重慶八中2024—2025學(xué)年度高二年級(jí)(下)期末考試

數(shù)學(xué)試題

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的.

1.命題“DxwR,犬_2工+2工0”的否定是()

A.VxwR,X2-2X+2>0B.VXWA,x2-2x4-2>0

C.3xeR,X2-2X+2>0D.Ire/?,x2-2x+2<0

【答案】C

【詳解】命題“ErwR,犬一2大+240”的否定是為：玉eH，x2-2x+2>0.

故詵：C.

2.已知集合4={2,3},B=+=若AU8={1,2,3},則所有滿(mǎn)足條件的實(shí)數(shù)加

組成的集合為()

A.{2}B.{3}C.{2,3}D.{1,2,3}

【答案】D

【詳解】方程X2-(/??+1)X+/7?=O的兩根為「.x=1或...X=m

?”={2,3},AU8={1,2,3}.

???切可能為1,2,3

(1)相=1時(shí)，B={1},符合

(2)加=2時(shí)，8={1,2},符合

(3)加=3時(shí)，8={1,3},符合

綜上，實(shí)數(shù)勿組成的集合為{1,2,3}

故選：D

3.某校一個(gè)課外學(xué)習(xí)小組為研究小雞的成活率y和溫度x(單位：°C)的關(guān)系，在2()個(gè)不同的溫度條件

下進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)=…,20)得到卜.面的散點(diǎn)圖：

成活率

由此散點(diǎn)圖，在10℃至40℃之間，下面四個(gè)回歸方程類(lèi)型中最適宜作為成活率y和溫度x的回歸方程類(lèi)

型的是（）

A.y=a+bxB,y=a+bx2C.y=a+bexD.y=a+b\nx

【答案】D

【詳解】由散點(diǎn)圖分布可知，散點(diǎn)圖分布在一個(gè)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象附近,

因此，最適合作為發(fā)芽率》和溫度工的回歸方程類(lèi)型的是），=a+6nx.

故選:D.

2

(2y

4.已知〃，b=‘斤,，則（）

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<hD.b<c<a

【答案】D

12，11

【詳解】因?yàn)椋?，是R上的減函數(shù)，又二〉二，所以1fl\即〃vc,

33⑴<1可

1/、21

因?yàn)楹瘮?shù)）,=盧在（0,+8）上單調(diào)遞增，->-,所以（|J

>，即?！礳,

:.a>c>b

故選:D.

5.等差數(shù)列的公差為&前〃項(xiàng)和為3“，若工=27,%=7,則當(dāng)，取得最大值時(shí),

)

A.4B.5C.6D.7

【答案】C

S、=3a.+"2d=21

【詳解】12,解得q=ll,r/=-2,所以?！岸?3-2〃，

%=qI2d=7

??>013-2/?>01113

所以當(dāng)S“取得最大值時(shí)，即《解得一《〃《一,

U+1W0ll-2n<022

又〃wN'，所以〃=6.

故選：C

(2x+l)(y+1)

6.已知正數(shù)京y滿(mǎn)足2x+y=2,則^----叢~^的最小值為()

天y

A.4B.6C.8D.10

【答案】C

【詳解】因2工+)，=2,則包但L型色土2里=2+3，

xyxyxy

因x,p為正數(shù)，則21+)=222及石，得不wg,等號(hào)成立時(shí)x=g,y=l,

(2x+l)(y+l)

則1--------_L的最小值為8.

町

故選：C

7.某醫(yī)院擬組成4醫(yī)生3護(hù)士共7人的工作隊(duì)，派駐到3個(gè)地區(qū)力、B、。進(jìn)行工作.若每一個(gè)地區(qū)至少

派駐1醫(yī)生1護(hù)士?jī)晌还ぷ魅藛T，且醫(yī)生甲必須派駐到力地區(qū)，則不同的派駐方式有()

A.36種B.72種C.98種D.108種

【答案】B

【詳解】若A地區(qū)派駐兩名醫(yī)生，則有C；-C；?C；?C；=36種不同方式;

若B或。區(qū)有兩名醫(yī)生，則有C；-C；?C；?A；=36種不同方式.

所以不同的派駐方式有36+36=72種.

故選：B.

8.已知函數(shù)g(x)=〃-d(l<x<e,e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))的圖像上存在2個(gè)點(diǎn)A、4分別與

e

〃(x)=21nx的圖像上2個(gè)點(diǎn)用、層關(guān)于入軸對(duì)稱(chēng)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

2

A.1,—+2B.[l,e-2]C.—+2,e2—2I),[e2-2,+cc)

Ie~e

【答案】A

對(duì)于C,二項(xiàng)式展開(kāi)式共有11項(xiàng)，則二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第孝+1=6項(xiàng)，故C不正確;

卜+京)的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為乙=/任『［2)一=0,1,…,10,

對(duì)干D,

令20—竺=0,解得廠(chǎng)=8,所以常數(shù)項(xiàng)是第9項(xiàng)，故D正確.

2

故選:BD.

10.某校為了解高二段學(xué)生每天數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)長(zhǎng)的分布情況，隨機(jī)抽取了100名高二學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，得到了

這100名學(xué)生的日平均數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)長(zhǎng)(單位：分鐘)的頻率分布直方圖如圖所示，則下列選項(xiàng)止確的為

A.每天學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)長(zhǎng)在60到70分鐘的頻率為0.04

B.中位數(shù)估計(jì)為65

C.平均數(shù)估計(jì)為67

I).眾數(shù)估計(jì)為65

【答案】BCD

【詳解】對(duì)于A,樣本中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)長(zhǎng)在60到70分鐘的頻率為0.040x10=0.4,故A不正確：

對(duì)干B,因?yàn)?.030x10<0.5,(0030+0.040)x10>0.5,所以樣本的中位數(shù)在［60,70)內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為

-V,則0.03xl0+(x-6())x().04=0.5,解得x=65,故B正確：

對(duì)干C,若每組以區(qū)間的中點(diǎn)值作代表，則估計(jì)樣本的平均數(shù)為：

(55x().03+65x0.04+75x().015+85x0.010+95xO.(X)5)xl()=67,故C正確;

對(duì)千D,由頻率分布直方圖知，100人學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)長(zhǎng)的眾數(shù)在區(qū)間［60,70),約為65分，所以D正確.

故選：BCD.

11.己知函數(shù)/(力，g(x)的定義域均為且〃x)+g(2+x)=0,依力一/(戈-4)=2.若

y=g("的圖象關(guān)于點(diǎn)(3,1)對(duì)稱(chēng)，g(2)=-l,則()

A.函數(shù)y=/(x)為偶函數(shù)B.函數(shù)y=/(x)關(guān)于點(diǎn)(一1,一1)對(duì)稱(chēng)

C.函數(shù)y=/(x)周期為4D.七/(。=一26

k=\

【答案】ABC

【詳解】因?yàn)閥=g(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(3,1)對(duì)稱(chēng)，則g(2+x)+g(4-x)=2,因?yàn)?/p>

〃x)+g(2+x)=。,所以g(4-x)-〃x)=2,

因?yàn)間(x)-/(x-4)=2,所以g(4一"一八-x)=2,所以/(x)=/(—“，所以函數(shù)y=/(x)為偶

函數(shù)，所以A正確；

由g(x)-/(x-4)=2得g(x+2)-/(x-2)=2,因?yàn)?(x)+g(2+x)=0,所以

/(x)+/(x-2)=-2,

因?yàn)?(x)=〃—力，則/(一力+〃尤-2)=-2,所以函數(shù)y=/(x)關(guān)于點(diǎn)(一1,一1)對(duì)稱(chēng)，所以B正

確：

由/(1)+/(1一2)=—2,所以f(x+2)+/(x)=—2,所以/(工+2)=/(工一2),

所以/(兀十4)=/(力，所以困數(shù)y=/(x)周期為4,所以C正確；

因?yàn)?(x)+g(2+”=0,所以/(0)+g(2)=0,因?yàn)間(2)=T,所以"0)=1,

由f(x)+/(k2)=-2,可得f(2)+/(O)=-2,所以。(2)=-3,

由f(x)+g(2+x)=()知當(dāng)％=_]時(shí)，/(T)+g(l)=(),所以/(l)+g(l)=0,

由g(x)-/(x—4)=2知當(dāng)％=1時(shí),g(l)—3)=2,所以g(l)_((l)=2,

所以=又〃1)+/(3)=-2,/(2)+/(4)=-2,所以川)+/(2)+"3)+/(4)=4

所以和化)=5[/⑴+/(2)+〃3)+/(4)]+/(1)+/(2)=-24,所以D錯(cuò)誤.

*=1

故選：ABC

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.隨機(jī)變量1服從正態(tài)分布X~N（10,/）,p（X<12）=0.8,P（X<8）=___.

【答案】0.2

【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量服從正態(tài)分布X?N（10,〃）且P（X<12）=0.8,

則P（X>8）=P（Xvl2）=0.8,

所以尸（XV8）=l—0（X>8）=l—0.8=0.2.

故答案為：0.2.

13.若曲線(xiàn)），=e'+x在點(diǎn)（0,1）處的切線(xiàn)也是曲線(xiàn)），二尸+依+1的切線(xiàn)，則”=.

【答案】2

【詳解】求導(dǎo)得：y=ev+l,當(dāng)工=0時(shí)，y=e°+l=2,

所以在點(diǎn)（。,1）處的切線(xiàn)方程為；y—l=2%=y=2%+l,

乂由切線(xiàn)y=2x+l也是曲線(xiàn)），+〃x+i的切線(xiàn)，

則消了得，x2+ax-\-\=2x4-1-2）x=0,

由A=（a-2）2=0=>a=2,

故答案為：2.

14.現(xiàn)有12道四選一的單選題，其中9道題學(xué)生甲會(huì)做，3道題學(xué)生中不會(huì)做.會(huì)做的題做對(duì)的概率為

1,不會(huì)做的題只好任意猜一個(gè)答案，猜對(duì)答案的概率為!.現(xiàn)從這12道題中隨機(jī)選擇1題讓學(xué)生甲回

4

答，已知學(xué)生甲答對(duì)了該題，則學(xué)生甲猜對(duì)的概率為_(kāi)____.

【答案*

【詳解】設(shè)事件A為“學(xué)生甲答對(duì)該題”，事件8表示“學(xué)生甲猜對(duì)該題”，事件C表示“甲選到會(huì)做的

題”

/、311

則A8表示學(xué)生甲選到不會(huì)做的題且答對(duì)，所以P（AB）=，x-=—,

712416

P（C）=3=；P（C）=1-P（C）=1,P（A|C）=1,P（X|C）=1,

由全概率公式P（A）=P（C），（A|C）+P（C），（At）=（xl+；x；=j1,

1

一(I)-P(A)"13~13

16

所以已知學(xué)生甲答對(duì)了該題，則學(xué)生甲猜對(duì)的概率為」

13

故答案為：——.

13

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15.如圖，在直三棱柱ABC—44G中，AC.LBC,CCl=AC=BC=2t〃，￡分別為CC；的

中點(diǎn).

(1)求證：DE〃平面MC；

(2)求直線(xiàn)力。與平面石所成角的正弦值.

【答案】(1)證明見(jiàn)詳解

⑵&

6

【小問(wèn)1詳解】

取45的中點(diǎn)產(chǎn)，連接OF,C",

因?yàn)?。，產(chǎn)分別為的中點(diǎn)，則。p〃AA，且=；AA，

乂因?yàn)镋為CG的中點(diǎn)，且A4CC為平行四邊形，則CE〃A4,且CE=！A4,

可得。尸〃CE，且DF=CE,可知CEOF為平行四邊形，則。石〃C尸,

且DE(Z平面ABC,CT7u平面ABC,

所以。上〃平面ABC.

【小問(wèn)2詳解】

因?yàn)锳C〃AG,可知直線(xiàn)力C與平面A.BE所成角即為直線(xiàn)AC與平面A.BE所成角,

因?yàn)镃G_L平面aec，AG<=平面dec，則CG_LAG，

且B|GJ，AG，CGngG=G，CC”與Gu平面BCGg,

可得AC?平面"cc畫(huà)，

設(shè)直線(xiàn)AG與平面\BE所成角為e，點(diǎn)G到平面ABE的距離為d,

因?yàn)锳E=3E=J5,A,C=2e，且。為A3的中點(diǎn)，

則。七=0，DE1A.C,

又因?yàn)?X物=9.明￡，即2Gx近=?X2X1X2X1,解得“=之,

3232\J()

2

可得sine=〃一=訪(fǎng)=如'

AG26

所以直線(xiàn)力。與平面ABE所成角的正弦值為亞.

6

16.重慶八中渝北校區(qū)有儉園、味園兩個(gè)食堂.

(1)隨機(jī)詢(xún)問(wèn)110名學(xué)生在就餐時(shí)的選擇偏好，得到如表所示的抽樣數(shù)據(jù)，依據(jù)小概率值a=0.010的獨(dú)

立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為在不同食堂就餐與學(xué)生性別有關(guān)聯(lián)？

就餐地點(diǎn)

性別

儉園味園

男4020

女2030

（2）現(xiàn)從選擇在儉園就餐的學(xué)生中，采用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法隨機(jī)抽取12名學(xué)生，再?gòu)倪@

12名學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，設(shè)抽取的3人中男生的人數(shù)為％求才的分布列和數(shù)學(xué)期望.

n^ad-bc^

附：Z2

(a+Z?)(c+d)(〃+c)(/?+d)

a0.0500.0100.001

Xa3.8416.63510.828

【答案】（1）能認(rèn)為在不同食堂就餐與學(xué)生性別有關(guān)聯(lián)

（2）分布列見(jiàn)解析，E（X）=2

【小問(wèn)1詳解】

2x2列聯(lián)表如下:

就餐地點(diǎn)

性別合計(jì)

儉園味園

男402060

女203050

合計(jì)6050110

零假設(shè)為“0：在不同食堂就餐與學(xué)生性別無(wú)關(guān)聯(lián).

110(40X30-20X20)2

計(jì)算得f二—7.822>6.635=%.

60x50x60x50001

根據(jù)小概率值。=0.010的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷零假設(shè)”0不成立，

在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)a=0.010的前提下認(rèn)為在不同食堂就餐與學(xué)生性別有關(guān)聯(lián).

【小問(wèn)2詳解】

在抽樣的60人中，男生有40人，女生有20人，比例是2:1,

從而分層抽樣抽取12人中，男生有8人，女生有4人，

則X的可能取值為0,1,2，3,

從而P"=O）=詈C；>C：$，P（X=1）=詈=*P（X=2）=詈=||,

或或14

尸（X=3）=

C,2-55

則X的分布列為

X01913

1122814

P

55555555

?1oOQ|4

所以E（X）=Ox—+lx」+2x上+3乂一=2

、）55555555

17.拋物線(xiàn)c：V=2〃MP>°）與直線(xiàn)4：y=x+i相切.

（1）求拋物線(xiàn)。的方程.

（2）設(shè)拋物線(xiàn)。的焦點(diǎn)為/,；過(guò)/,、的直線(xiàn)4交。于48,點(diǎn)滿(mǎn)足AELBE，求直線(xiàn)4的方程?

【答案】（1）丁=4x

⑵2x-y-2=0

【小問(wèn)1詳解】

聯(lián)立，）'=2pA=>y2=2p（y-l）,可得），2_2py+2〃=0,

y=x+\

因?yàn)橹本€(xiàn)《：y=x+1與C:V=2px（p>0）相切，

所以△=4〃2—8〃=0=p=2,

拋物線(xiàn)。的方程為丁二41

【小問(wèn)2詳解】

由（1）可知尸（1,0）,

設(shè)4:x=my十1,

聯(lián)立《可得）3—力町，—4=0,

x=my+1

設(shè),4（與,）1）,8（工2，%）,）1>0，可得T

[y\+y2=4m

,**E（—1,1）,；.AE=（-1—%/—yj,BE=（—l—々J—乃），

因?yàn)槠撸ㄒ?,1）,A￡J_8石，所以豆=0，

則（一1一a）（一1一七）+（1—%）（1—%）=。,

所以（〃明+2）（/ny2+2）+（1-y）（1-%）=。

即5+（2加-l）（y+%）+（〃/+l）y%=0

所以5+4加（2根-1）-4（/+]）=o,即4>一4m+1=0,

解得m=-f

2

,I?

4：%=Qy+i，

即4：2x-)-2=0.

18.重慶八中舉辦拔河比賽，經(jīng)過(guò)預(yù)選賽最終確定由甲乙丙丁4支隊(duì)伍角逐冠軍.先進(jìn)行半決賽：將4支

隊(duì)伍采用抽簽的方式隨機(jī)分成2隊(duì)一組共兩組進(jìn)行比賽，每組的勝者再進(jìn)行最后的決賽.已知在任何一場(chǎng)

比賽中甲隊(duì)的獲勝概率均為2,乙隊(duì)的獲勝概率均為,，丙隊(duì)勝過(guò)丁隊(duì)的概率為;.

(1)求甲隊(duì)的奪冠概率.

(2)半決賽怎樣分組可以使丙隊(duì)的奪冠概率最大？

(3)求甲隊(duì)能與丁隊(duì)相遇的概率.

4

【答案】(1)-

⑵甲丁、乙丙⑶

【小問(wèn)1詳解】

2隊(duì)一組共有甲乙、丙??；甲丙、乙?。患锥?、乙丙，3種分組，

由于在第一場(chǎng)中，不含甲的那組無(wú)論誰(shuí)贏都可以，

o74

則每種分組下甲獲勝的概率均為］xlx-=-,

4(\11)4

則甲隊(duì)的奪冠的概率為1+鼻+1=—.

【小問(wèn)2詳解】

2111122

若甲乙、丙丁，則丙隊(duì)奪冠的概率為一X-X-+-X-X-=一；

3233239

1121215

若甲丙、乙丁，則丙隊(duì)奪冠的概率為二X=X7十二

33333227

2211217

若甲丁、乙丙，則丙隊(duì)奪冠的概率為7X；X；+；X；X二二)；

33333227

則半決賽按照甲丁、乙丙分組可以使內(nèi)隊(duì)的奪冠概率最大.

【小問(wèn)3詳解】

211

若甲乙、丙丁，則甲隊(duì)與丁隊(duì)相遇的概率為一'一二一：

323

224

若甲丙、乙丁，則甲隊(duì)與丁隊(duì)相遇的概率為二乂7=一；

339

若甲丁、乙丙，則甲隊(duì)與丁隊(duì)相遇的概率為1，

則甲隊(duì)與丁隊(duì)相遇的概率為!x?+1x±+!xi=H.

3339327

19.已知函數(shù)=m+1卜-'.

(1)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性.

(2)當(dāng)〃2=0時(shí)，/(x)+/(-A)<2eav2,求a的取值范圍.

【答案】(1)答案見(jiàn)詳解

1

（2）5,+8

【小問(wèn)1詳解】

由/（工）=（如2+"z+l）e-'，則/'（/）=（一〃優(yōu)2+2/71.加-1）?-"xeR,

令且（工）=一爾2+2mx-m-\=-in（x-Vf-1,

當(dāng)掰NO時(shí),有g(shù)(x)v0,即/"(力<0,所以/(力在R上單調(diào)遞減;

當(dāng)〃z<0時(shí)，一〃a2+2〃氏一加一1=0，A=4/H2-4m（A/2+1）=-4m>0,

方程的兩根為％=l+f,占=1一立還，且占＜與，

ni"m