第18講圓與圓的位置關(guān)系4種常見(jiàn)考法歸類

1.能根據(jù)給定圓的方程，判斷圓與圓的位置關(guān)系.

2.能用直線和圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題，體會(huì)用代數(shù)方法處理幾何問(wèn)題的思想.

［由基礎(chǔ)知A］

，iiiiiiiMiiiniiiiaiiiiuiiiiaiMiiiiiiii

知識(shí)點(diǎn)1圓與圓的位置關(guān)系

1.種類：圓與圓的位置關(guān)系有五種，分別為外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含.

2.判定方法

(1)幾何法：若兩圓的半徑分別為門，2兩圓連心線的長(zhǎng)為力則兩圓的位置關(guān)系的判斷方法如下:

位置關(guān)系外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含

圖示0?金電電

d與乃，n的\r\—r^<d<

4>r1+，2d=ri+n4=|八一心|d<\n-r2\

關(guān)系n+n

(2)代數(shù)法：設(shè)兩圓的一般方程為

Ci：?+)2+。工+臼)，+尸］=0(5+在一4/|>0),

Q：『+9+。5+&、+尸2=0(小+房-4B>0)，

X24-3J2+DIX4-EIV4-FI=0>

聯(lián)立方程得則方程組解的個(gè)數(shù)與兩圓的位置關(guān)系如下:

jr++D2X+B=0,

方程組解的個(gè)數(shù)2組1組0組

兩圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)2個(gè)1個(gè)0個(gè)

兩圓的位置關(guān)系相交內(nèi)切或外切外離或內(nèi)含

注：(1)圓和圓相離，兩圓無(wú)公共點(diǎn)，它包括外離和內(nèi)含；

(2)圓和圓相交，兩圓有兩個(gè)公共點(diǎn)；

(3)圓和圓相切，兩圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，它包括內(nèi)切和外切.

(4)圓與圓的位置關(guān)系不能簡(jiǎn)單仿照直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法將兩個(gè)方程聯(lián)立起來(lái)消元后用判別

式判斷，因?yàn)楫?dāng)方程組有一組解時(shí)，兩圓只有一個(gè)交點(diǎn)，兩圓可能外切，也可能內(nèi)切；當(dāng)方程組無(wú)解時(shí)，

兩圓沒(méi)有交點(diǎn)，兩圓可能外離，也可能內(nèi)含.

知識(shí)點(diǎn)2圓與圓位置關(guān)系的應(yīng)用

設(shè)圓Ci：/+產(chǎn)+。述+Eiy+E=O,①

圓C2：f+)2+。2X+&)，+“2=0，②

若兩圓相交，則有一條公共弦，由①一②，得

(。1一D2)X+(￡1-&?+Q—戶2=0.③

方程③表示圓G與C2的公共弦所在直線的方程.

(1)當(dāng)兩圓相交時(shí)，兩圓方程相減，所得的直線方程即兩圓公共弦所在的直線方程，這一結(jié)論的前提是

兩圓相交，如果不確定兩圓是否相交，兩圓方程相減得到的方程不一定是兩圓的公共弦所在的直線方程.

(2)兩圓公共弦的垂直平分線過(guò)兩圓的圓心.

(3)求公共弦長(zhǎng)時(shí)，幾何法比代數(shù)法簡(jiǎn)單易求.

兩圓公共弦長(zhǎng)的求法

兩圓公共弦長(zhǎng)，在其中一圓中，由弦心距d,半弦長(zhǎng)(半徑，?所在線段構(gòu)成直角三角形，利用勾股定

理求解.

癡康3一圓可圓的公石歿

1、公切線的條數(shù)

與兩個(gè)圓都相切的直線叫做兩圓的公切線，圓的公切線包括外公切線和內(nèi)公切線兩種.

兩圓外離兩圓外切兩圓相交兩圓內(nèi)切兩圓內(nèi)含

有2條外公切線和2條內(nèi)公切線，有2條外公切線和1只有2條外公切線只有1條外公切無(wú)公切線

共4條條內(nèi)公切線，共3條；線

2、公切線的方程

知識(shí)點(diǎn)4圓系方程

兩圓相交時(shí)，表示公共弦方程；兩圓相切時(shí)，表示公切線方程.

(豳解題策略］

U判斷兩圓的位置關(guān)系的兩種方法

(1)幾何法：將兩圓的圓心距〃與兩圓的半徑之差的絕對(duì)值，半徑之和進(jìn)行比較，進(jìn)而判斷出兩圓的位

置關(guān)系，這是在解析幾何中主要便用的方法.

(2)代數(shù)法：將兩圓的方程組成方程組，通過(guò)解方程組，根據(jù)方程組解的個(gè)數(shù)進(jìn)而判斷兩圓位置關(guān)系.

2、圓系方程

一般地過(guò)圓G：『+尸+。述+臼y+K=O與圓Q：f+尸+?！?&>+巳=0交點(diǎn)的圓的方程可設(shè)為：

r+,2+。/+七1)+尸|+，/+)2+。2%+殳)，+尸2)=0(2二-1),然后再由其他條件求出入即可得圓的方程.

3、兩圓相交時(shí)，公共弦所在的直線方程

若圓G：f+)?+。/+臼y+H=O與圓Q：/+丁+?！?%>4尸2=0相交，則兩圓公共弦所在直線的

方程為—D2)X+(E|-E)y+F\-F2=0.

4、公共弦長(zhǎng)的求法

(1)代數(shù)法：將兩圓的方程聯(lián)立，解出交點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出弦長(zhǎng).

(2)幾何法：求出公共弦所在直線的方程，利用圓的半徑、半弦長(zhǎng)、弦心距構(gòu)成的直角三角形，根據(jù)勾

股定理求解.

5、求兩圓的相交弦的垂直平分線的方程即為經(jīng)過(guò)兩圓的圓心的直線方程

Q考點(diǎn)剖析

考點(diǎn)一：圓與圓位置關(guān)系的判斷

<-)判斷圓與圓的位置關(guān)系

A.相切B.相交C.內(nèi)含D.外離

【答案】B

【分析】根據(jù)給定條件，求出兩圓的圓心和半徑，并計(jì)算兩圓的圓心距即可判斷作答.

所以兩圓相交.

故選:B

A.相交B.相離C.外切D.內(nèi)切

【答案】C

【分析】利用兩圓外切的定義判斷即可.

故選:C.

【答案】相交

???G與G的位置關(guān)系是相交.

【答案】1（2,3均可）答案不唯一

【分析】根據(jù)題意，由已知利用圓與圓的位置關(guān)系即可求解.

故答案為：1（2,3均可）

A.6B.5C.4D.3

【答案】C

故選：C.

【答案】2

【分析】計(jì)算兩圓的圓心距，令圓心距等于兩圓半徑之差，結(jié)合基本不等式求解最小值即可.

故答案為：2.

考點(diǎn)二：與圓相交有關(guān)的問(wèn)題

（一）求兩圓的交點(diǎn)坐標(biāo)

【答案】C

【分析】聯(lián)立兩圓的方程，解方程組，即可求得答案.

故透:C

【分析】由兩圓的方程得兩圓心坐標(biāo)，兩圓心所在直線的方程即為所求直線方程，

24

A.12B.6C.24D.—

5

【答案】A

（二）圓系方程的應(yīng)用

【分析】求出兩圓的交點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出所求圓的一般方程，將三點(diǎn)坐標(biāo)代入，解出參數(shù)，可得答案.

【分析】根據(jù)過(guò)兩圓交點(diǎn)的圓系方程設(shè)出所求圓的方程，并求出圓心坐標(biāo)，把圓心坐標(biāo)代入直線/的方程,

從而求出圓的方程.

（三）求兩圓公共弦方程

【分析】判斷兩圓相交，將兩圓方程相減即可求得答案.

【答案】D

【分析】由兩圓方程相減即可得公共弦的方程.

【詳解】將兩個(gè)圓的方程相減，得3x-4y+6=0.

故選：D.

【分析】求出產(chǎn),得到圓C,兩網(wǎng)相減得到相交弦方程.

【答案】A

故選:A.

（四）求兩圓公共弦長(zhǎng)

⑴求圓C1與圓g的公共弦長(zhǎng)；

【答案】（1）26

【分析】（1）將兩圓方程作差可求出公共弦的方程，然后求出圓心G到公共弦的距離，再利用弦心距，半

徑和弦的關(guān)系可求得答案，

【詳解】（1）將兩圓的方程作差即可得出兩圓的公共弦所在的直線方程，

所以公共弦長(zhǎng)為2G.

（2）解法一：

解法二：

【答案】D

故選:D.

（1）求圓。的方程；

【分析】（I）由題意求得圓的半徑，即可求得答案；

（2）將兩圓方程相減，求出兩圓的公共弦方程，根據(jù)弦長(zhǎng)、弦心距以及圓的半徑之間的關(guān)系即可求得答案.

變式3.（2021秋?高二課時(shí)練習(xí)）若圓O：/+>2=5與圓O/：（x—〃?）2+），2=20（〃?￡陽(yáng)相交于4B兩點(diǎn),

且兩圓在點(diǎn)A處的切線互相垂直，則直線AB的方程為；線段AB的長(zhǎng)為.

【答案】x=±\4

【詳解】連接。O，記48與。。的交點(diǎn)為C,如圖所示，在Rs00/4中，|。川=山，1041=2石,

直線八8的方程為x=±l.

B.8c.C或1D.V5

【答案】D

【分析】?jī)蓤A方程相減可得公共弦所在直線方程，后由垂徑定理結(jié)合圓。2圓心與半徑表達(dá)式可得答案.

故選：D.

【答案】D

如圖，當(dāng)兩圓相交且相交弦經(jīng)過(guò)小圓圓心，也即大圓圓心在小圓上時(shí)，兩圓公共弦長(zhǎng)最大，最大值為小圓

的直徑，即最大值為2.

故選:D.

考點(diǎn)三：兩圓的公切線問(wèn)題

（一）圓的公切線條數(shù)

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】先判斷圓與圓的位置關(guān)系，從而可確定兩圓的公切線條數(shù).

所以兩圓的公切線有2條.

故選:B.

A.G與G的公切線恰有4條

c.G與G相交弦的弦長(zhǎng)為F

【答案】BD

【分析】由根據(jù)兩圓之間的位置關(guān)系確定公切線個(gè)數(shù)；如果兩I員I相交，進(jìn)行兩圓方程的做差可以得到相交

弦的直線方程；通過(guò)垂徑定理可以求弦長(zhǎng)；兩圓上的點(diǎn)的最長(zhǎng)距離為圓心距和兩半徑之和，逐項(xiàng)分析判斷

即可.

故兩圓相交，所以C1與G的公切線恰有2條，故A錯(cuò)誤;

故選:BD

A.1條B.2條C.3條D.4條

【答案】D

【分析】由已知可推得，直線/是圓C與圓力的公切線.根據(jù)兩圓的圓心、半徑，推得兩圓的位置關(guān)系，即可

得出答案.

所以，直線/是圓C與圓5的公切線.

所以，兩圓外離，所以兩圓的公切線有4條，

即滿足條件的直線/有4條.

故選：D.

【分析】根據(jù)兩圓內(nèi)切由圓心距與半徑關(guān)系列出方程求〃，聯(lián)立圓的方程求出切點(diǎn)，根據(jù)圓的切線性質(zhì)得出

斜率即可求解.

【詳解】如圖，

【分析】根據(jù)兩圓相交即可利用圓心距與半徑的關(guān)系求解.

【詳解】若圓。與圓C2有且僅有兩條公切線時(shí)，則兩圓相交,

A16R32c16

'?飛B.不C.瓦

【答案】A

故選：A

（二）圓的公切線方程

【分析】先判斷兩圓位置關(guān)系，再分情況依次求解可得.

由兩圓的圓心都在X軸上，則公切線的斜率一定存在，

【答案】ABC

【分析】在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出兩圓圖象，由兩圓相離可知共有4條切線，再利用對(duì)稱性設(shè)出直線方程，由

點(diǎn)到直線距離公式即可求得切線方程.

在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出兩圓圖象，婦下圖所示：

又兩圓心到x軸的距離都等于其半徑，所以X軸是其中一條公切線，即A正確;

故選：ABC

（二）圓的公切線長(zhǎng)

A.圓C］與圓。2相切

B.圓G與圓公切線的長(zhǎng)度為0

【答案】BCD

【分析】求出兩圓圓心坐標(biāo)與半徑，求出圓心距，即可判斷A,B,兩圓方程作差即可得到公共弦方程，從

而判斷C,求出兩圓圓心到公共弦的距離，從而取出公共部分的面積，從而判斷D.

故選:BCD

【答案】ACD

故選：ACD

c.G與。G的公切線的長(zhǎng)度為2石

【答案】AD

【分析】由圓與圓的位置關(guān)系，直線方程，圓的方程對(duì)選項(xiàng)逐一判斷，

故選:AD

(1)判斷圓A與圓8是否相交，若相交，求過(guò)兩交點(diǎn)的直線方程及兩交點(diǎn)間的距離；若不相交，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(2)求兩圓的公切線長(zhǎng).

⑵".

【分析】(1)根據(jù)圓心距判斷圓的位置關(guān)系，再由兩圓方程相減得出公共弦所在直線方程，由幾何法求出

弦長(zhǎng)；

(2)根據(jù)公切線的性質(zhì)，利用圓心距、半徑差、公切線構(gòu)成的直角三角形求解.

???兩圓相交，

此即為過(guò)兩圓交點(diǎn)的直線方程.

設(shè)兩交點(diǎn)分別為C、D，則4r里直平分線段CD,

考點(diǎn)四：圓與圓的最值問(wèn)題

B.歸。的最大值為加

2

C.兩個(gè)圓心所在的直線斜率為

【答案】AC

【分析】根據(jù)圓心距結(jié)合兩圓半徑可判斷兩圓的位置關(guān)系，故可判斷D的正誤，求出爐。|的最值后可判斷

AB的正誤，利用公式可求連心線的斜率，故可判斷C的正誤.

故A正確，B不正確；

故選：AC.

A.兩圓外離B.|PQ|的最大值為9

【答案】ABC

【分析】將兩圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，求出兩圓的圓心和半徑，再逐項(xiàng)分析.

故選：ABC.

【答案】BD

故選：BD.

A.1B.72C.73D.2

【答案】D

【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合等腰三角形性質(zhì)確定頂角最大的條件，再借助直角三角形求解作答.

［尊真題演練'

-------------------IIIIIIIIIIIIIUIIIIMIIIIIIIIIIIIIIIIII1I---------------------

A.內(nèi)切B.相交C.外切D.相離

【答案】B

考點(diǎn)：圓與圓的位置關(guān)系.

A.內(nèi)切B.相交C.外切D.相離

【答案】B

【答案】4

【分析】先判斷兩圓位置關(guān)系，分情況討論即可.

【詳解】【方法一］:

（填一條即可）

［方法二］:

即為過(guò)兩圓公共切點(diǎn)的切線方程,

［方法三］:

如圖,

［聯(lián)過(guò)關(guān)檢測(cè)

------------------IIIIIIIIIIIIIIIIIIIBIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII-------------------

一、單選題

A.相交B.內(nèi)切C.外切D.外離

【答案】B

【分析】由兩圓的位置關(guān)系計(jì)算即可.

故選:B

A.1條B.2條C.3條D.4條

【答案】A

故選：A

故選：A.

A.5B.3C.2D.1

【答案】A

與圓M相切，故C錯(cuò)誤；

對(duì)稱，故D錯(cuò)誤：

故選:B

二、多選題

A.圓。與圓C有四條公切線

【答案】ABD

【分析】對(duì)于A,根據(jù)兩圓心之間的距離與半徑和的比較，確定兩圓的位置關(guān)系，可得答案;

對(duì)于B,根據(jù)圓外離的基本性質(zhì)，可得答案；

對(duì)于C,根據(jù)公切線與圓心連線的位置關(guān)系以及距離，建立方程，可得答案；

對(duì)于D,根據(jù)直線與圓相切的性質(zhì)，可得答案.

故選:ABD.

【答案】AC

故選：AC.

A.曲線W圍成的封閉圖形面積為4+2兀

【答案】ACD

【分析】A選項(xiàng)可將曲線W圍成的封閉圖形可分割為一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形和四個(gè)半徑為1的相同的半圓,

即可判斷；

B選項(xiàng)可直接由圖討論判斷對(duì)錯(cuò)；

C選項(xiàng)可由圓心到直線的距離等于半徑，求出公切線；

【詳解】曲線W圍成的封閉圖形可分割為一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正力形和四個(gè)半徑為1的相同的半圓，

故選：ACD.

三、填空題

【分析】利用己知條件求解〃，即可得到圓的方程，設(shè)出8的坐標(biāo)，化簡(jiǎn)向量的數(shù)量積