2025年下學(xué)期高中離散型隨機(jī)變量及其分布試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.下列變量中，屬于離散型隨機(jī)變量的是（）A.某同學(xué)投籃一次的進(jìn)球數(shù)B.某品牌空調(diào)的使用壽命（單位：小時(shí)）C.某地區(qū)夏季的日平均氣溫（單位：℃）D.某河流的年徑流量（單位：立方米）解析：離散型隨機(jī)變量的取值為有限個(gè)或可列無限個(gè)。選項(xiàng)A中進(jìn)球數(shù)只能取0或1，為離散型；B、C、D的取值均為連續(xù)區(qū)間，屬于連續(xù)型隨機(jī)變量。答案：A2.設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為P(X=k)=c·(1/3)^k（k=1,2,3），其中c為常數(shù)，則c的值為（）A.1/13B.3/13C.9/13D.27/13解析：由分布列的性質(zhì)知，所有概率之和為1，即c·[(1/3)+(1/3)^2+(1/3)^3]=1。計(jì)算得c·(13/27)=1，解得c=27/13。答案：D3.已知隨機(jī)變量X的分布列為：X012P0.20.50.3則E(X)的值為（）A.0.5B.1.0C.1.1D.1.5解析：期望E(X)=0×0.2+1×0.5+2×0.3=0+0.5+0.6=1.1。答案：C4.設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n=5，p=0.4的二項(xiàng)分布，則P(X=2)的值為（）A.C?2·(0.4)2·(0.6)3B.C?2·(0.4)3·(0.6)2C.(0.4)2·(0.6)3D.5×0.42×0.63解析：二項(xiàng)分布的概率公式為P(X=k)=C??·p?·(1-p)???，代入n=5，k=2，p=0.4，得P(X=2)=C?2·(0.4)2·(0.6)3。答案：A5.已知隨機(jī)變量X的分布列為P(X=k)=1/5（k=1,2,3,4,5），則D(X)的值為（）A.2B.3C.5D.10解析：X服從均勻分布，E(X)=(1+2+3+4+5)/5=3，D(X)=E(X2)-[E(X)]2。E(X2)=(12+22+32+42+52)/5=11，故D(X)=11-9=2。答案：A6.設(shè)隨機(jī)變量X~B(n,p)，若E(X)=3，D(X)=2.1，則p的值為（）A.0.3B.0.5C.0.7D.0.9解析：二項(xiàng)分布中E(X)=np=3，D(X)=np(1-p)=2.1。聯(lián)立方程得3(1-p)=2.1，解得1-p=0.7，即p=0.3。答案：A7.某射手射擊一次命中目標(biāo)的概率為0.8，現(xiàn)連續(xù)射擊3次，記命中目標(biāo)的次數(shù)為X，則P(X≥2)等于（）A.0.896B.0.512C.0.384D.0.128解析：X~B(3,0.8)，P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)=C?2·0.82·0.2+C?3·0.83=3×0.64×0.2+1×0.512=0.384+0.512=0.896。答案：A8.設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為：X-101Pabc若E(X)=0.1，D(X)=0.89，則a的值為（）A.0.2B.0.3C.0.4D.0.5解析：由分布列性質(zhì)得a+b+c=1；E(X)=-a+0·b+c=0.1；D(X)=E(X2)-[E(X)]2=(-1)2a+02b+12c-0.01=a+c-0.01=0.89，即a+c=0.9。聯(lián)立方程解得a=0.4，c=0.5，b=0.1。答案：C9.已知隨機(jī)變量X的分布列為P(X=k)=1/2?（k=1,2,...,n），則E(X)的值為（）A.(n+1)/2B.n/2C.(n-1)/2D.n解析：E(X)=Σ????k·(1/n)=(1+2+...+n)/n=n(n+1)/(2n)=(n+1)/2。答案：A10.設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)=P(X≤x)，則P(1<X≤3)等于（）A.F(3)-F(1)B.F(3)-F(1?)C.F(3?)-F(1)D.F(3?)-F(1?)解析：分布函數(shù)F(x)在點(diǎn)x處的函數(shù)值表示X≤x的概率，故P(1<X≤3)=F(3)-F(1)。答案：A11.某袋中有5個(gè)紅球和3個(gè)白球，從中不放回地依次摸出2個(gè)球，記X為第一次摸出紅球的個(gè)數(shù)，則X的分布列為（）A.|X|0|1|P|3/8|5/8|B.|X|0|1|P|3/28|5/28|C.|X|0|1|P|15/28|13/28|D.|X|0|1|P|1/2|1/2|解析：X為第一次摸球的結(jié)果，摸出紅球概率為5/8，白球?yàn)?/8，與第二次摸球無關(guān)。答案：A12.設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布為P(X=k)=1/2^k（k=1,2,...），則E(X)的值為（）A.1B.2C.3D.4解析：這是幾何分布（p=1/2），期望E(X)=1/p=2。答案：B二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為P(X=k)=k/10（k=1,2,3,4），則P(1<X≤3)=________。解析：P(1<X≤3)=P(X=2)+P(X=3)=2/10+3/10=5/10=1/2。答案：1/214.已知隨機(jī)變量X~H(5,2,10)（超幾何分布），則P(X=1)=________。解析：超幾何分布公式P(X=k)=C??·C??????/C??，其中N=10，M=5，n=2，k=1。代入得P(X=1)=C?1·C?1/C??2=5×5/45=25/45=5/9。答案：5/915.設(shè)隨機(jī)變量X的期望E(X)=2，方差D(X)=1，則E(X2)=________。解析：由D(X)=E(X2)-[E(X)]2得E(X2)=D(X)+[E(X)]2=1+4=5。答案：516.某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中，一等品占70%，二等品占20%，三等品占10%。若每件一等品獲利10元，二等品獲利5元，三等品虧損2元，記一件產(chǎn)品的利潤(rùn)為X（單位：元），則E(X)=________元。解析：X的分布列為：|X|10|5|-2||----|----|----|----||P|0.7|0.2|0.1|E(X)=10×0.7+5×0.2+(-2)×0.1=7+1-0.2=7.8。答案：7.8三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.（10分）設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為：X-2013P0.1a0.3b（1）若E(X)=0.8，求a，b的值；（2）求D(X)。解：（1）由分布列性質(zhì)得0.1+a+0.3+b=1，即a+b=0.6①。E(X)=(-2)×0.1+0×a+1×0.3+3×b=-0.2+0+0.3+3b=0.1+3b=0.8，解得3b=0.7，b=7/30≈0.233。代入①得a=0.6-7/30=11/30≈0.367。（2）E(X2)=(-2)2×0.1+02×a+12×0.3+32×b=4×0.1+0+1×0.3+9×7/30=0.4+0.3+2.1=2.8。D(X)=E(X2)-[E(X)]2=2.8-0.64=2.16。18.（12分）某學(xué)校組織知識(shí)競(jìng)賽，共設(shè)20道選擇題，每題5分，每道題有A、B、C、D四個(gè)選項(xiàng)，其中只有一項(xiàng)正確。若某同學(xué)完全隨機(jī)作答，求：（1）該同學(xué)答對(duì)題數(shù)X的分布列；（2）該同學(xué)得分Y的期望E(Y)；（3）該同學(xué)至少答對(duì)10題的概率（結(jié)果保留兩位小數(shù)）。解：（1）X~B(20,0.25)，分布列為P(X=k)=C???·(0.25)?·(0.75)2???（k=0,1,...,20）。（2）Y=5X，E(Y)=5E(X)=5×20×0.25=25。（3）P(X≥10)=1-P(X≤9)。由于計(jì)算量較大，可近似認(rèn)為X~N(np,np(1-p))=N(5,3.75)，但精確值需用二項(xiàng)分布公式累加：P(X≥10)=Σ????2?C???·(0.25)?·(0.75)2???≈0.01。答案：0.0119.（12分）某商場(chǎng)舉辦抽獎(jiǎng)活動(dòng)，規(guī)則如下：參與者每次抽獎(jiǎng)需支付10元，可從裝有3個(gè)紅球和7個(gè)白球的袋中不放回地摸出2個(gè)球。若摸出2個(gè)紅球，獎(jiǎng)勵(lì)50元；若摸出1紅1白，獎(jiǎng)勵(lì)10元；若摸出2個(gè)白球，無獎(jiǎng)勵(lì)。記X為參與者每次抽獎(jiǎng)的凈收益（單位：元）。（1）求X的分布列；（2）求E(X)，并說明該活動(dòng)對(duì)參與者是否有利。解：（1）凈收益X=獎(jiǎng)勵(lì)金額-10元。摸出2紅球：概率P=C?2/C??2=3/45=1/15，X=50-10=40；摸出1紅1白：概率P=C?1C?1/C??2=21/45=7/15，X=10-10=0；摸出2白球：概率P=C?2/C??2=21/45=7/15，X=0-10=-10。分布列為：|X|-10|0|40||----|----|----|----||P|7/15|7/15|1/15|（2）E(X)=(-10)×7/15+0×7/15+40×1/15=(-70+40)/15=-30/15=-2。由于E(X)=-2<0，參與者平均每次虧損2元，活動(dòng)對(duì)參與者不利。20.（12分）設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為P(X=k)=c·(1/2)^k（k=1,2,...），其中c為常數(shù)。（1）求c的值；（2）求P(X≥3)；（3）求E(X)和D(X)。解：（1）由Σ???^∞P(X=k)=1，得c·Σ???^∞(1/2)^k=c·(1/2)/(1-1/2)=c·1=1，故c=1。（2）P(X≥3)=1-P(X=1)-P(X=2)=1-1/2-1/4=1/4。（3）X服從參數(shù)p=1/2的幾何分布，E(X)=1/p=2，D(X)=(1-p)/p2=2。21.（12分）某工廠生產(chǎn)的電子元件分為一等品、二等品和次品，其中一等品率為60%，二等品率為30%，次品率為10%?，F(xiàn)從一批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取10件，記X為一等品數(shù)，Y為次品數(shù)。（1）求X與Y的分布列；（2）求P(X=6且Y=1)；（3）求E(X-Y)。解：（1）X~B(10,0.6)，Y~B(10,0.1)，分布列分別為：P(X=k)=C???·0.6?·0.41???（k=0,...,10）；P(Y=m)=C???·0.1?·0.91???（m=0,...,10）。（2）X=6且Y=1，即10件中6件一等品、1件次品、3件二等品，概率為C???·0.6?·C?1·0.11·0.33≈0.05。（3）E(X-Y)=E(X)-E(Y)=10×0.6-10×0.1=6-1=5。22.（12分）設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為：X123...nP1/21/41/8...1/2?（1）證明：該分布列滿足概率之和為1；（2）求E(X)（用n表示）；（3）當(dāng)n→∞時(shí)，求E(X)的極限值。解：（1）