第03講直線與圓的位置關(guān)系

目錄

考點(diǎn)一：直線與圓的位置關(guān)系

考點(diǎn)二：切線的性質(zhì)

考點(diǎn)三：切線的判定

考點(diǎn)四：切線的判定與性質(zhì)

?【基礎(chǔ)知識(shí)】

一.直線與圓的位置關(guān)系

(1)直線和圓的三種位置關(guān)系：

①相離：一條直線和圓沒有公共點(diǎn).

②相切：-條直線和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，叫做這條直線和圓相切，這條直線叫圓的切線，唯一的公共點(diǎn)叫

切點(diǎn).

③相交：一條直線和圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)叫做這條直線和圓相交，這條直線叫圓的割線.

(2)判斷直線和圓的位置關(guān)系：設(shè)00的半徑為「，圓心。到直線/的距離為〃.

①直線/和。。相交odVr

②直線I和OO相切od-r

③直線/和。。相離=d>r.

二.切線的性質(zhì)

(1)切線的性質(zhì)

①圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑.

②經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn).

③經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心.

(2)切線的性質(zhì)可總結(jié)如下：

如果一條直線符合下列三個(gè)條件中的任意兩個(gè)，那么它一定滿足第三個(gè)條件，這三個(gè)條件是：①直線過圓

心；②直線過切點(diǎn)；③直線與圓的切線垂直.

(3)切線性質(zhì)的運(yùn)用

運(yùn)用切線的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算或證明時(shí)，常常作的輔助線是連接圓心和切點(diǎn)，通過構(gòu)造直角三角形或相似三角

形解決問題.

三.切線的判定

（1）切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.

（2）在應(yīng)用判定定理時(shí)注意：

①切線必須滿足兩個(gè)條件：4、經(jīng)過半徑的外端；氏垂直于這條半徑，否則就不是圓的切線.

②切線的判定定理實(shí)際上是從“圓心到直線的距離等于半徑時(shí)，直線和圓相切”這個(gè)結(jié)論直接得出來的.

③在判定一條直線為圓的切線時(shí)，當(dāng)已知條件中未明確指出直線和圓是否有公共點(diǎn)時(shí)，常過圓心作該直線

的垂線段，證明該線段的長(zhǎng)等于當(dāng)徑，可簡(jiǎn)單的說成“無交點(diǎn)，作垂線段，證半徑”；當(dāng)已知條件中明確

指出直線與圓有公共點(diǎn)時(shí)，常連接過該公共點(diǎn)的半徑，證明該半徑垂直于這條直線，可簡(jiǎn)單地說成“有交

點(diǎn)，作半徑，證垂直”.

四.切線的判定與性質(zhì)

（1）切線的性質(zhì)

①圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑.

②經(jīng)過圓心同垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn).

③經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心.

（2）切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.

（3）常見的輔助線的：

①判定切線時(shí)“連圓心和直線與園的公共點(diǎn)”或“過圓心作這條直線的垂線”：

②有切線時(shí)，常?！坝龅角悬c(diǎn)連圓心得半徑”.

w【考點(diǎn)剖析】

一.直線與圓的位置關(guān)系（共14小題）

I.（2022?虹口區(qū)一模）加圖，右矩形人中，AH=4,RC=6,點(diǎn)E是RC的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)人凡點(diǎn)。是

線段AE

上一點(diǎn)，。。的半徑為1,如果。。與矩形ABCO的各邊都沒有公共點(diǎn)，那么線段A。長(zhǎng)的取值范圍是_土

3

V4O〈工.

4-

A

0

BEC

【分析】根據(jù)題意，需要分。。分別與邊A3、相切兩種情況下，計(jì)算出A0長(zhǎng)度即可解答.

【解答】解：設(shè)O。與A8相切于點(diǎn)凡連接OF,OF=\,

VBE=-l^C=-i.X6=3,N4=90°，

22

?*-^=VAB2+BE2=V42+32=5，

中，

??.NBAEVNBEA

'：AD//BC,

:?/DAE=/BEA,

：,^BAE<ZDAE,

VZAFO=ZABE^r,ZFAO=Z13AE,

:.△AFQsXABE,

Z.AO=OL,

BPAO=0FXAE=P<5=1,

AEEBEB33

VZDAE>Z^AE,

???若oo與人。相切時(shí)，和人〃一定相交；

若00與相切時(shí)，和4D一定相離.

同理當(dāng)OO與8c相切于點(diǎn)M時(shí)，連接OM,0M=1,計(jì)算得EO=±,

4

???此時(shí)AO=5-￡0=5-區(qū)=至，

44

:.當(dāng)區(qū)VAOV」&時(shí)，OO與矩形ARCD的各邊都沒有公共點(diǎn),

34

C.相交D.不能確定

【分析】連接CE,可知CQ=2,易證△AQEs/XACB,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可知OE和8E的值，根

據(jù)勾股定理可求CE的值，然后比較CD+BE與CE即可判斷.

【解答】解：連接CE如圖所示:

在RtZXAHC,中，NAC4=90",人C=6,BC=3,

根據(jù)勾股定理，得A4=3點(diǎn),

\'AD=2CD,且AC=6,

:.CD=2,40=4,

*：DE//BC,

JNADE=NC,

■:NDAE=NCAB,

:.ZAOEsX'CB,

.AD二典二地「2

**AC'BC'AB?

:.DE=2,AE=2^5,

:.BE=4^,

VDEZ/BC,且N4CB=90°,

AZEDC=90°,

根據(jù)勾股定理，得CE=WL

CD+BE=2+45>2^2?

???以點(diǎn)C為圓心、QC長(zhǎng)為半徑的圓C和以點(diǎn)后為圓心、￡3長(zhǎng)為半徑的圓石的位置關(guān)系是相交,

故選:C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓與圓的位置關(guān)系，涉及勾股定理，相似三角形的性質(zhì)和判定等，熟練掌握判斷兩圓

位置關(guān)系的方法是解題的關(guān)鍵.

5.（2022?松江區(qū)校級(jí)模擬）如圖，已知中，ZC=9G°,AC=3,8c=4,如果以點(diǎn)C為圓心的

圓與斜邊48有公共點(diǎn),那么OC的半徑，?的取值范圍是（

B.c.XD.3?4

5

【分析】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系得出相切時(shí)有一交點(diǎn)，再結(jié)合圖形得出另一種有一個(gè)交點(diǎn)的情況，即可

得出答案.

【解答】解：過點(diǎn)。作CO_LAB于點(diǎn)

??ZC=3,BC=4.如果以點(diǎn)。為圓心，r為半徑的圓與斜邊/W只有一個(gè)公共點(diǎn),

當(dāng)直線與圓相切時(shí)，d=r,圓與斜邊AB只有一個(gè)公共點(diǎn)，圓與斜邊AB只有一個(gè)公共點(diǎn),

:?CDXAB=ACXBC,

???CO='=K,

5

當(dāng)直線與圓如圖所示也可以有交點(diǎn),

??EWrW4.

5

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考杳了直線與圓的位置關(guān)系，結(jié)合題意畫出符合題意的圖形，從而得出答案，此題比較

容易漏解.

6.（2022春?普陀區(qū)期中）已知在等邊△ASC中，46=2,如果以點(diǎn)C為圓心的圓與邊A6有且只有?個(gè)

公共點(diǎn)，那么OC的半徑是

【分析】設(shè)0c與AB的交點(diǎn)為。，連接CQ,根據(jù)切線的定義得到AB與OC相切，根據(jù)切線的性質(zhì)得到

CDA.AB,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到4c=BC=A8=2,乙4。7）=//4。830°,于是得到結(jié)論.

【解答】解：設(shè)OC與AB的交點(diǎn)為。，連接CQ,

:以點(diǎn)C為圓心的圓與邊AB有目只有一個(gè)交點(diǎn)，

，/由與OC相切，

???△ABC是等邊三角形,

：.AC=BC=AB=2,NACO=//AC8=30°,

：，CD=^AC=^3,

2

即OC的半徑是孤

故答案為：V3.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，等邊三角形的性質(zhì)，直角一?.角形的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，熟練掌

握切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

7.（2022?寶山區(qū)二模）如圖，在梯形A8CQ中，AD//BC,ZS=90°,AB=4,AD=2“，8（=返,

4

圓。是以A8為直徑的圓.如果以點(diǎn)C為圓心作圓C與直線A0相交，與圓。沒有公共點(diǎn)，那么圓C的半

徑長(zhǎng)可以是（）

AD

【分析】根據(jù)宜角三角形的邊角關(guān)系求出FC,進(jìn)而求出BC,再根據(jù)勾股定理求出兩個(gè)圓心之間的距離OC,

由0c與直線A。相交，0C與0。沒有公共點(diǎn)，確定OC半徑的取值范圍，進(jìn)而得出答案.

【解答】解：如圖，連接。。交00于點(diǎn)E，過點(diǎn)。作。尸于點(diǎn)凡則。/=AB=4,BF=AD=2后

在RtaOC/中，DF=4,cotC=恒，

4

:?FC=cotC?DF=后

:?BC=BF+FC=3巫,

在咫△BOC中，OC=70B2+BC2=V22+（3V5）2=^

由于。。與直線A。相交，因此。。的半徑要大于4,

又OC與OO沒有公共點(diǎn)，因此0C與。。外離或內(nèi)含，

當(dāng)0C與。。外離時(shí)，OC的半徑要小于C￡=7-2=5,此時(shí)OC的半徑4V/V5；

當(dāng)0。與。0內(nèi)含時(shí)，OC的半徑要大于7+2=9,此時(shí)0c的半徑r>9；

所以O(shè)C的半徑為4<r<5或r>9,

故選：

【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理，直線與圓的位置關(guān)系以及圓與圓的位置美系，掌握勾股定理，圓與圓的位置

關(guān)系的判定方法是正確解答的前提.

8.（2022春?金山區(qū)校級(jí)月考）已知同一平面內(nèi)有。0和點(diǎn)A與點(diǎn)3,如果。。的半徑為6a〃，線段04=

10a”，線段。8=6（:機(jī)，那么直線44與。。的位置關(guān)系為（）

A.相離B.相交C.相切D.相交或相切

【分析】根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判定方法進(jìn)行判斷.

【解答】解：的半徑為6皿線段。4=10c”?，線段O8=6a〃，

即點(diǎn)A到圓心O的距離大于圓的半徑，點(diǎn)B到圓心。的距離等于圓的半徑，

???點(diǎn)A在O。外.點(diǎn)4在。。上，

???直線AB與。0的位置關(guān)系為相交或相切，

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵.

9.（2022春?徐匯區(qū)期中）如圖，在梯形A8C。中，AD//BC,NB=90°,AD=2,AB=4,BC=6,點(diǎn)。

是邊上一點(diǎn)，以。為圓心，。。為半徑的與邊A。只有一個(gè)公共點(diǎn)，則OC的取值范圍是（）

C.4<OC<C—D.

*33

【分析】作。E_LBC于E,當(dāng)00與邊AD相切時(shí)，圓心。與E重合，即OC=4；當(dāng)OA=OC時(shí)，。。與

AD交于點(diǎn)A，設(shè)OA=OC=x,則。8=6-x,在RlZ\48O中，由勾股定理得出方程，解方程得出。。=工；

3

即可得出結(jié)論.

【解答】解：作。E_L8C于E,如圖所示:

則DE=A8=4,BE=AD=2,

；?CE=4=DE,

當(dāng)OO與邊4。相切時(shí)，切點(diǎn)為0,圓心。與七重合，即OC=4；

當(dāng)。4=OC時(shí)，。。與人。交于點(diǎn)A,

設(shè)。4=OC=x,則OB=6-x,

在RtZXABO中，由勾股定理得：42+（6-x）2=^,

解得：尸工；

3

工以。為圓心，0。為半徑的。0,與邊A。只有一個(gè)公共點(diǎn)，則0C的取值范圍是

3

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系、直角梯形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)；熟練掌握直角梯形的性質(zhì),

分情況討論是解題的關(guān)鍵.

10.（2022春?金山區(qū)校級(jí)期中）如圖，在RtZXABC中，ZACB=90°,48=5,BC=3,點(diǎn)尸在邊4c上,

。戶的半徑為I.如果。尸與邊8c和邊48都沒有公共點(diǎn)，那么線段PC長(zhǎng)的取值范圍是一\<CP<二.

【分析】根據(jù)勾股定理得到AC=4,當(dāng)與相切時(shí)，設(shè)區(qū)點(diǎn)為如圖，連接刊），則PQ_L人氏根

據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得到結(jié)論.

【解答】解：在RtzMBC中，NACB=90°,AB=5,8c=3,

?MC=4,

當(dāng)。尸與A8相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為D如圖，

連接PD,

貝ljPDLAB,

，NC=NAOP=90°,

?/NA=NA,

，ZAOPsXACB,

.PD_PA

??瓦而

.l-PA

??―-,

35

???勿=旦

3

：.PC=AC-心=工，

3

???線段PC長(zhǎng)的取值范圍是1VCPV工,

故答案為：1VCPV工.

3

【點(diǎn)評(píng)】本題考杳了直線與圓的位置關(guān)系，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，正確的作出輔助線是解

題的關(guān)鍵.

II.（2022?青浦區(qū)模擬）在四邊形ABCO中，AD//BC,NA8C=90°,AB=4tBC=4,AO=1（如圖）.點(diǎn)

。是邊C。上一點(diǎn)，如果以。為圓心，。。為半徑的圓與邊BC有交點(diǎn)，那么。。的取值范圍是（）

AD

A.2WOOW5B.毀WOOWS

92

C.空WOQW透D.0WOQW空

926926

【分析】分別畫出半徑最小和最大時(shí)的圖形，根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系以及切線的性質(zhì)列方程求解即可.

【解答】解：如圖1,過點(diǎn)。作OH_L8c于〃，則人。=責(zé)/=1,44=?！?4,HC=4-1=3,

在中，8=也2+4：2=5,

當(dāng)0。與8c相切時(shí)，此時(shí)OO與線段4c有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)半徑最小，

設(shè)OD=OE=x,則OC=5x,

在RtZXCOE中，sinC=%=@='，

OCDC5

（5-x）,

5

由OD=OE得,x=A（5-x）,

5

解得工=型；

9

如圖2,當(dāng)以。。為半徑的OO過點(diǎn)8時(shí)，半徑最大，過點(diǎn)。作O〃_L3C于”，

設(shè)OD=OB=y,則OC=5-y,

在RtZ\COF中，sinC=2L=J且=',

OCDC5

：.OF=^-（5->-）=4-Ay,FC=3（5-y）=3?

5555

???8尸=4?尸。=1+3），，

5

在RtaB。尸中，由勾股定理得，

B匣+0必=O鈴,

BP（1+—y）2+（4-當(dāng)）2=）2,

5"5'

解得）,=至，即。0的最大半徑為地，

-2626

所以當(dāng)以O(shè)為圓心，0。為半徑的圓與邊BC有交點(diǎn)，那么0。的取值范圍為理?WOOW國(guó),

926

故選：C.

圖2

圖1

【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，直角梯形以及直角三角形的邊角關(guān)系，畫出半徑最小和最大時(shí)的

圖形是正確解答的前提，構(gòu)造直角三角形是解決問題的關(guān)鍵.

12.（2022春?浦東新區(qū)校級(jí)期中）如果x的取值范圍是aVxV從我們就將〃與〃的差叫做t的變化區(qū)間

長(zhǎng)度.如圖，在菱形ABC。中，對(duì)角線AC交8。于點(diǎn)。，且AC=16,BD=12.如果以。為圓心，「為半

徑的。。與菱形ABCD的各邊有8個(gè)公共點(diǎn)，那么廣的變化區(qū)間長(zhǎng)度是（）

D,C

AB

A.巫B.9C.2D.A

5555

【分析】利用題意求出r變化的臨界值，根據(jù)變化區(qū)間長(zhǎng)度的定義即可求解.

【解答】解：四邊形A3CO是菱形，

：.AC±BD,0A=2AC=8,0B=2BD=6,

22

?M8=^OA2-K)B2=18

???04?0B=A8??！保?/p>

???0〃=”

5

???菱形的中心O到各邊的距離都相等，

???以點(diǎn)。為圓心，絲為半徑畫圓，則該圓與各邊都相切，

5

此時(shí)，以。為圓心，絲為半徑的OO與菱形A8CO的各邊有4個(gè)公共點(diǎn)；

5

當(dāng)以點(diǎn)。為圓心，6為半徑畫圓，該圓與菱形ABCD的各邊有6個(gè)公共點(diǎn),

綜上如果以O(shè)為圓心，一為半徑的。0與菱形ABCD的各邊有8個(gè)公共點(diǎn),

則幺VY6,

5

???，?的變化區(qū)間長(zhǎng)度是6-24=1,

55

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系，切線的判定與性質(zhì)，點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，勾股定理，菱形

的性質(zhì)，求得，?變化的臨界值是解題的關(guān)鍵.

13.（2022春?浦東新區(qū)期中）如圖，在RtZXABC中，NAC3=90：cosA=-l,C。為A3邊上的中線，

5

CD=5,以點(diǎn)5為圓心，廠為半徑作。從如果06與中線CO有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，那么08的半徑「的取

【分析】根據(jù)三角函數(shù)可得AC,AC,根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)可求C。，BD,根據(jù)三角形面積

公式可求CO邊的高，再根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系即可求解.

【解答】解：在RlZXABC中，4C8=90°,CD為邊上的中線，CD=5,

：.AB=10,CD=BD=5,

VCOSA=^.=A,

AB5

，AC=8,

???8C=1AB2-AC2=J102-82=6,

邊的高=6X8+2+2X2+5=2，

5

???08與中線CO有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，

???0B的半徑r的取值范圍為5VW6或,=2生

5

故答案為：5V-W6或，?=幺.

5

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系、三角形的面積、直角三角形斜邊上的中線、解直角三角形等知

識(shí)；熟練掌握直線與圓的位置關(guān)系，由三角函數(shù)求出8C是解決問題的關(guān)鍵.

14.（2022春?青浦區(qū)期中）如圖，在直角梯形4BCO中，AD//BC,ZA=90°,七是AD上一定點(diǎn)，AB

=3,BC=6,AD=8,AE=2.點(diǎn)P是BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),以尸為圓心，尸。為半徑作。P.若。。與以E為圓

心，1為半徑的OE有公共點(diǎn)，且。尸與線段A。只有一個(gè)交點(diǎn)，則尸［長(zhǎng)度的取值范圍是EV〃CW4

4

或PC=3

AD

BC

【分析】根據(jù)題意可得PC的最小值為圓。與A。相切，切點(diǎn)為M：PC最大值為圓P'與圓E內(nèi)切，切點(diǎn)

為Q,由直線與圓的位置關(guān)系，圓與圓的位置關(guān)系即可解決問題.

【解答】解：根據(jù)題意可知：尸C的最小值為圓尸與八。相切，切點(diǎn)為如圖所示：

：.PM1AD,

在直角梯形A8CD中，

VAD//BC,

：.ZABC=ZA=90:>,

...四邊形人“尸M是矩形，

：,PM=AB=PC=3,

PC最大值為圓P'與圓E內(nèi)切，切點(diǎn)為Q,

:TC=P'Q=P'E+EQ=3+1=4,

當(dāng)PC=ai時(shí)，此時(shí)圓P與線段A。開始有2個(gè)交點(diǎn)，不符合題意，

設(shè)PC=%=x,則BP=BC?PC=6-x,AB=3,

/.(6-x)2+9=X2,

?L15

4

則PC長(zhǎng)度的取值范圍是生VPCW4或PC=3.

4

故答案為：型VPCW4或尸C=3.

4

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，圓與圓的位置關(guān)系，直角梯形，解決本題的關(guān)鍵是掌握直線與

圓的位置關(guān)系，圓與圓的位置關(guān)系.

二.切線的性質(zhì)（共6小題）

15.（2022?徐匯區(qū)校級(jí)自主招生）如圖，一個(gè)較大的圓內(nèi)有15個(gè)半徑為1的小圓，所有的交點(diǎn)都為切點(diǎn),

圖中陰影為大圓內(nèi)但在所有小圓外部分，則陰影部分的面積為_絲旦攵巨匚.

【分析】如圖，OH為BC邊的高,利用兩圓相切的性質(zhì)得到AB=AC=3C=8,則可判斷△43C為等邊三

角形，則C〃=4,利用含30度角的直角三角形三邊的關(guān)系得到0。=-^巨，再利用圓與圓相切的性質(zhì)得到

3

。。的半徑?！?。。+?！?@叵-1,然后用大圓的面積減去15個(gè)小圓的面積得到陰影部分的面積.

3

【解答】解：如圖，?！盀?c邊的高，

???所有小圓相切，

：,AB=AC=BC=S,

△ABC為等邊三角形，

/.ZOC5=30°

,COHA.BC,

:?CH=4,

.?.?！?返

33

：?OC=2OH=^^-,

3

???0C與OO相切，

工0。的半徑OE=OC+CE=^Z1+1,

_3

???陰影部分的面積=irx（@叵+1）2-15XTTX12=空旦攵巨m

33

故答案為：絲且生旦.

3

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑.也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì).

16.(2022春?長(zhǎng)寧區(qū)校級(jí)期中)如圖，已知A3是半圓。的直徑，AC是弦，將圖形43C沿宜線AC翻折,

點(diǎn)B落在點(diǎn)。的位置，過點(diǎn)。作?！辍ˋ從如果OE與圓O相切，那么NZMC的度數(shù)等于15°.

【分析】過。點(diǎn)作O”_LOE于“點(diǎn)，過。點(diǎn)作。r_LA8于尸點(diǎn)，如圖，利用切線的性質(zhì)得到?！睘?。0

的半徑，再證明四邊形0〃。尸為矩形，所以=。從接著利用折疊的性質(zhì)得到AO=A4,ZBAC=ZDAC,

然后根據(jù)正弦的定義求出NDA?=30。，從而得到N8AC的度數(shù).

【解答】解：過。點(diǎn)作O〃_L/)E于"點(diǎn)，過。點(diǎn)作。E1A8于尸點(diǎn)，如圖，

YOE?與圓O相切，

)。”為。。的半徑，

?：DE//AB,

???四邊形0”。尸為矩形，

：.DF=()H,

???圖形A〃。沿直線AC翻折，點(diǎn)0落在點(diǎn)。的位置，

：.AD=AB,NB4C=NO4C,

在Rt￡sO4尸中，??飛而/。人尸=更=@1=2，

ADAB2

.\ZDAF=30°,

：.^BAC=^ZDAF=15°.

2

故答案為：15°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑.也考查了圓周角定理、折疊的性質(zhì)和

解直角三角形.

17.（2022?黃浦區(qū)校級(jí)二模）已知點(diǎn)P是直線y=2上一點(diǎn)，OP與），軸相切，且與x軸負(fù)半軸交于A、B

兩點(diǎn)，如果48=2,那么點(diǎn)如的人標(biāo)是2）.

【分析】根據(jù)題意作出圖形，過點(diǎn)。作x軸的垂線，垂足為“，然后由垂徑定理及勾股定理可得圓的半徑，

由此可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，畫出圖形如下：

：.ON=2,A8=2,

過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為M,

:,PM=2,AM=BM=1,

在RtAPBM中，PB=1PM2鋤、2={[2+]2=

???0P與），軸相切，

，軸，PN=PB=巡,

T0P與x軸負(fù)半軸交于A、B兩點(diǎn),

工點(diǎn)尸的坐標(biāo)是（-“，2）.

故答案為：（?代，2）.

【點(diǎn)評(píng)】此題考杳的是切線的性質(zhì)、垂徑定理及坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，正確作出圖形是解決此題的關(guān)鍵.

18.（2022?上海）定義：有一個(gè)圓分別和一個(gè)三角形的三條邊各有兩個(gè)交點(diǎn)，截得的三條弦相等，我們把

這個(gè)圓叫作“等弦圓”，現(xiàn)在有一個(gè)斜邊長(zhǎng)為2的等腰直角三角形，當(dāng)?shù)认覉A最大時(shí)，這個(gè)圓的半徑為2

【分析】根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形，利用圓周角定理、直角三角形的邊角關(guān)系以及三角形的面積公式進(jìn)行

計(jì)算即可.

【解答】解：如圖，???圓與三角形的三條邊都有兩個(gè)交點(diǎn)，截得的三條弦相等，

???圓心O就是三角形的內(nèi)心，

???當(dāng)過點(diǎn)C時(shí)，且在等腰直角三角形43。的三邊上截得的弦相等，即CG=CV=DE,此時(shí)最大，

過點(diǎn)。分別作弦CG、CF、。后的垂線，垂足分別為P、N、M,連接OC、04、0B,

?:CG=CF=DE,

：.0P=0M=0N,

VZC=90°,AB=2,AC=BC,

??/C=8C=亞X2=&,

2

由S"0C+S△B0C+S"0B=SMBC,

...1AC?0P+1.BC*ON+^AB?0M=S?ABC=^AC?BC,

2222

設(shè)。M=x,貝IJO尸=QV=x,

:.V2A+V2X+2X=V2X^2，

解得x=V2-1，

即0P=0N=?-1，

在RtZ\C0N中，0C=&0N=2-6，

故答案為：2-V2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查直角一角形的邊角關(guān)系以及三角形面積的計(jì)算，掌握直角三角形的邊角關(guān)系以及三角形

面積的計(jì)算方法是正確解答的前提，畫出符合題意的圖形是正確解答的關(guān)鍵.

19.（2022?奉賢區(qū)二模）如圖，在等邊△48C中，AB=2心如果以為直徑的和以A為圓心的OA

相切，那么04的半徑r的值是3??日或3+?.

【分析】分兩圓外切和兩圓內(nèi)切兩種情形討論解答：利用相切時(shí)圓心距與利用半徑的關(guān)系列出方程即可求

解.

【解答】解：連接八。，如圖，

:△ABC是等邊三角形，

：.BC=AB=AC=2^/3,ZB=60°.

???0為8c的中點(diǎn)，

:?BD=CD=M，AD1BC,

???0。的半徑為g,

AO=A4?sin60"=3.

①以為直徑的。。和以A為圓心的。人相外切時(shí)，

：?r+V^=/!Q=3,

—3-V3-

②以BC為直徑的。。和以4為圓心的。4相內(nèi)切時(shí)，

/./--V^=AO=3,

Ar=3+V3.

綜上，如果以BC為直徑的。。和以A為圓心的OA相切，那么OA的半徑,?的值是3-?或3+愿.

故答案為：3-?或3+?.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，兩圓相切的性質(zhì)，利用分類討論的思想方法解答是解題的關(guān)

鍵.

20.（2022春?浦東新區(qū)校級(jí)期中）如圖，在RtzMBC中，N4?8=90°,BC=4,AC=3,是以8C

為直徑的圓，如果。。與OA相切，那么G）A的半徑長(zhǎng)為，1§±2.

【分析】分兩種情況：①如圖，04與。。內(nèi)切，連接AO并延長(zhǎng)交0A于￡，根據(jù)AE=AO+0￡可得結(jié)論;

②如圖，OA與。。外切時(shí)，連接AO交OA于E,同理根據(jù)4￡=。4?。￡可得結(jié)論.

【解答】解：有兩種情況：

①如圖1,。4與。。內(nèi)切時(shí)，連接AO并延長(zhǎng)交。。于巴

圖1

???0。與04相內(nèi)切,

???￡為切點(diǎn)，

：.0E=^BC=2,

2

???N4C8=90°,

根據(jù)勾股定理得：OA={℃2+hC2r22國(guó)=任,

：,AE=OA+OE=^fl3+2；

即0A的半徑為我+2；

②如圖2,0A與OO外切時(shí)，連接AO交OO于E,

圖2

同理得AE=AO-OE=V13-2,

即0A的半徑為-2,

綜上，。4的半徑為415+2或

故答案為：V13±2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相切兩圓的性質(zhì)、勾股定理；通過作輔助線得出人七是。人的半徑是解決問題的關(guān)鍵.

三.切線的判定（共2小題）

21.（2019秋?金山區(qū)期末）已知在矩形4BCD中，AB=5,對(duì)角線4C=13.OC的半徑長(zhǎng)為12,下列說

法正確的是（）

A.0c與直線AB相交B.。。與直線A。相切

C.點(diǎn)A在OC上D.點(diǎn)。在OC內(nèi)

【分析】根據(jù)點(diǎn)和圓的位置關(guān)系及直線和圓的位置關(guān)系判斷即

【脩答】解：???在△ABC中，4c8=90°,AC=13,48=5,

2

:?BC=VAC-AB2=V132-52=12，

???（DC的半徑長(zhǎng)為12,

???OC與直線/W相切，

故A選項(xiàng)不正確，

\'CD=AB=5<\2,

???OC與直線A。相交，

故B選項(xiàng)不正確，

V/C=13>12,

???點(diǎn)A在。C外，

故C選項(xiàng)不正確，

VCD=5<12,

???點(diǎn)D在OC內(nèi)，

故D選項(xiàng)正確，

故選:D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了點(diǎn)馬圓的位置關(guān)系，直線與圓的位置關(guān)系，熟練掌握切線的判定及點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

是解題的關(guān)鍵.

22.（2019秋?嘉定區(qū)期末）下列四個(gè)選項(xiàng)中的表述，正確的是（）

A.經(jīng)過半徑上一點(diǎn)且垂直于這條半徑的直線是圓的切線

B.經(jīng)過半徑的端點(diǎn)且垂直于這條半徑的直線是圓的切線

C.經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線

D.經(jīng)過一條弦的外端且垂直于這條弦的直線是圓的切線

【分析】根據(jù)切線的判定對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而得到答案.

【解答】解：由切線的判定定理可知：經(jīng)過半徑外端點(diǎn)且與這條半徑垂直的直線是圓的切線，

故A,B,。選項(xiàng)不正確，。選項(xiàng)正確，

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了圓中切線的判定，熟練掌握切線的判定定理是解題的關(guān)鍵.

四.切線的判定與性質(zhì)（共2小題）

23.（2017?閔行區(qū)二模）下列關(guān)于圓的切線的說法正確的是（）

A.垂直于圓的半徑的直線是圓的切線

B.與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的射線是圓的切線

C.經(jīng)過半徑的一端且垂直于半徑的直線是圓的切線

D.如果圓心到一條直線的距禽等于半徑長(zhǎng)，那么這條直線是圓的切線

【分析】根據(jù)切線的判定和性質(zhì)定理進(jìn)行判斷即可.

【解答】解：4、經(jīng)過半徑的外端點(diǎn)且垂直于半徑的直線是圓的切線，故原命題錯(cuò)誤；

B、與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線是圓的切線，故原命題錯(cuò)誤；

C、經(jīng)過半徑的外端點(diǎn)且垂直于半徑的直線是圓的切線，故原命題錯(cuò)誤；

D.如果圓心到一條直線的距離等于半徑長(zhǎng)，那么這條直線是圓的切線，正確.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的判定和性質(zhì)定理熟練掌握切線的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

24.（2017?浦東新區(qū)校級(jí)自主招生）如圖所示，4B為。O的直徑，C在。0上，OO〃8C,A。是切線,

延長(zhǎng)DC、AB交于點(diǎn)E.

（1）求證：。后是切線；

（2）—,求cos/A4c的值.

DE3

【分析】（1）由題意可證△AOO咨△COO可得/0CO=9（r,即結(jié)論可得;

(2)由8C〃。。，可得BC：。。=2：3,設(shè)。。=3〃，BC=2a,再由cosNAOO=cosN4BC可得也受

DOAB

可求即可求cosNABC的值.

【解答】證明：(1)連接OC，

???4。是。。切線，84是直徑，

AZDAO=90°；

?；OB=OC,

"OCB=/OBC；

?：AD//BC,

：.ZAOD=ZOBC,ZDOC=ZOCB.

/.ZAOD=ZDOCKDO=DO.AO=CO,

:./^ADO^ACDO,

???NO4O=NQCO=90°,

AOCA-DE,且OC為半徑，

???。七是。。的切線；

(2)'：BC//DO,

.CEBC2

??瓦京苜，

，設(shè)。。=3小BC=2a,

AAOD=/ABC,

cosZAOD=cosZABC,

.AO^BC

**D0=AB'

：.2AO2=6a2,

：,AO=42a,

:.cosZABC=弛=%=限.

AB2V3a3

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓的切線的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，找到。是本題的關(guān)鍵.

【過關(guān)檢測(cè)】

【答案】c

【詳解】解：作CDLAB于D,如圖,

VZC=90°,AC=3,BC=4,

故選:C

【點(diǎn)睛】本題考查了宜線與圓的位置關(guān)系：設(shè)。0的半徑為r,圓心0到直線1的距離為d：直線1和。。

相交odVr；直線1和。。相切od=r；直線1和。。相離=d>r.

2.（2021?上海楊浦?二模）下列命題中，真命題是（）

A.平分弦的直徑垂直于弦

B.垂直平分弦的直線平分這條弦所對(duì)的弧

C.在同圓中，相等的弦所對(duì)的弧也相等

D.經(jīng)過半徑一端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線

【答案】B

【分析】根據(jù)圓的有關(guān)概念和性質(zhì)、垂徑定理進(jìn)行判斷解答.

【詳解】解：兒平分弦（非直徑）的直徑垂直于弦，原命題是假命題；

氏垂直平分弦的直線平分這條弦所對(duì)的弧，是真命題；

a在同圓或等圓中，相等的弦所對(duì)的弧也相等，原命題是假命題：

久經(jīng)過半徑外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線，原命題是假命題；

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了命題與定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是了解圓的有關(guān)概念和性質(zhì)、垂徑定理等知識(shí).

3.（2021?上海崇明?二模）已知同一平面內(nèi)有。。和點(diǎn)力與點(diǎn)氏如果。的半徑為3cm,線段的=5cm,

線段如=3cm,那么直線/應(yīng)與。。的位置關(guān)系為（）

A,相離B.相交C.相切D.相交或相切

【答案】D

【分析】根據(jù)圓心到直線的距離與圓的半徑大小的關(guān)系進(jìn)行判斷，即當(dāng)圓心到直線的距離小于半徑時(shí)，直

線與圓相交；圓心到直線的距離等于半徑時(shí)，直線與圓相切；圓心到直線的距離大于半徑時(shí)，直線與圓相

離.

【詳解】的半徑為3cm,線段Ol=5cm,線段仍=3cm

???點(diǎn)力在以0為圓心5cm長(zhǎng)為半徑的圓上，點(diǎn)6在以0圓心3cm長(zhǎng)為半徑的O0上

當(dāng)4反L如時(shí)，如左圖所示，由物3cm知，直線18與。0相切；

當(dāng)"與如不垂直時(shí)，如右圖所示，過點(diǎn)。作勿J■月8于點(diǎn)〃則瞅陽所以直線仍與。。相交；

???直線力〃與。。的位置關(guān)系為相交或相切

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系，要確定直線與圓的位置關(guān)系，要比較圓心到直線的距離與

半徑的大小，從而可確定位置關(guān)系.

4.（2018?上海長(zhǎng)寧?九年級(jí)期末）已知在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，以點(diǎn)P（-2,3）為圓心，2為半徑的圓P

與:《軸的位置關(guān)系是（）

A.相離B.相切

C.相交I）.相離、相切、相交都有可能

【答案】A

【分析】先求出點(diǎn)P到x軸的距離，再根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系得出即可.

【詳解】解：點(diǎn)〃2,3）到x軸的距離是3,3>2,

所以圓〃與x軸的位置關(guān)系是相離，

故選A.

【點(diǎn)睛】本題考杳了坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)和直線與圓的位置關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)，能熟記直線與圓的位置關(guān)系的內(nèi)

容是解此題的關(guān)鍵.

5.（2021?上海?二模）如圖，在/"△/1鴕中，Z6^90°,BS力424,點(diǎn)。在邊/出上，且80=20兒以

點(diǎn)。為圓心，r為半徑作圓，如果。。與欣△4町的邊有3個(gè)公共點(diǎn)，那么下列各值中，半徑r不可以取的

是（)

B,

A.6B.10C.15D.16

【答案】C

【詳解】解：???NC=90°,2?r=18,47=24,

'：BO=2OA,

，例=10,曲=2(),

過。分別作。于〃，OE1BC于E,

"BEO=/C=/AD0,

???/力=/兒N8=N8,

，△阿^AOD^^ABC,

???gl6,01)=6,

如圖，???以點(diǎn)。為圓心，二為半徑作圓，如果。。與欣△力比的力有3個(gè)公共點(diǎn),

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查/直線與圓的位置關(guān)系，相似三角形的判定和性質(zhì)，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵.

6.(2014?上海金山?九年級(jí)期末)在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=(x2)2+1的頂點(diǎn)是點(diǎn)P,對(duì)稱軸與x

軸相交于點(diǎn)Q,以點(diǎn)P為圓心，PQ長(zhǎng)為半徑畫。P,那么下列判斷正確的是()

A.x軸與OP相離；B.x軸與OP相切；C.y軸與OP與相切；D.y軸與OP相交.

【答案】B

試題分析：根據(jù)拋物線解析式寫出頂點(diǎn)P和點(diǎn)Q的坐標(biāo)，然后求出PQ的長(zhǎng)，再根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系解

答.

由題意得，頂點(diǎn)P(2,1),Q(2,0),

所以PQ=L

即OP的半徑為1,

???點(diǎn)P到X軸的距離為1,到y(tǒng)軸的距離為2,

???x軸與。P相切，y軸與。P相離.

故選B.

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題.

二、填空題

7.(2021?上海寶山?三模)在欣△力8。中，/490°,AC=3,以點(diǎn)力為圓心，1為半徑作。力將。力

繞著點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為a(0<a<90°),若。力與直線8C相切，則Na的余弦值為.

【答案】|

【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)得到//1'g90°,根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)得到CA/=01=3,根據(jù)余弦的定義計(jì)

算，得到答案.

【詳解】解：設(shè)將。力繞著點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)力至點(diǎn)力'時(shí)，0/T與直線笈相切相切于點(diǎn)〃，

連接力'〃，貝UN//小=90°,A7D=\,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，。'=。=3,

■:?/A'D,

:.□=/"D,

，Na的余弦值為:，

故答案為：:

B

【點(diǎn)睛】本題考查圖形旋轉(zhuǎn)，直線與圓位置關(guān)系，銳角三角函數(shù)，平行線性質(zhì)，掌握?qǐng)D形旋轉(zhuǎn)，直線與圓

位置關(guān)系，銳角三角函數(shù)，平行線性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

8.（2020?上海閔行?九年級(jí)期末）已知在RlZ\ABC中，ZC=90°,AC=3,BC=4,0c與斜邊AB相切，那

么0c的半徑為.

12

【答案】y

【分析】首先根據(jù)勾股定理求出AB,然后根據(jù)圓相切的性質(zhì)得出CDJ_AB,Q）即為。C的半徑，然后根據(jù)三

角形面積列出等式，即可解得CD.

【詳解】設(shè)切點(diǎn)為D,連接CD,如圖所示

VZC=90°,AC=3,BC=4,

又???0C與斜邊AB相切，

ACD±AB,CD即為0C的半徑

故答案為1?2.

【點(diǎn)睛】此題主要考查圓相切的性質(zhì)以及勾股定理的運(yùn)用，熟練掌握，即可解題.

I0\

AB

【答案】120

【詳解】連接AC

???點(diǎn)C是48的中點(diǎn)

AAB平分0C

AAB是線段0C的垂直平分線

AAAOC是等邊三角形

【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的判定定理，從而得出目標(biāo)角的度數(shù).

【分析】因?yàn)橐箞A與斜邊只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以該圓和斜邊相切或和斜邊相交，但只有一個(gè)交點(diǎn)在斜邊

上.若d<r,則直線與圓相交；若（仁r,則直線于圓相切；若d>r,則直線與圓相離.

當(dāng)圓和斜邊相切時(shí)，則半徑即是斜邊上的高，等于2三4；

當(dāng)圓和斜邊相交，且只有一個(gè)交點(diǎn)在斜邊上時(shí).，可以讓圓的半徑大于短直角邊而小于長(zhǎng)直角邊，則6VrW8,

故半徑r的取值范圍是r=4.8或6VrW8,

故答案為廠4.8或6VrW8.

【點(diǎn)睛】此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，此題注意考慮兩種情況，只需保證圓和斜邊只有一個(gè)公共點(diǎn)即

可.

【答案】72

【分析】由直線與圓的位置關(guān)系可知，圓心C到AB的距離等于：。的半徑即可解答.

以點(diǎn)C為圓心的圓與斜邊力8有且只有一個(gè)交點(diǎn),

SziABC=-BC*AC=-AB<CD

22

即"的半徑是上

故答案為.

【點(diǎn)睛】此題考查直線與圓的位置關(guān)系，關(guān)鍵是根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和直線與圓的位置關(guān)系解答.

12.（2018?上海深圳?九年級(jí)期末）如圖，在半徑為5的。0中，弦AB=8,P是弦AB所對(duì)的優(yōu)弧上的動(dòng)

點(diǎn)，連接AP,過點(diǎn)A作AP的垂線交射線PB于點(diǎn)C,當(dāng)APAB是等腰三角形時(shí)，線段BC的長(zhǎng)為.

【答案】8,—,學(xué)

【詳解】解：（1）當(dāng)AB=AP時(shí)，如圖（1）,作OH_LAB于點(diǎn)H,延長(zhǎng)A0交PB于點(diǎn)G；

VAB=AP,

*.*.AO過圓心，

AAGXPB,

AFG=BG,ZOAII=ZPAG,

VCH1AB,

???NA0H=/BOH,AH=BH二4,

VZA0B-2ZP,

AZA0H=ZP,

VCA=5,AIM,

.,.CH=3,

■:Z0AH=ZPAG,

AsinZOAH=sinZPAG,

?“24

??PG=—,

5

VZA0H=ZP,

（2）當(dāng)PA=PB時(shí)，如圖（2）,延長(zhǎng)PO交AB于點(diǎn)K,類似（1）可知0K=3,PK=8,ZAPC=ZA0K,

'：ZAPC=ZA0K,.*.cosZAPC=cosZAOK,

??,EC=PC-PB=越；

3

(3)當(dāng)BA=BP時(shí),如圖(3),

???RA=BP,

AZP=ZBAP,

VZP+ZC=90°,ZCAB+ZBAP=93°,

:.ZC=ZCAB,

AEC=AB=8.

【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)；解直角三角形.

三、解答題

(1)求證：直線CD是。。的切線；

試題分析：(1)連接和，證a、j_必即可；利用角平分線的性質(zhì)和等邊對(duì)等角，可證得/阪=/?！?，即

可得到a'〃/1〃，由于力〃_1_微那么紇1.微由此得證.

(2)根據(jù)宜徑所對(duì)的圓周角是直角得出//1〃=90°,根據(jù)勾股定理求出力。=4,然后證山△仍。S/V1曲,

利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例列式解答即可.

試題解析：

(1)證明：連接紇

D

C

;相是/加8的角平分線，

:?/DAC=/BAC,

又?：OA=OC,

：.NOAC=NOCA,

:?/DAC=ZOCA,

：.0C//Al）,

■:AD1CD,

C.OCVCD,

??"C是。。的切線；

（2）解：???力8是。0直徑，。在。。上，

???/力⑦=90°,

乂???比-3,AB=5,

，由勾股定理得力占4.

'：4