2025年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想應(yīng)用試卷一、知識梳理（共30分）（一）轉(zhuǎn)化思想的核心內(nèi)涵（10分）轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學(xué)解題的基本策略，其核心在于通過等價變形將未知問題轉(zhuǎn)化為已知問題，具體表現(xiàn)為：復(fù)雜問題簡單化：如將多元方程轉(zhuǎn)化為一元方程抽象問題直觀化：如通過輔助線將幾何證明轉(zhuǎn)化為全等或相似問題非常規(guī)問題常規(guī)化：如將動態(tài)幾何問題轉(zhuǎn)化為靜態(tài)計算問題（二）方程中的轉(zhuǎn)化方法（15分）消元轉(zhuǎn)化解二元一次方程組的本質(zhì)是通過代入法或加減法消去一個未知數(shù)，轉(zhuǎn)化為一元一次方程求解。例如：方程組(\begin{cases}2x+3y=8\x-y=1\end{cases})可由第二個方程得(x=y+1)，代入第一個方程轉(zhuǎn)化為(2(y+1)+3y=8)參數(shù)轉(zhuǎn)化在含參方程問題中，通過整體代入實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化。如已知(x=2)是方程(ax-3=5)的解，可將(x=2)代入方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于(a)的一元一次方程(2a-3=5)實(shí)際問題建模轉(zhuǎn)化行程問題中，將"相遇追及"轉(zhuǎn)化為等量關(guān)系：路程=速度×?xí)r間；工程問題中，將工作總量轉(zhuǎn)化為單位"1"（三）幾何中的轉(zhuǎn)化策略（15分）圖形變換轉(zhuǎn)化通過軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)等變換，將分散條件集中。如：角平分線問題常作對稱輔助線構(gòu)造全等三角形中點(diǎn)問題常用倍長中線法轉(zhuǎn)化為全等三角形等積轉(zhuǎn)化利用同底等高的三角形面積相等，將不規(guī)則圖形面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形面積之和或差。輔助線構(gòu)造轉(zhuǎn)化常見輔助線作法：遇中線倍長構(gòu)造全等證線段和差截長補(bǔ)短梯形問題轉(zhuǎn)化為三角形或平行四邊形二、基礎(chǔ)應(yīng)用題（共40分）（一）方程轉(zhuǎn)化（每題5分，共20分）解方程組：(\begin{cases}3x-2y=5\5x+4y=1\end{cases})（提示：用加減法消元轉(zhuǎn)化）若關(guān)于(x)的方程(\frac{2x+m}{3}-\frac{x-2m}{2}=1)的解為(x=2)，求(m)的值。（提示：將解代入轉(zhuǎn)化為含(m)的方程）某車間有27名工人，生產(chǎn)甲、乙兩種零件，每人每天可生產(chǎn)甲零件12個或乙零件15個。已知3個甲零件與2個乙零件配成一套，問如何分配工人才能使每天生產(chǎn)的零件剛好配套？（提示：設(shè)生產(chǎn)甲零件(x)人，轉(zhuǎn)化為二元一次方程組）若方程組(\begin{cases}ax+by=4\bx+ay=5\end{cases})的解是(\begin{cases}x=2\y=1\end{cases})，求(a+b)的值。（提示：整體相加轉(zhuǎn)化為((a+b)(x+y)=9)）（二）幾何轉(zhuǎn)化（每題5分，共20分）如圖1，在(\triangleABC)中，(AD)是角平分線，求證：(\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC})（提示：過點(diǎn)C作CE∥AB交AD延長線于E，轉(zhuǎn)化為相似三角形）如圖2，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，∠B=60°，AD=2，BC=8，求梯形周長。（提示：作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，轉(zhuǎn)化為直角三角形）如圖3，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，D是AB中點(diǎn)，E、F分別在AC、BC上，且DE⊥DF，求證：AE=CF。（提示：連接CD，轉(zhuǎn)化為全等三角形證明）如圖4，△ABC中，AB=5，AC=3，BC邊上的中線AD=2，求BC的長。（提示：倍長AD至E，轉(zhuǎn)化為△ABE的邊長計算）三、綜合提升題（共30分）（一）動態(tài)幾何轉(zhuǎn)化（10分）如圖5，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動，速度為1cm/s；同時點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿CB方向向點(diǎn)B勻速運(yùn)動，速度為2cm/s。設(shè)運(yùn)動時間為t秒（0<t<4）。（1）用含t的代數(shù)式表示線段PC=，QC=；（2）當(dāng)t為何值時，△PCQ與△ACB相似？（3）設(shè)四邊形APQB的面積為S，求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式。（提示：將動態(tài)問題轉(zhuǎn)化為靜態(tài)含t的方程）（二）代數(shù)幾何綜合（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（-2，0），B（4，0），C（0，3）。（1）求△ABC的面積；（2）在y軸上是否存在點(diǎn)P，使△ABP的面積是△ABC面積的1/3？若存在，求出點(diǎn)P坐標(biāo)；（3）點(diǎn)D為AC中點(diǎn)，點(diǎn)E在x軸上，當(dāng)△ADE為等腰三角形時，求點(diǎn)E的坐標(biāo)。（提示：分類討論轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)方程求解）（三）實(shí)際應(yīng)用轉(zhuǎn)化（8分）某商店準(zhǔn)備購進(jìn)A、B兩種商品，已知購進(jìn)A商品3件和B商品2件，共需120元；購進(jìn)A商品5件和B商品4件，共需220元。（1）求A、B兩種商品每件的進(jìn)價分別是多少元？（2）若該商店準(zhǔn)備用不超過1000元購進(jìn)這兩種商品，且A商品數(shù)量不少于B商品數(shù)量的2倍，問最多能購進(jìn)多少件A商品？（提示：建立不等式組轉(zhuǎn)化為整數(shù)解問題）四、拓展探究題（共20分）閱讀理解題：（10分）材料：在證明線段比例式時，常通過作平行線構(gòu)造相似三角形。例如：如圖6，AD是△ABC的中線，E是AD上一點(diǎn)，BE的延長線交AC于F，求證：(\frac{AE}{ED}=\frac{2AF}{FC})證明思路：過點(diǎn)D作DG∥BF交AC于G，則(\frac{AE}{ED}=\frac{AF}{FG})，又DG是△BCF的中位線，得FG=GC，∴(\frac{AE}{ED}=\frac{AF}{\frac{1}{2}FC}=\frac{2AF}{FC})請運(yùn)用上述轉(zhuǎn)化思想解決問題：如圖7，在△ABC中，BD:DC=1:2，AE:EC=1:1，AD與BE交于點(diǎn)F，求(\frac{AF}{FD})的值。綜合探究題：（10分）如圖8，在正方形ABCD中，AB=4，點(diǎn)P是BC邊上一動點(diǎn)（不與B、C重合），將△ABP沿AP翻折至△AEP，連接DE、CE。（1）求證：△ADE≌△ABE；（2）當(dāng)PE⊥CE時，求BP的長；（3）在點(diǎn)P運(yùn)動過程中，△CDE的面積是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，說明理由。（提示：將動態(tài)問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值）參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)（部分示例）二、基礎(chǔ)應(yīng)用題解：①×2+②得(7x=11)，(x=\frac{11}{7})（3分）代入②得(5×\frac{11}{7}+4y=1)，(y=-\frac{12}{7})（2分）∴方程組的解為(\begin{cases}x=\frac{11}{7}\y=-\frac{12}{7}\end{cases})證明：∵CE∥AB∴∠E=∠BAD，∠ECD=∠B（2分）∴△ABD∽△ECD∴(\frac{AB}{EC}=\frac{BD}{DC})（2分）∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠CAD=∠E∴AC=EC∴(\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC})（1分）三、綜合提升題解：（2）當(dāng)△PCQ∽△ACB時情況1：(\frac{PC}{AC}=\frac{QC}{BC})(\frac{6-t}{6}=\frac{2t}{8})解得(t=2.4)（3分）情況2：(\frac{PC}{BC}=\frac{QC}{AC})(\frac{6-t}{8}=\frac{2t}{6})解得(t=\frac{18}{11})（3分）∴當(dāng)(t=2.4)或(t=\frac{18}{11})時兩三角形相似四、拓展探究題解：過點(diǎn)D作DG∥BE交AC于G（2分）∵BD:DC=1