第二章晶體中原子結(jié)合第1頁2.1由N個原子（離子）所組成晶體體積V可寫為。式中，v為每個原子（離子）平均所占據(jù)體積；R為粒子間最短距離；是和結(jié)構(gòu)相關(guān)常數(shù)。試求以下各種結(jié)構(gòu)值：(1).簡單立方點陣；(2).面心立方點陣；(3).體心立方點陣；(4).金剛石結(jié)構(gòu)；(5).氯化鈉型結(jié)構(gòu)。第2頁式中，V為晶體體積，N為晶體包含原子數(shù)，v為每個原子平均占據(jù)體積。若以表示晶體包含晶胞數(shù)，中每個晶胞體積，n表示晶胞中所含粒子數(shù)，則(1)式完全等效于解：題給表示晶體

(1)

于是得

(2)

R為離子間最短距離。題給各種晶格均為立方格子，如令第3頁其晶格常數(shù)為a，則有。可由式(2)直接求出各種格子

值。所得結(jié)果列表以下：

晶格(a)晶包體積（）晶胞中包含粒子數(shù)（n）離子間最短距離結(jié)構(gòu)常數(shù)（）簡單立方1a1面心立方40.71體心立方20.77金剛石結(jié)構(gòu)81.54氯化鈉結(jié)構(gòu)81第4頁2.2證實有兩種離子組成、間距為一維晶格馬德隆常數(shù)。證實：選取負(fù)離子O為參考離子，相鄰兩離子間距離用R表示。第j個離子與參考離子距離可表示為。對于參考離子O，它與其它離子互作用勢能為第5頁馬德隆常數(shù)第6頁2.3設(shè)兩原子間互作用能可由表述。式中第一項為吸引能，第二項為排斥能；均為正常數(shù)。證實，要使這兩原子系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，必須m>n。且即當(dāng)時，證實：相互作用著兩原子系統(tǒng)要處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)，對應(yīng)于平衡距離處能量應(yīng)為能量極小值，第7頁因為解之有（1）因而其次，對應(yīng)于處能量取極小值，應(yīng)有第8頁于是把（1）式代入，即得所以這個結(jié)果表明，排斥力是短程力，與吸引力相比較，它隨原子間距離改變更陡峭。第9頁2.4有一離子晶體，其總互作用勢能表示為試問當(dāng)離子電荷加大1倍時，平衡離子間距、互作用勢能和體積彈性模量將受何影響？解：按題給由平衡條件第10頁得到離子平衡間距作為離子帶電狀態(tài)函數(shù)從而晶體內(nèi)能也作為離子帶電狀態(tài)函數(shù)（1）（2）由（1）、（2）兩式可知，當(dāng)離子帶電量加倍時，則有第11頁體積彈性模量可按下式求出第12頁2.5有一晶體在平衡時體積為，原子間總互作用能為。若原子間互作用能由式表述，試證實晶體體積彈性模量為。證實：設(shè)晶體共含有N個原子，則總能量為因為晶體表面層原子數(shù)目與晶體內(nèi)原子數(shù)目相比少得多，所以可忽略它們之間差異，于是上式簡化為第13頁設(shè)最近臨原子間距離為R，則有再令得到平衡時，則由已知條件，得第14頁由平衡條件得由（1）、（2）兩式可解得利用體積彈性模量公式第15頁得因為，所以，于是第16頁2.6已知有N個離子組成NaCl晶體，其結(jié)合能為今若排斥項由來代替，且當(dāng)晶體處于平衡時，這二者對互作用勢能貢獻相同，試求出n與關(guān)系。已知（1）由解：晶體平衡時，原子間最近鄰距離一定為（不因求解時排斥勢選擇不一樣而不一樣）第17頁得又（2）得（3）第18頁將（1）、（3）兩式代入（2）式可得即第19頁2.7立方ZnS晶格常數(shù)a=5.41A，試計算其結(jié)合能。解：已知公式和，，，，則第20頁2.8已知由N個惰性氣體原子結(jié)合成含有面心立方結(jié)構(gòu)晶體，其互作用能可表示為式中R為最近鄰原子間距離，為常數(shù)，試求（1）平衡時原子間最短距離；（2）平衡時晶體體積；（3）平衡時體積彈性模量；（4）抗張強度。解：（1）由第21頁得可知（2）對于面心立方，N個原子組成晶體體積可得由（1）中結(jié)果知第22頁所以可知第23頁可得（3）體積彈性模量（4）抗張強度公式為第24頁又面心立方結(jié)構(gòu)可知又第25頁所以抗張強度第26頁第27頁2.9設(shè)有一離子晶體,只計及最近鄰離子間排斥作用時,其兩個離子間勢能含有以下形式:(最近鄰間)(最近鄰以外)其中

,為參數(shù);R是最近鄰距離.試求平衡時晶體總互作用勢能表示式.晶體共包含2N個離子.′′解:第28頁以負(fù)離子為參考離子,同號取“-”,異號取“+”;令最近鄰離子間距離為R,則,設(shè)最近鄰離子數(shù)目為Z′第29頁2.10由兩種一價離子交替排列組成一維晶體，若離子總數(shù)為2N，試證實(1)平衡時互作用勢能為

(2)假如晶體被壓縮，使，則外力對每個離子所作功可表示為解：(1)計入排斥作用，晶體中任意兩離子i、j之間互作用式中，同號離子取“+”號。異號離子取“－”號。若取負(fù)離子i作為參考離子，并忽略表面效應(yīng)，則總互作用能為能第30頁括號內(nèi)對正離子取“+”號，對負(fù)離子取“－”號。以R表示最近鄰離子間距，并令，則上式可寫為式中，為馬德隆常數(shù)；。對于一維離子晶體，馬德隆常數(shù)為第31頁所以式中代定參量B可以下確定：因為平衡時，故有

從而得到(1)第32頁(2)假如晶體被壓縮，，則互作用能從變?yōu)橛?1)、(2)兩式求得勢能改變（2）(3)

因為，因而第33頁于是(3)式可化簡為能量改變應(yīng)等于外力所作功。因為晶體一共由2N個離子，由上式可知，外力對每個離子所作功就是第34頁2.11金剛石是共價鍵晶體，試求其鍵間夾角大小。解：金剛石中每個碳原子與其最近鄰碳原子組成一個正四面體，原子間靠共價鍵結(jié)合，四面體鍵之間夾角等于立方體體對角線間夾角。式中，是直角坐標(biāo)系則矢量中方向單位矢量。設(shè)置方體邊長為a，選取中心原子為坐標(biāo)原點，zyxo第35頁所以

。和間夾角，設(shè)為，有鍵角就是矢量第36頁2.12試驗測得NaCl晶體密度=2.16g/cm3,試求NaCl晶體中離子間平衡間距R0.(已知Na原子量為23,Cl原子量為58.5)解:設(shè)晶體共有2N0個離子,晶體體積NaCl晶體N0=6.0221023,與N0對應(yīng)質(zhì)量應(yīng)為M=23+35.5=58.5(g)Na原子量Cl原子量阿伏加德羅常數(shù)第37頁解:(1)面心立方,最近鄰原子有12個,(1)只計及最近鄰原子；(2)計及最近鄰和次近鄰原子。和為參數(shù)；是參考原子i與其它任一原子j距離rij同最近鄰原子間距R比值()。試計算面心立方A6和A12。

2.13：由N個惰性氣體原子組成分子晶體，其總互作用勢能可表示為式中'',第38頁(2)計及最近鄰和次近鄰,次近鄰有6個。第39頁2.14KCl晶體體積彈性模量為相鄰離子間距縮小0.5%，需要施加多大壓力。，若要使晶體中解：依據(jù)體積彈性模量K定義，得，因而設(shè)R為相鄰離子間距離。KCL含有NaCL結(jié)構(gòu)，平均每體才有一個離子，若晶體中共含N個離子，則晶體體積積第40頁即于是依題給所以因為在自然平衡時，作用在晶體上僅是大氣壓力晶體體積影響很小，可認(rèn)為，它對。第41頁2.15試用埃夫琴法求由正負(fù)一價離子相間組成二維正方格子馬德隆常數(shù)。解：取如圖所表示單元，采取電荷中性組法進行計算。注意到所取單元邊上粒子僅1/2屬于單元，角上離子僅1/4屬于單元，輕易驗證，所取單元恰好是一個電荷中性組。用R表示最近鄰離子間距離，yxoR第42頁取中心負(fù)離子為坐標(biāo)原點，則其它離子坐標(biāo)為，這里。對圖中各離子，列表以下：為正負(fù)整數(shù)，該離子到原點距離

4

22

8

21

2R

4

20

-4e

4

11

4e

R

4

10有效電荷數(shù)

到原點距離同類離子數(shù)坐標(biāo)

第43頁所以，所取單元中各離子與中心負(fù)離子互作用勢能故馬德隆常數(shù)。假如采取邊長加倍