2025年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)量子計(jì)算應(yīng)用能力測(cè)試試卷考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分）量子比特基礎(chǔ)經(jīng)典計(jì)算機(jī)用二進(jìn)制比特存儲(chǔ)信息（0或1），而量子計(jì)算機(jī)的量子比特（Qubit）可處于0和1的疊加態(tài)。若一個(gè)量子比特的狀態(tài)表示為(|\psi\rangle=\alpha|0\rangle+\beta|1\rangle)，其中(\alpha)和(\beta)為復(fù)數(shù)，且滿足(|\alpha|^2+|\beta|^2=1)。下列選項(xiàng)中可能表示量子比特狀態(tài)的是（）A.(\alpha=0.6)，(\beta=0.8)B.(\alpha=0.5)，(\beta=0.5)C.(\alpha=1.2)，(\beta=-0.2)D.(\alpha=0)，(\beta=0)量子計(jì)算速度對(duì)比我國“祖沖之三號(hào)”量子計(jì)算機(jī)處理某任務(wù)的速度是傳統(tǒng)超級(jí)計(jì)算機(jī)的(10^6)倍。若超級(jí)計(jì)算機(jī)完成該任務(wù)需(10^3)秒，則量子計(jì)算機(jī)所需時(shí)間用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A.(10^{-3})秒B.(10^{-2})秒C.(10^{-1})秒D.(10^0)秒量子疊加態(tài)概率一個(gè)量子比特處于疊加態(tài)(|\psi\rangle=\frac{\sqrt{2}}{2}|0\rangle+\frac{\sqrt{2}}{2}|1\rangle)，連續(xù)測(cè)量2次，兩次結(jié)果均為“1”的概率是（）A.0B.(\frac{1}{4})C.(\frac{1}{2})D.1量子門與邏輯運(yùn)算Hadamard門（H門）可將量子比特從(|0\rangle)轉(zhuǎn)換為(\frac{\sqrt{2}}{2}|0\rangle+\frac{\sqrt{2}}{2}|1\rangle)。若對(duì)初始狀態(tài)為(|0\rangle)的量子比特連續(xù)施加兩次H門，最終測(cè)量結(jié)果為“0”的概率是（）A.0B.(\frac{1}{2})C.(\frac{\sqrt{2}}{2})D.1量子糾纏與相關(guān)性兩個(gè)糾纏的量子比特A和B，若A測(cè)量結(jié)果為“0”，則B的結(jié)果一定為“1”；若A測(cè)量結(jié)果為“1”，則B的結(jié)果一定為“0”?，F(xiàn)將A、B分別發(fā)送給甲、乙兩人，兩人獨(dú)立測(cè)量，結(jié)果相同的概率是（）A.0B.(\frac{1}{4})C.(\frac{1}{2})D.1量子算法效率Shor算法是量子計(jì)算中的經(jīng)典算法，其分解(n)位大數(shù)的時(shí)間復(fù)雜度約為(O((\logn)^3))，而傳統(tǒng)算法的時(shí)間復(fù)雜度約為(O(e^{1.9(\logn)^{1/3}(\log\logn)^{2/3}}))。若(n=10^6)（即6位大數(shù)），則量子算法的效率優(yōu)勢(shì)主要體現(xiàn)在（）A.空間復(fù)雜度更低B.計(jì)算步驟呈多項(xiàng)式增長C.無需硬件支持D.可直接破解所有密碼量子糾錯(cuò)碼應(yīng)用量子計(jì)算中，為減少“退相干”錯(cuò)誤，需采用糾錯(cuò)碼。若每3個(gè)物理量子比特編碼1個(gè)邏輯量子比特，那么編碼10個(gè)邏輯量子比特至少需要物理量子比特的數(shù)量是（）A.10B.20C.30D.40量子加密通信量子密鑰分發(fā)（QKD）利用量子態(tài)不可克隆原理保障安全。若發(fā)送方每秒發(fā)送(10^4)個(gè)量子態(tài)，其中(1%)被竊聽者干擾導(dǎo)致錯(cuò)誤，則1分鐘內(nèi)錯(cuò)誤量子態(tài)的數(shù)量是（）A.60B.600C.6000D.60000量子模擬與函數(shù)圖像量子計(jì)算機(jī)模擬分子能量變化時(shí)，能量(E)與分子間距(r)的關(guān)系近似滿足二次函數(shù)(E(r)=ar^2+br+c)（(a>0)）。若當(dāng)(r=0.5)nm時(shí)能量最低，則該函數(shù)圖像的對(duì)稱軸為（）A.(r=0.25)nmB.(r=0.5)nmC.(r=1)nmD.(r=2)nm量子計(jì)算與線性方程組解一個(gè)含(N)個(gè)變量的線性方程組，傳統(tǒng)算法需(O(N^3))時(shí)間，量子HHL算法需(O(\logN))時(shí)間。若(N=8)，則量子算法比傳統(tǒng)算法快（）A.8倍B.64倍C.512倍D.4096倍二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）量子比特狀態(tài)表示若一個(gè)量子比特的測(cè)量結(jié)果為“0”的概率是(0.36)，則(|\alpha|^2=)________，(|\beta|^2=)________。量子門操作矩陣Pauli-X門（量子非門）的矩陣表示為(\begin{pmatrix}0&1\1&0\end{pmatrix})，它作用于狀態(tài)(\begin{pmatrix}1\0\end{pmatrix})（即(|0\rangle)）后，結(jié)果為________（用矩陣形式表示）。量子糾纏態(tài)制備用CNOT門（控制非門）可制備糾纏態(tài)。若控制比特為(|0\rangle)、目標(biāo)比特為(|1\rangle)，經(jīng)過CNOT門后，兩比特的狀態(tài)為________（填“糾纏態(tài)”或“非糾纏態(tài)”）。量子算法優(yōu)化問題旅行商問題中，訪問(n)個(gè)城市的路徑總數(shù)為(n!)。若(n=10)，則路徑總數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示為________。量子退相干時(shí)間某量子計(jì)算機(jī)的量子比特退相干時(shí)間為(10^{-6})秒，若需完成(10^4)次量子門操作，則平均每次操作時(shí)間不能超過________秒。量子比特?cái)?shù)量與計(jì)算能力量子計(jì)算機(jī)的計(jì)算能力隨量子比特?cái)?shù)量(n)呈指數(shù)增長，可表示為(2^n)個(gè)經(jīng)典狀態(tài)。若(n=20)，則對(duì)應(yīng)的經(jīng)典狀態(tài)數(shù)量是________。三、解答題（本大題共7小題，共80分）量子疊加態(tài)概率計(jì)算（10分）一個(gè)量子比特處于狀態(tài)(|\psi\rangle=a|0\rangle+b|1\rangle)，已知測(cè)量結(jié)果為“0”的概率是“1”的2倍，求(a^2)和(b^2)的值，并寫出一組可能的(a)和(b)。量子門電路設(shè)計(jì)（12分）設(shè)計(jì)一個(gè)量子電路，將初始狀態(tài)為(|0\rangle)的量子比特轉(zhuǎn)換為(\frac{1}{2}|0\rangle+\frac{\sqrt{3}}{2}|1\rangle)。要求：（1）使用Hadamard門（H）和相位門（S：使(|1\rangle)相位旋轉(zhuǎn)(90^\circ)）；（2）寫出操作步驟并計(jì)算最終狀態(tài)。量子糾錯(cuò)碼應(yīng)用（12分）某量子通信系統(tǒng)采用“3比特重復(fù)碼”糾錯(cuò)：發(fā)送方發(fā)送3個(gè)相同的量子比特（如“000”），接收方若收到“001”，則通過少數(shù)服從多數(shù)原則糾錯(cuò)為“000”。（1）若接收方收到“011”，糾錯(cuò)后的結(jié)果是多少？（2）若單個(gè)量子比特出錯(cuò)概率為(p=0.1)，求3個(gè)比特中恰好出現(xiàn)1個(gè)錯(cuò)誤的概率。量子模擬與二次函數(shù)（14分）量子計(jì)算機(jī)模擬某化學(xué)反應(yīng)時(shí)，能量(E)（單位：eV）與反應(yīng)時(shí)間(t)（單位：秒）的關(guān)系為(E(t)=2t^2-8t+10)。（1）求該函數(shù)圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)，并說明其物理意義；（2）當(dāng)(t=0)和(t=5)時(shí)，能量分別是多少？量子算法與指數(shù)運(yùn)算（14分）Shor算法分解大數(shù)時(shí)，需計(jì)算(a^b\modN)（(a)、(b)、(N)為正整數(shù)）。用傳統(tǒng)計(jì)算和量子計(jì)算分別計(jì)算(3^5\mod7)：（1）傳統(tǒng)計(jì)算：直接計(jì)算(3^5)后除以7求余數(shù)；（2）量子計(jì)算：利用模指數(shù)運(yùn)算優(yōu)化，寫出計(jì)算步驟。量子糾纏與統(tǒng)計(jì)（14分）對(duì)100對(duì)糾纏量子比特（A，B）進(jìn)行測(cè)量，結(jié)果如下表：A的結(jié)果B的結(jié)果次數(shù)01481052（1）計(jì)算A為“0”時(shí)B為“1”的概率；（2）判斷該糾纏態(tài)是否滿足“完全反相關(guān)”（即A與B結(jié)果始終相反），并說明理由。量子計(jì)算與優(yōu)化問題（14分）某物流公司用量子算法優(yōu)化配送路線，共有4個(gè)配送點(diǎn)（A，B，C，D），兩兩之間距離（單位：km）如下表：ABCDA0253B2014C5106D3460（1）寫出從A出發(fā)，遍歷所有點(diǎn)并返回A的最短路徑（不重復(fù)）；（2）計(jì)算該路徑的總距離