解析幾何是高中數(shù)學(xué)的重要組成部分，它將幾何圖形與代數(shù)方程緊密結(jié)合，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的重要思想方法。通過建立坐標(biāo)系，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題進(jìn)行求解，是解析幾何的核心思路。本專題訓(xùn)練精選了一些具有代表性的題目，旨在幫助同學(xué)們梳理知識(shí)脈絡(luò)，提升解題技能，深化對解析幾何本質(zhì)的理解。一、直線與圓直線與圓是解析幾何的基礎(chǔ)，也是進(jìn)一步學(xué)習(xí)圓錐曲線的前提。這部分內(nèi)容主要涉及直線方程的各種形式、圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系以及圓與圓的位置關(guān)系等。題目1已知直線經(jīng)過點(diǎn)A，且與直線l?垂直，其中直線l?的斜率為k?。若點(diǎn)A的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)之和為m，且直線l?在y軸上的截距為n，求該直線的方程。題目2已知圓C的圓心在某條定直線上，且圓C經(jīng)過兩個(gè)定點(diǎn)P和Q。若其中一個(gè)定點(diǎn)P的坐標(biāo)滿足某個(gè)簡單的二元一次方程，另一個(gè)定點(diǎn)Q到某坐標(biāo)軸的距離為一常數(shù)，求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程。題目3設(shè)直線l：ax+by+c=0與圓O：x2+y2=r2相交于M、N兩點(diǎn)，且OM⊥ON（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）。請?zhí)骄肯禂?shù)a、b、c、r之間滿足的關(guān)系式。題目4已知點(diǎn)A是圓C外一定點(diǎn)，點(diǎn)B是圓C上一動(dòng)點(diǎn)。求線段AB中點(diǎn)M的軌跡方程，并說明其軌跡形狀。二、橢圓橢圓是一種重要的圓錐曲線，其定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)以及直線與橢圓的位置關(guān)系是考查的重點(diǎn)。題目5已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上。若橢圓上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和為定值，且橢圓的離心率為某一給定分?jǐn)?shù)值，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。題目6設(shè)橢圓E的方程為標(biāo)準(zhǔn)形式，其左右焦點(diǎn)分別為F?、F?。過F?的直線與橢圓E相交于A、B兩點(diǎn)，若△ABF?的周長為一已知常數(shù)，且橢圓E的一個(gè)焦點(diǎn)到其相應(yīng)準(zhǔn)線的距離也為一已知常數(shù)，求橢圓E的離心率。題目7在橢圓中，過焦點(diǎn)的弦稱為焦點(diǎn)弦。已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，斜率為k的直線l過其右焦點(diǎn)F，與橢圓交于M、N兩點(diǎn)。試求弦長|MN|的表達(dá)式（用k及橢圓的基本量表示）。三、雙曲線雙曲線與橢圓在定義和研究方法上有一定的相似性，但也有其獨(dú)特的性質(zhì)，如漸近線等，需要重點(diǎn)掌握。題目8根據(jù)雙曲線的定義，即平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)（焦點(diǎn)）的距離之差的絕對值為常數(shù)（小于兩焦點(diǎn)間距離）的點(diǎn)的軌跡，推導(dǎo)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程（以焦點(diǎn)在x軸上為例）。題目9已知雙曲線的一條漸近線方程為y=mx，且它的一個(gè)焦點(diǎn)與橢圓的某個(gè)焦點(diǎn)重合，求此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。題目10設(shè)雙曲線C的方程為x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0)，其離心率為e。若過雙曲線C的右頂點(diǎn)A作斜率為-1的直線，該直線與雙曲線C的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為B、C。若|BC|的長度為某一與a相關(guān)的表達(dá)式，試求e的值。四、拋物線拋物線的定義簡潔明了，其標(biāo)準(zhǔn)方程形式多樣，焦點(diǎn)和準(zhǔn)線是其重要的幾何要素，直線與拋物線的位置關(guān)系也是常考內(nèi)容。題目11已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在某條坐標(biāo)軸上。若拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為p，且該點(diǎn)的橫坐標(biāo)（或縱坐標(biāo)）為一已知數(shù)，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。題目12過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F作一條傾斜角為θ的直線，交拋物線于A、B兩點(diǎn)。求證：|AB|=2p/sin2θ。題目13設(shè)拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線l與拋物線C交于D、E兩點(diǎn)。若線段DE的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)G，求△DEG面積的最小值。參考答案與提示一、直線與圓*題目1提示：先根據(jù)兩直線垂直斜率之積為-1（若斜率存在）求出所求直線的斜率。再結(jié)合點(diǎn)A的坐標(biāo)滿足的條件（橫縱坐標(biāo)之和為m）以及l(fā)?的截距n，確定點(diǎn)A的坐標(biāo)或直接利用點(diǎn)斜式/斜截式寫出直線方程。注意討論直線斜率不存在的情況。*題目2提示：圓心在定直線上，可設(shè)圓心坐標(biāo)為含有一個(gè)參數(shù)的形式。再利用圓過兩定點(diǎn)，將兩點(diǎn)坐標(biāo)代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，得到關(guān)于參數(shù)的方程組，解出參數(shù)即可。*題目3提示：方法一，聯(lián)立直線與圓的方程，利用韋達(dá)定理及OM⊥ON得到x?x?+y?y?=0。方法二，利用圓心到直線的距離結(jié)合直角三角形的性質(zhì)（弦心距、半徑、半弦長滿足勾股定理，且由OM⊥ON可知半弦長為(r√2)/2）。*題目4提示：設(shè)M(x,y)，B(x?,y?)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式表示出x?,y?，再將B點(diǎn)坐標(biāo)代入圓C的方程，即可得到M點(diǎn)的軌跡方程。這是相關(guān)點(diǎn)法（代入法）求軌跡的典型應(yīng)用。二、橢圓*題目5提示：根據(jù)橢圓定義，2a=已知距離之和。離心率e=c/a=給定值。再結(jié)合a2=b2+c2，分焦點(diǎn)在x軸和y軸兩種情況討論，寫出標(biāo)準(zhǔn)方程。*題目6提示：根據(jù)橢圓定義，△ABF?的周長為4a。焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為a2/c-c=b2/c。由此可列出關(guān)于a,c的方程，進(jìn)而求出離心率e=c/a。*題目7提示：設(shè)出直線l的方程（點(diǎn)斜式，注意斜率不存在的情況），與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求出x?+x?和x?x?，再代入弦長公式|MN|=√(1+k2)·√[(x?+x?)2-4x?x?]。三、雙曲線*題目8提示：建系，設(shè)兩焦點(diǎn)F?(-c,0)，F(xiàn)?(c,0)，動(dòng)點(diǎn)P(x,y)，根據(jù)定義|PF?|-|PF?|=±2a(2a<2c)。將距離公式代入，平方化簡即可得到標(biāo)準(zhǔn)方程x2/a2-y2/b2=1，其中b2=c2-a2。*題目9提示：由漸近線方程可設(shè)雙曲線方程為mx2-ny2=λ(λ≠0)，或根據(jù)焦點(diǎn)位置設(shè)為標(biāo)準(zhǔn)形式，利用漸近線斜率關(guān)系b/a=m（或a/b=m）以及焦點(diǎn)坐標(biāo)與橢圓焦點(diǎn)坐標(biāo)相同來求解。*題目10提示：求出右頂點(diǎn)A(a,0)，寫出過A且斜率為-1的直線方程。求出該直線與兩條漸近線y=±(b/a)x的交點(diǎn)B、C的坐標(biāo)。計(jì)算|BC|的長度，根據(jù)已知條件列出關(guān)于a,b的方程，再結(jié)合c2=a2+b2及e=c/a，求出e。四、拋物線*題目11提示：分焦點(diǎn)在x軸正半軸、負(fù)半軸，y軸正半軸、負(fù)半軸四種情況設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程。利用拋物線的定義：拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，求出p的值。*題目12證明：設(shè)出直線AB的方程（可設(shè)為x=my+p/2，避免討論斜率不存在的情況，其中m=cotθ），與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求出y?+y?和y?y?，再用弦長公式|AB|=√(1+m2)·√[(y?+y?)2-4y?y?]，最后將m=cotθ代入化簡即可得到結(jié)果。*題目13提示：設(shè)直線DE的方程為x=ty+1（焦點(diǎn)F(1,0)，t為參數(shù)），與拋物線方程聯(lián)立，求出D、E兩點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系（韋達(dá)定理），得到DE中點(diǎn)坐標(biāo)和DE的長度。進(jìn)而求出DE垂直平分線的方程，得到點(diǎn)G的坐標(biāo)。計(jì)算點(diǎn)G到直線DE的距離（即△DEG的高），從而表示出面積，利用函數(shù)或不等式知識(shí)求最小值。訓(xùn)練建議1.回歸定義：深刻理解并熟練運(yùn)用直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線的定義，這是解決許多解析幾何問題的出發(fā)點(diǎn)和捷徑。2.數(shù)形結(jié)合：解題時(shí)要養(yǎng)成畫圖的習(xí)慣，通過圖形直觀分析問題，尋找?guī)缀侮P(guān)系，再結(jié)合代數(shù)運(yùn)算求解。3.規(guī)范運(yùn)算：解析幾何運(yùn)算量較大，要注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性和技巧性，如合理設(shè)參、利用韋達(dá)定理、整體代換等，避免不必要的繁瑣計(jì)算。4.總結(jié)題型：