第19講解直角三角形的應用（九大題型）學習目標1、弄清題中名詞、術語的意義，如坡度、仰角等；2、會運用有關解直角三角形的知識解決實際問題；3、掌握在實際問題中構建幾何模型。一、解直角三角形的應用解直角三角形的知識應用很廣泛，關鍵是把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型，善于將某些實際問題中的數(shù)量關系化歸為直角三角形中的邊角關系是解決實際應用問題的關鍵.解這類問題的一般過程是：(1)弄清題中名詞、術語的意義，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根據(jù)題意畫出幾何圖形，建立數(shù)學模型.(2)將已知條件轉(zhuǎn)化為幾何圖形中的邊、角或它們之間的關系，把實際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題.(3)根據(jù)直角三角形(或通過作垂線構造直角三角形)元素(邊、角)之間的關系解有關的直角三角形.(4)得出數(shù)學問題的答案并檢驗答案是否符合實際意義，得出實際問題的解.應用舉例：在用直角三角形知識解決實際問題時，經(jīng)常會用到以下概念：(1)坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角，用字母表示.坡度(坡比)：坡面的鉛直高度h和水平距離的比叫做坡度，用字母表示，則，如圖，坡度通常寫成=∶的形式.(2)仰角、俯角：視線與水平線所成的角中，視線中水平線上方的叫做仰角，在水平線下方的叫做俯角，如圖.(3)方位角：從某點的指北方向線按順時針轉(zhuǎn)到目標方向的水平角叫做方位角，如圖①中，目標方向PA，PB，PC的方位角分別為是40°，135°，245°.(4)方向角：指北或指南方向線與目標方向線所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如圖②中的目標方向線OA，OB，OC，OD的方向角分別表示北偏東30°，南偏東45°，南偏西80°，北偏西60°.特別地：東南方向指的是南偏東45°，東北方向指的是北偏東45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°.【方法規(guī)律】1．解直角三角形實際是用三角知識，通過數(shù)值計算，去求出圖形中的某些邊的長或角的大小，最好畫出它的示意圖；2．非直接解直角三角形的問題，要觀察圖形特點，恰當引輔助線，使其轉(zhuǎn)化為直角三角形或矩形來解；3．解直角三角形的應用題時，首先弄清題意(關鍵弄清其中名詞術語的意義)，然后正確畫出示意圖，進而根據(jù)條件選擇合適的方法求解.【即學即練1】小球沿著坡度為的坡面滾動了，則在這期間小球滾動的水平距離是．【即學即練2】小杰沿坡比為的山坡向上走了130米．那么他沿著垂直方向升高了米．【即學即練3】某飛機在1500米的上空測得地面控制點的俯角為60°，那么此時飛機與地面控制點的距離為米．（結果保留根號）【即學即練4】如圖，在建筑平臺CD的頂部C處，測得大樹AB的頂部A的仰角為45°，測得大樹AB的底部B的俯角為30°，已知平臺CD的高度為5m，則大樹的高度為m(結果保留根號)．【即學即練5】學生甲在涼亭A處測得湖心島C在其南偏西的方向上，又從A處向正東方向行駛300米到達涼亭B處，測得湖心島C在其南偏西的方向上，則涼亭B與湖心島C之間的距離為．題型1：坡度/坡比問題—單直角三角形（圖形類）【典例1】．．如圖，斜坡，坡頂B離地面的高度為，如果坡比，那么這個斜坡的長度m．【典例2】．．如圖，小紅沿坡度的坡面由到行走了26米，那么小紅行走的水平距離米.【典例3】．．如圖，一輛小車沿著坡度為的斜坡從A點向上行駛了50米，到達B點，那么此時該小車上升的高度為米．題型2：坡度/坡比問題—單直角三角形（語言描述類）【典例4】．．一斜坡的坡角為，坡長比坡高多100米，那么斜坡的高為（用的銳角三角比表示）．【典例5】．．小杰沿著坡比的斜坡，從坡底向上步行了米，那么他上升的高度是米．【典例6】．．小明沿著坡度的斜坡向上行走了130米，那么他距離地面的垂直高度升高了米．題型3：坡度/坡比問題—梯形【典例7】．．如圖，已知梯形是一水庫攔水壩的橫斷面示意圖，壩頂寬米，壩高18米，迎水坡的坡度，背水坡的坡度，求壩底寬．【典例8】．如圖，已知某水庫大壩的橫斷面是梯形ABCD，壩頂寬AD是6米，壩高24米，背水坡AB的坡度為1：3，迎水坡CD的坡度為1：2．求:（1）背水坡AB的長度．（2）壩底BC的長度．【典例9】．在一次對某水庫大壩設計中，李設計師對修建一座長80米的水庫大壩提出了以下方案：大壩的橫截面為等腰梯形，如圖，∥，壩高10米，迎水坡面的坡度1:，審核組專家看后，從力學的角度對此方案提出了建議，李設計師決定在原方案的基礎上，將迎水坡面的坡度進行修改，修改后的迎水坡面的坡度1:．（1）求原方案中此大壩迎水坡的長（結果保留根號）；（2）如果方案修改前后，修建大壩所需土石方總體積不變，在方案修改后，若壩頂沿方向拓寬2.7米，求壩底將會沿方向加寬多少米？題型4：坡度/坡比問題—其他綜合類【典例10】．如圖，為了將貨物裝入大型的集裝箱卡車，需要利用傳送帶AB將貨物從地面?zhèn)魉偷礁?.8米（即BD=1.8米）的操作平臺BC上．已知傳送帶AB與地面所成斜坡的坡角∠BAD=37°．（1）求傳送帶AB的長度；（2）因?qū)嶋H需要，現(xiàn)在操作平臺和傳送帶進行改造，如圖中虛線所示，操作平臺加高0.2米（即BF=0.2米），傳送帶與地面所成斜坡的坡度i=1：2．求改造后傳送帶EF的長度．（精確到0.1米）（參考數(shù)值：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.41，≈2.24）【典例11】．如圖，山區(qū)某教學樓后面緊鄰著一個土坡，坡面平行于地面，斜坡的坡比為，且米．為了防止山體滑坡，保障安全，學校決定對該土坡進行改造．經(jīng)地質(zhì)人員勘測，當坡角不超過時，可確保山體不滑坡．(1)求改造前坡頂與地面的距離的長．(2)為了消除安全隱患，學校計劃將斜坡改造成（如圖所示），那么至少是多少米？（結果精確到1米）（參考數(shù)據(jù)：，，，．【典例12】．如圖，坡AB的坡比為1：2.4，坡長AB=130米，坡AB的高為BT．在坡AB的正面有一棟建筑物CH，點H、A、T在同一條地平線MN上．（1）試問坡AB的高BT為多少米？（2）若某人在坡AB的坡腳A處和中點D處，觀測到建筑物頂部C處的仰角分別為60°和30°，試求建筑物的高度CH．（精確到米，≈1.73，≈1.41）【典例13】．如圖，某校九年級興趣小組在學習了解直角三角形知識后，開展了測量山坡上某棵大樹高度的活動．已知小山的斜坡的坡度，在坡面D處有一棵樹（假設樹垂直水平線），在坡底B處測得樹梢A的仰角為，沿坡面方向前行30米到達C處，測得樹梢A的仰角為．（點B、C、D在一直線上）

(1)求A、C兩點的距離；(2)求樹的高度（結果精確到米）．（參考數(shù)據(jù)：）題型5：仰角、俯角問題—單直角三角形【典例14】．在高為30米的高樓窗戶處測得地面花壇中心標志物的俯角為，那么這一標志物離高樓的距離為米．【典例15】．如圖，B為地面上一點，測得B到樹底部C的距離為，在B處放置高的測角儀，測得樹頂A的仰角為，則樹高為m（結果保留根號）．【典例16】．如圖，小明在某次投籃中剛好把球打到籃板的點D處后進球，已知小明與籃板底的距離BC＝5米，眼睛與地面的距離AB＝1.7米，視線AD與水平線的夾角為，已知的值為0.3，則點D到地面的距離CD的長為米．題型6：雙仰角或俯角問題【典例17】．如圖，熱氣球的探測器顯示，從熱氣球A看一棟樓頂部B的仰角為30°，看這棟樓底部的俯角為60°，熱氣球A與樓的水平距離為120m，這棟樓的高度BC是m（3≈1.732，結果取整數(shù)）．【典例18】．如圖，某無人機興趣小組在操場上開展活動，此時無人機在離地面米的處，無人機測得操控者的俯角為，測得點處的俯角為．又經(jīng)過人工測量操控者和教學樓距離為米，則教學樓的高度為．(點都在同一平面上，結果保留根號)

【典例19】．如圖，一架飛機在點A處測得水平地面上一個標志物M的俯角為α，tanα＝，水平飛行900米后，到達點B處，又測得標志物M的俯角為β，tanβ＝，那么此時飛機離地面的高度為米．【典例20】．如圖，兩建筑物水平距離為米，從點測得點的俯角為，測得點的俯角為，則較低建筑物的高為（

）A．a(chǎn)米 B．米 C．米 D．米題型7：仰角或俯角綜合類【典例21】．某興趣小組開展了測量電線塔高度的實踐活動．如圖所示，斜坡的坡度，，在處測得電線塔頂部的仰角為，在處測得電線塔頂部的仰角為．(1)求點離水平地面的高度．(2)求電線塔的高度（結果保留根號）．【典例22】．學校某數(shù)學興趣小組想測學校旗桿高度如圖，明明在稻香園一樓A點測得旗桿頂點F仰角為，在稻香園二樓B點測得點F的仰角為．明明從A點朝旗桿方向步行4米到C點，沿坡度的臺階走到點D，再向前走5米到旗桿底部E，已知稻香園高度為米，則旗桿的高度約為（

）（參考數(shù)據(jù)：，，）A．13.5米 B．15米 C．16.5米 D．18米【典例23】．如某中學九年級數(shù)學活動小組應用解直角三角形的知識，測量學校一教學樓的高度．如圖，小明在A處測得教學樓的頂部的仰角為，向前走到達E處，測得教學樓的頂部的仰角為，已知小明的身高為（眼睛到頭頂?shù)木嚯x可忽略不計），則教學樓的高度約（

）m（結果精確到，參考數(shù)據(jù)：）．

A．27.3 B．28.9 C．31.3 D．35.9【典例24】．圖1是某市的一座“網(wǎng)紅大橋”實景圖，某數(shù)學興趣小組在一次數(shù)學實踐活動中對主橋墩的高度進行了測量，圖2是其設計的測量示意圖．已知橋墩底端點B到河岸的參照點C的距離米，斜坡的長為54米，斜坡與水平面的夾角，坡頂平臺，米，在E處測得橋墩頂端點A的仰角．(1)求平臺到水平面的垂直距離；(2)求橋墩的高度（結果精確到）．（參考數(shù)據(jù)：，，，）題型8：方位角問題【典例25】．如圖，l為一條東西方向的筆直公路，一輛小汽車在這段限速為80千米/小時公路上由西向東勻速行駛，依次經(jīng)過點．是一個觀測點，米，，，測得該車從點點行駛到點所用時間為1秒．

(1)求兩點間的距離；(2)試說明該車是否超過限速．【典例26】．如圖，臺風中心位于點O處，并沿東北方向（北偏東），以40千米/小時的速度勻速移動，在距離臺風中心50千米的區(qū)域內(nèi)會受到臺風的影響，在點O的正東方向，距離千米的地方有一城市A．

(1)A市是否會受到此臺風的影響，為什么？(2)在點O的北偏東方向，距離80千米的地方還有一城市B，B市是否會受到此臺風的影響？為什么？(3)若A市或B市受到影響，請求出受影響的時間．【典例27】．某海域有一小島P，在以P為圓心，半徑r為海里的圓形海域內(nèi)有暗礁，一海監(jiān)船自西向東航行，它在A處測得小島P位于北偏東的方向上，當海監(jiān)船行駛海里后到達B處，此時觀測小島P位于B處北偏東方向上．(1)若過點P作于點C，則(直接寫出計算結果)(2)求A，P兩點之間的距離；(3)①若海監(jiān)船由B處繼續(xù)向東航行是否有觸礁危險？請說明理由．②如果有觸礁危險，那么海監(jiān)船由B處開始沿南偏東至多°的方向航行能安全通過這一海域？(直接寫出計算結果)題型9：解直角三角形的應用難點分析【典例28】．火災是最常見、最多發(fā)的威脅公眾安全和社會發(fā)展的主要災害之一，消防車是消防救援的主要裝備．圖1是某種消防車云梯，圖2是其側面示意圖，點，，在同一直線上，可繞著點旋轉(zhuǎn)，為云梯的液壓桿，點，A，在同一水平線上，其中可伸縮，套管的長度不變，在某種工作狀態(tài)下測得液壓桿，，．

(1)求的長．(2)消防人員在云梯末端點高空作業(yè)時，將伸長到最大長度，云梯繞著點順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度，消防人員發(fā)現(xiàn)鉛直高度升高了，求云梯旋轉(zhuǎn)了多少度．（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）【典例29】．如圖，是小明家房屋的縱截面圖，其中線段為屋內(nèi)地面，線段、為房屋兩側的墻，線段、為屋頂?shù)男逼拢阎?，米，斜坡、的坡比均?∶2．（1）求屋頂點D到地面的距離：（2）已知在墻距離地面1．1米處裝有窗，如果陽光與地面的夾角，為了防止陽光通過窗照射到屋內(nèi)，所以小明請門窗公司在墻端點E處安裝一個旋轉(zhuǎn)式遮陽棚（如圖中線段），公司設計的遮陽棚可作90°旋轉(zhuǎn)，即，長度為1．4米，即米．試問：公司設計的遮陽棚是否能達到小明的要求？說說你的理由．（參考數(shù)據(jù)：，，，，，，．）【典例30】．上海中心大廈位于中國上海浦東陸家嘴金融貿(mào)易區(qū)核心區(qū)，是一幢集商務、辦公、酒店、商業(yè)、娛樂、觀光等功能的超高層建筑．它的附近有一所學校的數(shù)學興趣小組在討論建筑物的高度測量問題，討論發(fā)現(xiàn)要測量學校教學樓的高度可以用“立桿測影”的方法，他們在平地上立一根2米長并且與地面垂直的測量桿，量得影子長為1.6米，同時量得教學樓的影子長為24米，這樣就可以計算出教學樓的高度．進而在討論測量上海中心大廈高度時，由于距離遠和周圍建筑密集等因素，發(fā)現(xiàn)用“立桿測影”的方法不可行，要采用其他方法，經(jīng)討論提出兩個方案（測角儀高度忽略不計）：方案1：如圖1所示，利用計算所得的教學樓（）高度，分別在教學樓的樓頂（點A）和樓底地面（點B），分別測得上海中心大廈（）的樓頂（點S）的仰角和，通過計算就可以得到大廈的高度；方案2：如圖2所示，在學校操場上相對于上海中心大廈的同一方向上選取兩點C、D，先量得的長度，再分別在點C、D測得上海中心大廈（）的樓頂（點S）的仰角和，通過計算就可以得到大廈的高度．測量并通過計算得：米，．(1)教學樓（）的高度為米；(2)請你在兩種方案中選取一種方案，計算出上海中心大廈（）的高度（精確到1米）．一、單選題1．如果斜坡的坡度為，那么這條斜坡的坡角為（）A．75度 B．60度 C．45度 D．30度2．進博會期間，從一架離地米的無人機上，測得地面監(jiān)測點的俯角是，那么此時無人機與地面監(jiān)測點的距離是（

）A．米 B．米 C．米 D．米3．許多大型商場購物中心為了引導人流前往目標樓層，會考慮使用“飛梯”（可以跨樓層抵達的超高超長的自動扶梯）．上海大悅城的“飛梯”從3層直達7層，“飛梯”的截面如圖，的長為50米，與的夾角為，則高是（）A．米 B．米 C．米 D．米4．如圖，已知直線為水平線，，從甲樓的樓頂處觀測乙樓的樓頂處的俯角是（

）A． B． C． D．5．如圖，為了測量學校教學樓的高度，在操場的處架起測角儀，測角儀的高米，從點測得教學大樓頂端的仰角為，測角儀底部到大樓底部的距離是米，那么教學大樓的高是（

）A． B．C． D．6．如圖，一艘船從處向北偏東的方向行駛千米到處，再從處向正西方向行駛千米到處，這時這艘船與的距離（）A．千米 B．千米 C．1千米 D．千米7．如圖，一條細繩系著一個小球在平面內(nèi)擺動．已知細繩從懸掛點O到球心的長度為50厘米，小球在左、右兩個最高位置時，細繩相應所成的角∠AOB為40°，那么小球在最高位置和最低位置時的高度差為（

）A．厘米 B．厘米C．厘米 D．厘米8．如圖，為測量一條河的寬度，分別在河岸一邊相距米的、兩點處，觀測對岸的標志物，測得、，那么這條河的寬度是（

）A．米 B．米C．米 D．米9．共享單車為市民出行提供了便利．圖1為單車實物圖，圖2為單車示意圖，與地面平行，點A、B、D共線，點D、F、G共線，坐墊C可沿射線方向調(diào)節(jié)．已知，，，車輪半徑為，，小明體驗后覺得當坐墊C離地面高度為時騎著比較舒適，此時的長約為（

）（結果精確到，參考數(shù)據(jù)：，，）A． B． C． D．10．某同學利用數(shù)學知識測量建筑物的高度，他從點出發(fā)沿著坡度為的斜坡步行米到達點處，用測角儀測得建筑物頂端的仰角為，建筑物底端的俯角為．若為水平的地面，點在同一平面內(nèi)，建筑物和測角儀與水平方向垂直，若米，則此建筑物的高度約為（）（精確到米，參考數(shù)據(jù)：，，）A．米 B．米 C．米 D．米二、填空題11．已知斜坡坡度為，如果斜坡長為米，那么斜坡的高為米．12．如圖，熱氣球的探測器顯示，從熱氣球A處看一棟樓頂部B的仰角為，看這棟樓底部C的俯角為，熱氣球A處與樓的水平距離為m米，那么這棟樓的高度為米．（用含的式子表示）13．如圖是屋架設計圖的一部分，立柱垂直于橫梁，如果，，那么立柱的長度是米．14．如圖，一架飛機在點A處測得水平地面上一個標志物M的俯角為α，tanα＝，水平飛行900米后，到達點B處，又測得標志物M的俯角為β，tanβ＝，那么此時飛機離地面的高度為米．15．如圖，某興趣小組用無人機對大樓進行測高，無人機從距離大樓30米（PB＝30米）垂直起飛，飛到A處懸停，測得大樓底部俯角α＝45°，大樓頂部仰角β＝60°，則大樓的樓高BC＝米．（結果保留根號）16．如圖，某無人機興趣小組在操場上開展活動，此時無人機在離地面米的處，無人機測得操控者的俯角為，測得點處的俯角為．又經(jīng)過人工測量操控者和教學樓距離為米，則教學樓的高度為．(點都在同一平面上，結果保留根號)

17．如圖，已知斜坡長為，坡角（即）為，，現(xiàn)計劃在斜坡中點處挖去部分坡體（用陰影表示）修建一個平行于水平線的平臺和一條新的斜坡．若修建的斜坡的坡角為，則平臺的長為．（參考數(shù)據(jù)：）18．一款閉門器按如圖1所示安裝，支點，分別固定在門框和門板上，門寬，搖臂，連桿，閉門器工作時，搖臂、連桿和長度均固定不變．如圖2，當門閉合時，，則的長為cm．如圖3，門板繞點旋轉(zhuǎn)，當時，點到門框的距離，則的長為cm．三、解答題19．如圖，梯形ABCD是某水庫大壩的橫斷面，其壩頂寬5米，壩底寬33米，壩的迎水坡度是i1=1:2，背水坡的坡度i2=2:3，求：水壩橫截面的面積．20．如圖，小明一家從家所在地自駕前往古鎮(zhèn)游玩，古鎮(zhèn)在小明家的正北方向千米處，由于道路清障，小明一家先從沿西北方向行駛至地，再從地沿北偏東方向行駛至古鎮(zhèn)，求小明一家從地到地實際行駛的路程是多少千米？（結果精確到千米）（參考數(shù)據(jù)：，，，）21．如圖，在東西方向的海岸線l上有長為300米的碼頭AB，在碼頭的最西端A處測得輪船M在它的北偏東方向上；同一時刻，在A點正東方向距離100米的C處測得輪船M在北偏東方向上．（參考數(shù)據(jù)：，，，．）(1)求輪船M到海岸線l的距離；（結果精確到0.01米）(2)如果輪船M沿著南偏東的方向航行，那么該輪船能否行至碼頭AB靠岸？請說明理由．22．如圖，在數(shù)學綜合實踐活動課上，兩名同學要測量小河對岸大樹的高度，甲同學在點測得大樹頂端的仰角為，乙同學從點出發(fā)沿斜坡走米到達斜坡上點處，在此處測得大樹頂端的仰角為，且斜坡的坡度為，于點，點、、在一條直線上．(1)求乙同學從點到點的過程中，上升的豎直高度；(2)依據(jù)他們測量的數(shù)據(jù)求出大樹的高度．（參考數(shù)據(jù)：）23．如圖，一條細繩系著一個小球在平面內(nèi)擺動．已知細繩從懸掛點O到球心的長度為50厘米，小球在A、B兩個位置時達到最高點，且最高點高度相同（不計空氣阻力），在C點位置時達到最低點．達到左側最高點時與最低點時細繩相應所成的角度為，細繩在右側達到最高點時與一個水平放置的擋板所成的角度為．（參考數(shù)據(jù)：）

(1)求小球達到最高點位置與最低點位置時的高度差．(2)求這段細繩的長度．24．如圖1為放置在水平桌面l上的臺燈，底座的高AB為5cm，長度均為20cm的連桿BC、CD與AB始終在同一平面上．（1）轉(zhuǎn)動連桿BC，CD，使∠BCD成平角，∠ABC＝150°，如圖2，求連桿端點D離桌面l的高度DE．（2）將（1）中的連桿CD再繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)，經(jīng)試驗后發(fā)現(xiàn)，如圖3，當∠BCD＝150°時臺燈光線最佳．求此時連桿端點D離桌面l的高度比原來降低了多少厘米？

25．圖1是某區(qū)規(guī)劃建設的過街天橋的側面示意圖，等腰梯形ABCD的上底BC表示主跨橋，兩腰AB，CD表示橋兩側的斜梯，A，D兩點在地面上，已知AD＝40m