2025年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)基本國際生成藝術(shù)創(chuàng)新組織競賽試卷一、選擇題（共10題，每題4分，共40分）1.幾何變換與分形藝術(shù)在生成藝術(shù)中，迭代函數(shù)系統(tǒng)（IFS）常用于構(gòu)建分形圖形。已知某分形圖案的生成規(guī)則為：將邊長為1的等邊三角形每條邊三等分，以中間線段為邊向外作等邊三角形，再刪除中間線段（如圖1所示）。若經(jīng)過n次迭代后圖形的總周長為C(n)，則C(3)的值為（）A.4B.16/3C.64/9D.256/27解析：初始周長C(0)=3。每次迭代時(shí)，每條邊變?yōu)?條長度為原邊長1/3的線段，故周長變?yōu)樵瓉淼?/3。因此C(n)=3×(4/3)?，代入n=3得C(3)=3×(64/27)=64/9，選C。2.函數(shù)圖像與動(dòng)態(tài)藝術(shù)生成藝術(shù)作品《波動(dòng)的正弦》中，某曲線的參數(shù)方程為x=2t+sint，y=cos2t（t∈[0,2π]）。該曲線與直線y=1的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A.1B.2C.3D.4解析：令y=cos2t=1，解得2t=2kπ（k∈Z），即t=kπ。在t∈[0,2π]內(nèi)，t=0、π、2π，對應(yīng)x=0+0=0、2π+0=2π、4π+0=4π，共3個(gè)交點(diǎn)，選C。3.概率模型與隨機(jī)藝術(shù)使用蒙特卡洛方法生成隨機(jī)點(diǎn)陣藝術(shù)時(shí)，向邊長為2的正方形內(nèi)隨機(jī)投擲1000個(gè)點(diǎn)，其中落在以正方形中心為圓心、半徑為1的圓內(nèi)的點(diǎn)有786個(gè)。據(jù)此估計(jì)π的近似值為（）A.3.124B.3.144C.3.156D.3.172解析：正方形面積S?=4，圓面積S?=π×12=π。由幾何概型得π/4≈786/1000，解得π≈4×0.786=3.144，選B。4.矩陣變換與對稱圖案某伊斯蘭風(fēng)格瓷磚圖案的生成依賴于矩陣變換。若將點(diǎn)(1,0)經(jīng)過矩陣M=[[a,b],[c,d]]變換后得到點(diǎn)(0,1)，再經(jīng)過矩陣N=[[0,1],[-1,0]]變換后得到點(diǎn)(-1,0)，則矩陣M為（）A.[[1,0],[0,1]]B.[[0,1],[1,0]]C.[[0,-1],[1,0]]D.[[-1,0],[0,-1]]解析：設(shè)M變換后的點(diǎn)為(x,y)，則N變換后為(y,-x)=(-1,0)，解得y=-1，x=0。故M[[1],[0]]=[[0],[-1]]，即M=[[0,b],[-1,d]]，結(jié)合選項(xiàng)選C。5.數(shù)列與迭代藝術(shù)生成藝術(shù)中“斐波那契螺旋”的螺線半徑依次為斐波那契數(shù)列：1,1,2,3,5,8,...。若第n個(gè)螺線對應(yīng)的扇形圓心角為π/2，則前6個(gè)扇形的總面積為（）A.124πB.144πC.169πD.196π解析：總面積S=π/4×(12+12+22+32+52+82)=π/4×(1+1+4+9+25+64)=π/4×104=26π，選項(xiàng)中無正確答案（注：題目可能存在數(shù)據(jù)誤差，正確計(jì)算應(yīng)為26π）。6.立體幾何與3D建模在3D生成藝術(shù)中，某模型由棱長為2的正方體挖去一個(gè)底面半徑為1、高為2的圓柱體后形成（圓柱軸線與正方體中心軸重合）。該模型的表面積為（）A.24+2πB.24-2πC.24+4πD.24解析：正方體表面積24，挖去圓柱后減少兩個(gè)圓面積2π×12=2π，但增加圓柱側(cè)面積2π×1×2=4π，故總表面積=24-2π+4π=24+2π，選A。7.統(tǒng)計(jì)與數(shù)據(jù)可視化某生成藝術(shù)作品用直方圖呈現(xiàn)全球100個(gè)國家的數(shù)學(xué)競賽參與率（分組：[0,10%),[10%,20%),...,[90%,100%]）。若各組頻率分別為0.02,0.08,0.15,0.25,0.2,0.15,0.08,0.05,0.01,0.01，則參與率的中位數(shù)落在（）A.[40%,50%)B.[50%,60%)C.[60%,70%)D.[70%,80%)解析：累計(jì)頻率：前4組0.02+0.08+0.15+0.25=0.5，故中位數(shù)為第5組下限40%，選A。8.邏輯電路與像素藝術(shù)某LED像素屏的控制邏輯為：當(dāng)輸入信號A、B滿足“同或”關(guān)系時(shí)點(diǎn)亮像素（即A=B時(shí)輸出1）。若A=sinθ，B=cosθ（θ∈[0,π]），則像素點(diǎn)亮的θ取值范圍是（）A.{0,π/2,π}B.[0,π/4]∪[3π/4,π]C.[π/4,3π/4]D.(0,π/2)解析：同或邏輯要求sinθ=cosθ，即tanθ=1，θ=π/4或5π/4（超出范圍），或sinθ=cosθ=0（θ=0或π）。綜上θ∈{0,π/4,π}，但選項(xiàng)A最接近，選A。9.坐標(biāo)系與參數(shù)方程生成藝術(shù)作品《莫比烏斯帶》的某截面曲線在極坐標(biāo)系中的方程為ρ=2cosθ+sin2θ（θ∈[0,π]）。該曲線與極軸的交點(diǎn)極徑為（）A.0B.1C.2D.3解析：極軸即θ=0，代入得ρ=2cos0+sin0=2×1+0=2，選C。10.優(yōu)化問題與算法藝術(shù)某生成藝術(shù)算法需在區(qū)間[0,10]內(nèi)尋找函數(shù)f(x)=x3-6x2+9x+1的最大值點(diǎn)。若使用黃金分割法迭代兩次（初始區(qū)間[a?,b?]=[0,10]），則第二次迭代的區(qū)間[a?,b?]為（）A.[3.82,6.18]B.[2.36,5]C.[5,7.64]D.[6.18,10]解析：黃金分割系數(shù)φ=(√5-1)/2≈0.618。第一次迭代：x?=a?+φ(b?-a?)=6.18，x?=b?-φ(b?-a?)=3.82。計(jì)算f(3.82)≈-2.5，f(6.18)≈-10.2，因f(x?)<f(x?)，新區(qū)間[a?,b?]=[0,6.18]。第二次迭代：x?=a?+φ(b?-a?)=3.82，x?=b?-φ(b?-a?)=2.36，比較后得[a?,b?]=[2.36,6.18]，最接近選項(xiàng)A。二、填空題（共5題，每題6分，共30分）11.分形維度計(jì)算科赫雪花的分形維度D滿足公式：3×(1/3)?=1（其中3為相似性數(shù)量，1/3為縮放因子），則D=______。答案：log?3=1（注：正確公式應(yīng)為N×(r)?=1，N=4，r=1/3，故D=log?4≈1.26，此處按題目給定公式計(jì)算得1）12.動(dòng)態(tài)圖形的參數(shù)方程某生成藝術(shù)動(dòng)畫中，點(diǎn)P(x,y)的運(yùn)動(dòng)軌跡滿足x(t)=t2-2t，y(t)=t3-3t（t∈R）。當(dāng)t=2時(shí)，點(diǎn)P的瞬時(shí)速度大小為______。解析：速度分量v?=x’(t)=2t-2，v?=y’(t)=3t2-3。t=2時(shí)，v?=2，v?=9，速度大小√(22+92)=√85≈9.2195，填√85。13.組合計(jì)數(shù)與圖案設(shè)計(jì)用紅、藍(lán)、黃三種顏色給一個(gè)3×3的網(wǎng)格染色（每個(gè)格子一色），要求每行每列顏色各不相同，且對角線上格子顏色為紅色，則不同的染色方案有______種。解析：對角線兩格固定紅色，第一行剩余兩格A?2=2種，第二行中間格不能與同行及對角線同色，有1種，剩余格子唯一確定，共2×1=2種，填2。14.概率分布與隨機(jī)生成某算法生成隨機(jī)數(shù)x服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，已知P(x≤5)=0.2，P(x≥9)=0.3，則μ=______。解析：正態(tài)分布對稱性，P(x≤5)=P(x≥2μ-5)=0.2，故2μ-5=9→μ=7，填7。15.幾何體積與3D打印某生成藝術(shù)雕塑由底面半徑為1、高為3的圓柱和一個(gè)同底的圓錐組合而成，若用3D打印技術(shù)制作該雕塑（材料密度ρ=1.2g/cm3），則所需材料質(zhì)量為______g（π取3.14）。解析：體積V=πr2h?+(1/3)πr2h?=π×12×3+(1/3)π×12×3=4π≈12.56cm3，質(zhì)量m=ρV=1.2×12.56=15.072，填15.072。三、解答題（共5題，共80分）16.生成藝術(shù)中的函數(shù)應(yīng)用（15分）題目：某生成藝術(shù)作品《余弦山脈》的輪廓線由函數(shù)f(x)=acosx+bx2（x∈[-π,π]）生成，其中a>0，b>0。（1）若曲線在x=0處的切線方程為y=2x+1，求a、b的值；（2）若函數(shù)f(x)在[-π,π]上的最大值為10，最小值為-5，求a、b的取值范圍。解答：（1）f(0)=acos0+0=a=1（切線過點(diǎn)(0,1)），f’(x)=-asinx+2bx，f’(0)=0=2（矛盾，題目可能有誤，應(yīng)為切線方程y=1，此時(shí)a=1，b任意）。（2）f(x)為偶函數(shù)，僅需考慮x∈[0,π]。f’(x)=-asinx+2bx，令f’(x)=0得極值點(diǎn)。結(jié)合端點(diǎn)值f(0)=a，f(π)=-a+bπ2，解得a=5，b=15/π2。17.分形圖案的迭代設(shè)計(jì)（16分）題目：定義“二叉樹分形”：第0代是長度為1的線段；第1代是在第0代線段的中點(diǎn)處向兩側(cè)各生長一條長度為1/2的線段；第2代是在第1代所有線段的中點(diǎn)處向兩側(cè)各生長一條長度為1/4的線段；以此類推（如圖2）。（1）求第n代分形的總線段長度L(n)；（2）若每代生長的線段與原線段夾角為60°，求第2代分形的最高點(diǎn)到初始線段的距離。解答：（1）第0代：1條線段，L(0)=1；第1代：新增2條，L(1)=1+2×(1/2)=2；第n代新增2?條線段，長度1/2?，故L(n)=1+2×(1/2)+4×(1/4)+...+2?×(1/2?)=n+1。（2）第1代線段與水平線夾角±60°，高度h?=(1/2)sin60°=√3/4；第2代新增線段在第1代線段中點(diǎn)，高度h?=h?+(1/4)sin60°=3√3/8，總高度3√3/8。18.概率模型與藝術(shù)創(chuàng)作（17分）題目：生成藝術(shù)作品《隨機(jī)星圖》的創(chuàng)作規(guī)則如下：①在半徑為10的圓內(nèi)隨機(jī)生成N個(gè)點(diǎn)（星），每個(gè)點(diǎn)的極坐標(biāo)(ρ,θ)滿足ρ~U(0,10)，θ~U(0,2π)，且ρ與θ相互獨(dú)立；②若兩個(gè)點(diǎn)的距離d≤2，則用線段連接（形成星鏈）。（1）求單個(gè)點(diǎn)落在圓內(nèi)接正方形內(nèi)的概率；（2）若N=100，估計(jì)星鏈總數(shù)的數(shù)學(xué)期望（提示：利用二項(xiàng)分布近似）。解答：（1）圓內(nèi)接正方形邊長a=10√2，面積S?=200，圓面積S?=100π，概率P=200/(100π)=2/π≈0.6366。（2）任意兩點(diǎn)距離d≤2的概率p≈π×22/(π×102)=0.04（近似為面積比），總對數(shù)C(100,2)=4950，期望E=np=4950×0.04=198。19.矩陣變換與對稱藝術(shù)（16分）題目：某伊斯蘭瓷磚圖案的對稱群由以下兩種變換生成：變換T：繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°；變換S：關(guān)于x軸對稱。（1）寫出變換T、S對應(yīng)的矩陣M_T、M_S；（2）求復(fù)合變換T°S（先S后T）的矩陣，并判斷該變換是否為旋轉(zhuǎn)變換。解答：（1）M_T=[[0,1],[-1,0]]（順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°），M_S=[[1,0],[0,-1]]（x軸對稱）。（2）T°S的矩陣M=M_TM_S=[[0×1+1×0,0×0+1×(-1)],[-1×1+0×0,-1×0+0×(-1)]]=[[0,-1],[-1,0]]。行列式|M|=1，跡tr(M)=0，故為旋轉(zhuǎn)變換（180°）。20.優(yōu)化算法與藝術(shù)生成（16分）題目：某生成藝術(shù)算法需優(yōu)化函數(shù)f(x,y)=x2+2y2-4x-8y+15（x,y∈R），以確定作品的中心坐標(biāo)(x,y)。（1）用梯度下降法求f(x,y)的最小值點(diǎn)，初始點(diǎn)(0,0)，學(xué)習(xí)率η=0.1，迭代2次；（2）證明該函數(shù)的最小值點(diǎn)唯一，并求出最小值。解答：（1）梯度?f=(2x-4,4y-8)。第一次迭代：?f(0,0)=(-4,-8)，x?=0-0.1×(-4)=0.4，y?=0-0.1×(-8)=0.8；第二次迭代：?f(0.4,0.8)=(2×0.4-4,4×0.8-8)=(-3.2,-4.8)，x?=0.4-0.1×(-3.2)=0.72，y?=0.8-0.1×(-4.8)=1.28。（2）f(x,y)=(x-2)2+2(y-2)2+3，當(dāng)x=2,y=2時(shí)取最小值3，最小值點(diǎn)唯一。四、創(chuàng)新實(shí)踐題（共2題，共50分）21.分形藝術(shù)設(shè)計(jì)（25分）任務(wù)：設(shè)計(jì)一個(gè)基于“康托爾集”的生成藝術(shù)圖案，要求：（1）描述圖案的迭代規(guī)則（至少3代）；（2）計(jì)算第n代圖案的總長度L(n)，并分析當(dāng)n→∞時(shí)的極限；（3）用坐標(biāo)變換表示第2代圖案的各線段端點(diǎn)坐標(biāo)（初始線段為[0,1]）。參考解答：（1）規(guī)則：第0代[0,1]；第1代刪除中間1/3，保留[0,1/3]∪[2/3,1]；第2代刪除各段中間1/3，保留4段；第n代保留2?段，每段長度1/3?。（2）L(n)=2?×(1/3?)=(2/3)?，n→∞時(shí)L(n)→0。（3）第2代線段端點(diǎn)：0,1/9,2/9,1/3,2/3,7/9,8/9,1。22.編程與藝術(shù)實(shí)現(xiàn)（25分）任務(wù)：使用Python的turtle庫編寫生成藝術(shù)代碼，繪制“斐波那契螺旋”，要求：（1）寫出核心代碼片段（包括斐波那契數(shù)列生成、螺旋繪制函數(shù)）；（2）說明代碼中參數(shù)（如初始邊長、旋轉(zhuǎn)角度）對圖案的影響；（3）分析該螺旋的螺距變化規(guī)律（螺距即相鄰兩圈螺旋的距離）。參考解答：（1）核心代碼：importturtledeffib_spiral