九年級數(shù)學旋轉(zhuǎn)變換專題測試題同學們，旋轉(zhuǎn)變換是平面幾何中一種重要的圖形變換，它不僅能幫助我們更深刻地理解圖形的性質(zhì)，也是解決許多幾何難題的有力工具。本次專題測試旨在檢驗大家對旋轉(zhuǎn)變換概念的理解深度、性質(zhì)的掌握程度以及在復(fù)雜問題中的應(yīng)用能力。希望通過這份測試，你能查漏補缺，進一步提升空間想象能力和邏輯推理能力。請大家認真審題，仔細作答，充分發(fā)揮自己的水平。一、選擇題(本大題共5小題，每小題3分，共15分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1.下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是()A.等邊三角形B.平行四邊形C.正五邊形D.圓2.點P(a,b)繞原點順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到的點的坐標是()A.(a,-b)B.(-a,b)C.(b,-a)D.(-b,a)3.如圖，將△ABC繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)一定角度得到△ADE，若∠CAE=65°，∠E=60°，且AD⊥BC，則∠BAC的度數(shù)為()(注：此處應(yīng)有示意圖，實際測試中會提供。示意圖描述：△ABC中，BC邊水平，點B在左，點C在右，點A在上方。旋轉(zhuǎn)后得到△ADE，點D在AB上或其延長線上，點E在A點右下方，AE與AC構(gòu)成∠CAE=65°)A.55°B.65°C.75°D.85°4.在平面直角坐標系中，將拋物線y=x2+bx+c先向左平移2個單位長度，再繞原點旋轉(zhuǎn)180°，得到拋物線y=x2-2x+2，則b，c的值分別為()A.b=2,c=3B.b=-2,c=-3C.b=-2,c=1D.b=2,c=-15.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，將Rt△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)30°后得到Rt△ADE，點B經(jīng)過的路徑為弧BD，則圖中陰影部分的面積為()(注：此處應(yīng)有示意圖，實際測試中會提供。示意圖描述：Rt△ABC直角頂點C在原點，AC、BC分別在坐標軸上，旋轉(zhuǎn)后Rt△ADE的直角邊AD與AB共線，點E在第一象限，陰影部分為△ADE與△ABC重疊部分之外的某個區(qū)域，或特定圖形區(qū)域)A.π/3B.2π/3C.π-√3D.√3-π/3二、填空題(本大題共4小題，每小題4分，共16分)6.一個正多邊形繞其中心旋轉(zhuǎn)36°后，能與自身重合，則這個正多邊形的邊數(shù)是________。7.如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，將△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到△AB'C'，使得點C'落在AB邊上，則B'C的長度為________。(注：此處應(yīng)有示意圖，實際測試中會提供。示意圖描述：△ABC為直角三角形，C為直角頂點，AC較短，BC較長。)8.如圖，在平面直角坐標系中，△OAB的頂點坐標分別為O(0,0)，A(1,2)，B(3,0)。將△OAB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△OA'B'，則點A'的坐標是________，點B'的坐標是________。9.如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠BCD=90°，連接AC。若AC=6，則四邊形ABCD的面積為________。(注：此處應(yīng)有示意圖，實際測試中會提供。示意圖描述：四邊形ABCD，AB=AD，∠BAD為直角，∠BCD為直角，形狀類似風箏或兩個直角三角形組合。)三、解答題(本大題共3小題，共29分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)10.(8分)如圖，已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，點D是BC邊上的一點。(1)求證：△ABD≌△ACE；(2)若BD=3，DC=5，求DE的長。(注：此處應(yīng)有示意圖，實際測試中會提供。示意圖描述：△ABC為等腰直角三角形，A為直角頂點，BC為底邊?！鰽DE為等腰直角三角形，A為直角頂點，AD邊在∠BAC內(nèi)部，D點在BC邊上，E點在△ABC外部。)11.(10分)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3。點P是邊AC上的一個動點(不與點A、C重合)，以點P為旋轉(zhuǎn)中心，將線段PB順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PD，連接AD。(1)當點P與點A重合時，畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形，并求出AD的長；(2)在點P運動過程中，AD的長度是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，請說明理由。(注：此處應(yīng)有示意圖，實際測試中會提供。示意圖描述：Rt△ABC，C為直角頂點，AC在水平方向，BC在豎直方向。)12.(11分)已知：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α(0°<α<180°)，點D為直線BC上一動點(不與點B、C重合)，以AD為邊作△ADE，使AD=AE，∠DAE=α，連接CE。(1)如圖1，當點D在邊BC上時，求證：△ABD∽△ACE，并直接寫出線段BD、CD、CE之間的數(shù)量關(guān)系；(2)如圖2，當點D在邊BC的延長線上時，其他條件不變，請寫出線段BD、CD、CE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)若AB=2，α=60°，在點D運動過程中，△DCE的面積是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，請說明理由。(注：此處應(yīng)有示意圖1和圖2，實際測試中會提供。圖1描述：△ABC為等腰三角形，AB=AC，∠BAC=α，D在BC邊上，△ADE與△ABC相似，共享頂點A，E在△ABC外部。圖2描述：D點在BC延長線上，其他條件同圖1。)參考答案與評分標準(僅供閱卷參考)一、選擇題(每小題3分，共15分)1.D2.C3.C4.A5.A二、填空題(每小題4分，共16分)6.107.2√5(或填寫“2倍根號5”)8.(2,-1)；(0,-3)(每空2分)9.18三、解答題(共29分)10.(8分)(1)證明：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE。(2分)在△ABD和△ACE中，AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，∴△ABD≌△ACE(SAS)。(4分)(2)解：由(1)知△ABD≌△ACE，∴BD=CE=3，∠ACE=∠B。(5分)∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，∴∠B=∠ACB=45°?！唷螦CE=45°，∴∠DCE=∠ACB+∠ACE=90°。(6分)在Rt△DCE中，DC=5，CE=3，∴DE=√(DC2+CE2)=√(52+32)=√34。(8分)11.(10分)(1)解：當點P與點A重合時，將線段PB順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PD，此時點D的位置如圖所示(此處應(yīng)有示意圖)。(1分)∵點P與點A重合，∠BAC=90°，AB=√(AC2+BC2)=√(42+32)=5。(2分)旋轉(zhuǎn)后∠BAD=90°，AD=AB=5。(3分)∴AD的長為5。(4分)(2)解：AD的長度存在最小值。(5分)過點D作DF⊥AC于點F?！邔⒕€段PB順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PD，∴PB=PD，∠BPD=90°。∴∠BPC+∠DPF=90°?！摺螦CB=90°，∴∠BPC+∠PBC=90°?！唷螪PF=∠PBC。(6分)在△PBC和△DPF中，∠PBC=∠DPF，∠BCP=∠PFD=90°，PB=DP，∴△PBC≌△DPF(AAS)。(7分)∴BC=PF=3，PC=DF。設(shè)PC=x，則DF=x，AP=AC-PC=4-x，PF=3，∴AF=AP+PF=4-x+3=7-x。(8分)在Rt△ADF中，AD=√(AF2+DF2)=√[(7-x)2+x2]=√(2x2-14x+49)。(9分)對于二次函數(shù)y=2x2-14x+49，其對稱軸為x=14/(2×2)=3.5?！?<x<4，∴當x=3.5時，y取得最小值，此時AD取得最小值。AD最小值=√[2×(3.5)2-14×3.5+49]=√(24.5-49+49)=√24.5=√(49/2)=7√2/2。(10分)12.(11分)(1)證明：∵AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=α，∴AB/AC=AD/AE=1，∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE。(1分)∴△ABD∽△ACE(兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等)。(2分)數(shù)量關(guān)系：BD=CE-CD(或CE=BD+CD)。(3分)(2)解：數(shù)量關(guān)系：BD=CE-CD(或CE=BD+CD)。(4分)理由：∵AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=α，∴AB/AC=AD/AE=1，∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE。(5分)∴△ABD∽△ACE?！郆D/CE=AB/AC=1，∠ACE=∠ABD?！逜B=AC，∴∠ABC=∠ACB?！摺螦BD+∠ABC=180°，∠ACE+∠ACB=∠DCE+∠ACB=180°，∴∠DCE=∠ABC=∠ACB。(6分)∴BD=CE，又∵BD=BC+CD，而CE=BC+CD(此處需結(jié)合圖形分析，或直接由相似得BD=CE，而CE=CD+DE等，具體步驟因圖而異，核心是△ABD∽△ACE得到BD=CE)?！郆D=CE-CD(此結(jié)論需根據(jù)圖2中D點位置準確表述，若D在BC延長線，則應(yīng)為CE=BD-CD，此處原答案可能存在筆誤，需根據(jù)實際圖形修正，假設(shè)修正為CE=BD-CD，則數(shù)量關(guān)系為CE=BD-CD)。(7分)(3)解：△DCE的面積存在最大值。(8分)∵AB=AC=2，α=60°，∴△ABC是等邊三角形，BC=AB=2，∠ABC=∠ACB=60°。由(1)(2)知，無論D在BC上還是其延長線上，均有△ABD∽△ACE，∠DCE=60°(或120°，需根據(jù)D位置判斷，當D在BC延長線上時，∠DCE=60°)。設(shè)BD=x，CE=BD=x(當D在BC延長線上時，CE=BD=x，CD=x-2)?！郤△DCE=1/2·CD·CE·sin∠DCE=1/2·(x-2)·x·sin60°=(√3/4)(x2-2x)。(9分)對于二次函數(shù)y=(√3/4)(x2-2x)，其對稱軸為x=1。∵當D在BC延長線上時，x>2，函數(shù)在x>2時單調(diào)遞增，此時無最大值。(此處需重新考慮，若D在CB延長線上)當點D在CB的延長線上時，同理可得CE=BD=x，CD=2+x，∠DCE=120°，S△DCE=1/2·CD·CE·sin∠DCE=1/2·(x+2)·x·sin120°=(√3/4)(x2+2x)，此時面積隨x增大而增大，無最大值。當點D在BC邊上時，CE=BD=x，CD=2-x，∠DCE=60°，S△DCE=1/2·CD·CE·sin60°=1/2·(2-x)·x·(√3/2)=(√3/4)(-x2+2x)=(√3/4)[-(x-1)2+1]。(10分)∴當x=1時，S△DCE取得最