),C1D=(1,-1,-2)A1D·B1C1=-2+2+0=0，A1D·C1D=1-1+4=4≠0（注：題目可能存在圖形標(biāo)識錯誤，無法證明垂直）（2）假設(shè)平面B1C1D法向量n=(x,y,z)，由n·B1C1=0,n·C1D=0得：-2x+2y=0x-y-2z=0取x=1,y=1,z=0，n=(1,1,0)A1B=(2,0,-2)，sinθ=|A1B·n|/(|A1B||n|)=|2+0+0|/(√8×√2)=2/4=1/218.概率統(tǒng)計（13分）某工廠生產(chǎn)的零件合格率為90%，采用新設(shè)備后進(jìn)行質(zhì)量檢測，隨機抽取10件產(chǎn)品，其中合格9件。（1）求新設(shè)備生產(chǎn)零件合格率的95%置信區(qū)間；（2）判斷新設(shè)備是否顯著提高了合格率（α=0.05）。解析：（1）樣本合格率p?=0.9，置信區(qū)間公式：p?±zα/2√[p?(1-p?)/n]z0.025=1.96，區(qū)間為0.9±1.96√[0.09/10]≈0.9±0.263，即(0.637,1.163)，取(0.637,1)（2）假設(shè)H0:p=0.9,H1:p>0.9檢驗統(tǒng)計量z=(0.9-0.9)/√[0.9×0.1/10]=0，P=0.5>0.05，不拒絕H0，無顯著提高。19.解析幾何（15分）已知橢圓C:x2/a2+y2/b2=1（a>b>0）的離心率e=√3/2，且過點(2,1)。（1）求橢圓方程；（2）過右焦點F的直線l與橢圓交于A,B兩點，若|AB|=16/5，求直線l的方程。解析：（1）e=c/a=√3/2?c=√3a/2，b2=a2-c2=a2/4將(2,1)代入得4/a2+1/(a2/4)=1?4/a2+4/a2=1?a2=8，b2=2橢圓方程：x2/8+y2/2=1（2）右焦點F(√6,0)，設(shè)直線l:y=k(x-√6)聯(lián)立橢圓方程得(1+4k2)x2-8√6k2x+24k2-8=0|AB|=√(1+k2)|x1-x2|=√(1+k2)√[(8√6k2)2-4(1+4k2)(24k2-8)]/(1+4k2)=16/5化簡得k2=1?k=±1，直線方程：y=±(x-√6)20.導(dǎo)數(shù)應(yīng)用（15分）已知函數(shù)f(x)=x3-3ax2+3x+1（a∈R）。（1）當(dāng)a=1時，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）若f(x)在區(qū)間(1,2)上存在極值點，求a的取值范圍。解析：（1）a=1時，f'(x)=3x2-6x+3=3(x-1)2≥0，f(x)在R上單調(diào)遞增（2）f'(x)=3x2-6ax+3=3(x2-2ax+1)，令f'(x)=0得x2-2ax+1=0在(1,2)上有解等價于2a=x+1/x在(1,2)上有解x∈(1,2)時，x+1/x∈(2,5/2)，故a∈(1,5/4)21.新定義數(shù)列（15分）定義數(shù)列{an}：a1=1，an+1=2an+n（n∈N*）。（1）求a2,a3,a4；（2）證明：an=2??1-n-2。解析：（1）a2=2×1+1=3，a3=2×3+2=8，a4=2×8+3=19（2）構(gòu)造等比數(shù)列：設(shè)an+1+λ(n+1)+μ=2(an+λn+μ)對比系數(shù)得λ=1,μ=1，即an+1+(n+1)+1=2(an+n+1)令bn=an+n+1，則b1=3，bn=3×2??1an=bn-n-1=3×2??1-n-1，與所證結(jié)論矛盾（注：題目結(jié)論應(yīng)為an=3×2??1-n-1）四、附加題（共2小題，每小題10分，不計入總分）22.不等式證明已知a,b>0且a+b=1，求證：(a+1/a)2+(b+1/b)2≥25/2。解析：由柯西不等式(a2+b2)(1+1)≥(a+b)2=1?a2+b2≥1/2(a+1/a)2+(b+1/b)2=a2+b2+4+1/a2+1/b2≥1/2+4+(1+1)2/(a2+b2)=4.5+4/(1/2)=4.5+8=12.5=25/223.數(shù)學(xué)建模某公司生產(chǎn)兩種產(chǎn)品A和B，生產(chǎn)1件A需2小時，利潤30元；生產(chǎn)1件B需3小時，利潤40元。每周工時不超過60小時，且A產(chǎn)品不超過15件，求最大利潤。解析：設(shè)生產(chǎn)Ax件，By件，目標(biāo)函數(shù)z=30x+40y約束條件：2x+3y≤60，x≤15，x,y≥0可行域頂點(0,20)、(15,10)、(15,0)z(0,