方程實際問題教學設計案例匯編引言：方程實際問題教學的價值與挑戰(zhàn)方程作為數(shù)學的核心工具之一，其實際應用是連接數(shù)學理論與現(xiàn)實世界的橋梁。在中學數(shù)學教學中，方程實際問題的教學不僅關乎學生對代數(shù)知識的掌握，更在于培養(yǎng)其數(shù)學建模思想、邏輯推理能力和解決實際問題的素養(yǎng)。然而，如何將抽象的方程概念與復雜多變的現(xiàn)實情境有機結(jié)合，引導學生從紛亂的實際問題中提煉等量關系，構(gòu)建方程模型，始終是教學的重點與難點。本匯編旨在通過一系列精心設計的教學案例，探討方程實際問題教學的有效路徑與方法，為一線教師提供可借鑒的實踐參考。一、方程實際問題教學設計的基本原則在進入具體案例之前，有必要明確方程實際問題教學設計應遵循的基本原則，這些原則將貫穿于后續(xù)各個案例之中：1.情境真實性與關聯(lián)性原則：問題情境應盡可能來源于學生的生活經(jīng)驗或社會熱點，或與其他學科知識相聯(lián)系，以增強問題的吸引力和學生的代入感。2.問題驅(qū)動與思維引導原則：以具有挑戰(zhàn)性的問題為核心，引導學生經(jīng)歷“問題情境—建立模型—求解驗證—拓展反思”的完整過程。3.循序漸進與分層遞進原則：問題的復雜度、抽象程度應逐步提升，從單一關系到多重關系，從簡單情境到復雜情境，照顧不同認知水平的學生。4.模型思想與方法滲透原則：強調(diào)從實際問題中抽象出數(shù)學模型（即方程）的過程，引導學生感悟“未知量”的設定技巧、等量關系的尋找策略。5.合作探究與個性發(fā)展原則：鼓勵學生獨立思考基礎上的合作交流，允許學生采用不同的策略解決問題，尊重學生的個性化表達。6.反思評價與拓展延伸原則：注重解題后的反思，包括對結(jié)果合理性的檢驗、對解題過程的回顧、對方法的總結(jié)，并適當進行變式訓練或拓展延伸。二、教學案例匯編案例一：行程問題——相遇與追及的奧秘教學目標：1.知識與技能：學生能分析行程問題中相遇與追及的基本情境，找出其中的等量關系，列出一元一次方程解決實際問題。2.過程與方法：通過畫線段圖等方式幫助學生直觀理解題意，引導學生經(jīng)歷分析問題、設元、列方程、解方程、檢驗的完整過程。3.情感態(tài)度與價值觀：感受方程在解決運動問題中的優(yōu)越性，體會數(shù)學與生活的密切聯(lián)系，培養(yǎng)學生的空間想象能力和邏輯分析能力。教學重難點：*重點：分析相遇與追及問題中的等量關系，正確列出方程。*難點：理解“同時出發(fā)”、“相向而行”、“同向而行”、“相遇”、“追上”等關鍵詞的含義，并將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言和等量關系。教學過程：(一)情境創(chuàng)設，引入新課教師活動：“同學們，我們每天上學、放學途中，是否觀察過汽車、自行車的行駛？如果兩輛車從不同地點出發(fā)，它們之間的距離會如何變化？今天，我們就來探索行程中的數(shù)學奧秘，看看方程如何幫助我們解決這些問題?！闭故疽环唵蔚男谐搪肪€圖（如A、B兩地），提出問題：“如果甲、乙兩人分別從A、B兩地出發(fā)，他們會怎樣運動？可能出現(xiàn)哪些情況？”（引導學生說出相遇、追及等）(二)問題探究，合作分析問題1（相遇問題）：A、B兩地相距若干千米，甲、乙兩人分別從A、B兩地同時出發(fā)，相向而行。甲的速度是每小時行a千米，乙的速度是每小時行b千米，經(jīng)過t小時兩人相遇。請問A、B兩地相距多少千米？（此處先給出含有字母的一般性問題，引導學生從根本上理解相遇問題的等量關系：甲路程+乙路程=總路程）學生活動：獨立思考，嘗試用自己的語言描述等量關系，小組討論交流。教師引導：“‘相向而行’意味著什么？‘相遇’又意味著什么？兩人所用的時間有什么關系？”通過提問和學生的回答，共同總結(jié)出相遇問題的核心等量關系：甲走的路程+乙走的路程=A、B兩地的距離。并板書：s_甲+s_乙=s_總。問題2（具體化相遇問題）：A、B兩地相距若干千米，甲、乙兩人分別從A、B兩地同時出發(fā)，相向而行。甲每小時走5千米，乙每小時走4千米，經(jīng)過3小時兩人相遇。問A、B兩地相距多少千米？（此問題可先用算術方法解決，再引導用方程解決，對比兩種方法，突出方程的一般性）若將問題改為：“A、B兩地相距36千米，甲、乙兩人分別從A、B兩地同時出發(fā)，相向而行。甲每小時走5千米，乙每小時走4千米，問經(jīng)過幾小時兩人相遇？”此時，算術方法略顯不便，自然過渡到方程解法的必要性。教師引導學生畫線段圖表示題意，找出等量關系：甲走的路程+乙走的路程=36千米。設經(jīng)過x小時兩人相遇，則甲走了5x千米，乙走了4x千米。列方程：5x+4x=36。解方程，檢驗，并作答。(三)變式訓練，深化理解（追及問題）教師活動：“剛才我們研究了相向而行的相遇問題。如果兩人從同一地點出發(fā)，或者從不同地點出發(fā)但同向而行，又會發(fā)生什么呢？”出示問題：“甲、乙兩人都從學校出發(fā)去圖書館，甲先出發(fā)，每分鐘走60米，走了5分鐘后，乙才出發(fā)，乙每分鐘走80米。乙出發(fā)后經(jīng)過多少分鐘能追上甲？”學生活動：嘗試獨立分析，畫線段圖。小組討論：這是什么類型的問題？等量關系是什么？教師引導：“乙追上甲時，他們所走的路程有什么關系？他們所用的時間又有什么關系？”（當乙追上甲時，兩人所走的路程相等。甲所用的總時間比乙多5分鐘。）設乙出發(fā)后經(jīng)過x分鐘追上甲，則甲一共走了(x+5)分鐘。根據(jù)路程相等列方程：60(x+5)=80x。解方程，檢驗（注意結(jié)果的實際意義，若解出的x為負或時間不合理需討論），作答。(四)課堂小結(jié)，歸納提升師生共同回顧：1.行程問題常見的兩種類型：相遇、追及。2.解決行程問題的關鍵是什么？（找等量關系，畫線段圖是重要輔助手段）3.相遇問題的基本等量關系：路程和=總路程。追及問題（同地不同時或異地同向）的基本等量關系：路程差=初始距離或快者路程=慢者路程+初始距離（根據(jù)具體情境判斷）。4.解決方程實際問題的一般步驟。(五)作業(yè)布置與拓展1.基礎作業(yè)：教材對應練習題（相遇與追及各若干）。2.拓展思考：“如果甲、乙兩人從A、B兩地相向而行，甲先行一段時間后乙再出發(fā)，又如何列方程？”（為后續(xù)更復雜的行程問題做鋪墊）設計說明：本案例從學生熟悉的行程情境入手，通過從一般到具體，從簡單到復雜的問題設計，逐步引導學生掌握行程問題的分析方法。特別強調(diào)了線段圖這一直觀工具的運用，幫助學生突破“找等量關系”這一難點。通過相遇與追及的對比教學，加深學生對不同情境下等量關系的理解。問題的設置注重啟發(fā)性，鼓勵學生主動參與和合作探究。案例二：利潤問題——精打細算中的數(shù)學智慧教學目標：1.知識與技能：學生理解成本、售價、利潤、利潤率等基本概念及其之間的關系，能運用一元一次方程解決商品銷售中的利潤問題。2.過程與方法：引導學生在具體的銷售情境中，通過分析數(shù)量關系，經(jīng)歷建立方程模型解決實際問題的過程，提高分析和解決問題的能力。3.情感態(tài)度與價值觀：感受數(shù)學在經(jīng)濟生活中的應用，培養(yǎng)學生的經(jīng)濟意識和理性消費觀念，體驗數(shù)學的實用性。教學重難點：*重點：理解利潤、利潤率等概念，掌握利潤問題中的基本等量關系，能列出方程。*難點：理解“打折”、“進價”、“標價”、“售價”等商業(yè)術語的含義，以及它們之間的轉(zhuǎn)換關系。教學過程：(一)情境導入，激發(fā)興趣教師活動：“同學們，我們都有購物的經(jīng)歷。每逢節(jié)假日，商場里總會有各種促銷活動，比如‘打折’、‘滿減’、‘買一送一’等等。商家這樣做，是為了什么呢？（引導學生說出‘賺錢’、‘利潤’）那么，商家的利潤從何而來？如何計算呢？今天，我們就來學習如何用方程這一數(shù)學工具，揭開商品銷售中的利潤之謎?！?二)概念辨析，夯實基礎教師通過具體例子（如一件商品），與學生共同梳理以下概念：*進價（成本價）：商家購進商品時的價格。*標價（原價）：商家在商品上標出的價格，有時也叫定價。*售價（賣價）：商品實際賣出的價格。*利潤：售價減去進價所得的差額。即：利潤=售價-進價。*利潤率：利潤與進價的比率（通常用百分數(shù)表示）。即：利潤率=利潤/進價×100%。*折扣：商品按標價的若干成銷售。如“八折”即按標價的80%出售，售價=標價×折扣（折扣化為小數(shù)）。通過簡單填空或判斷，鞏固概念間的關系。例如：1.一件衣服進價100元，售價150元，利潤是多少？利潤率是多少？2.一本書標價20元，打九折出售，售價是多少？3.一種商品進價80元，想獲得20%的利潤，售價應定為多少？(三)問題探究，方程應用問題1（基本利潤問題）：某商店購進一批運動鞋，每雙進價為100元。商店老板希望每雙鞋能獲得20元的利潤，那么每雙鞋的售價應定為多少元？如果老板希望獲得的利潤率為25%，售價又應定為多少元？學生活動：獨立思考，利用已學概念解決。第一個小問直接利用“利潤=售價-進價”，易得售價=100+20=120元。第二個小問涉及利潤率，引導學生設售價為x元，根據(jù)利潤率公式列方程：(x-100)/100=25%。解方程得x=125元。（也可引導學生直接利用：售價=進價×(1+利潤率)）問題2（打折銷售問題）：某品牌的MP3原價為每個若干元，現(xiàn)因市場競爭激烈，商家決定按標價的八折出售。此時，每個MP3的利潤率為10%。已知這種MP3每個的進價為160元，那么它的標價是多少元？學生活動：嘗試分析，找出已知量、未知量以及等量關系。教師引導：“題目中涉及到哪些量？‘八折出售’是什么意思？‘利潤率為10%’又是以哪個量為基礎？”（已知：進價160元，折扣8折，利潤率10%；未知：標價。等量關系：售價-進價=利潤，而利潤=進價×利潤率，售價=標價×折扣。）設標價為x元，則售價為0.8x元。根據(jù)利潤關系列方程：0.8x-160=160×10%。解方程，檢驗，作答。問題3（稍復雜的利潤問題）：某商店將某種服裝按進價提高40%后標價，又以八折優(yōu)惠賣出，結(jié)果每件仍獲利15元。這種服裝每件的進價是多少元？學生活動：小組合作探究。這個問題的等量關系是什么？如何設元？教師引導：“標價是如何得到的？（進價提高40%）售價又是如何得到的？（標價打八折）利潤是多少？”設這種服裝每件的進價是x元。則標價為：x(1+40%)=1.4x元。售價為：1.4x×80%=1.12x元。根據(jù)利潤=售價-進價，列方程：1.12x-x=15。解方程得x=125。檢驗：將x=125代入，標價175元，八折后售價140元，利潤15元，符合題意。作答。(四)課堂小結(jié)，反思內(nèi)化1.利潤問題中的核心等量關系有哪些？（利潤=售價-進價；利潤率=利潤/進價；售價=標價×折扣）2.解決利潤問題，關鍵在于理清哪些量？（進價、標價、售價、利潤、利潤率、折扣等）3.在設元時，通常設哪個量為未知數(shù)更方便？（一般設進價或標價為未知數(shù)）(五)實踐作業(yè)，拓展延伸1.基礎作業(yè)：教材對應練習題。2.實踐調(diào)查：回家后，記錄一件你近期購買的商品，了解它的標價、折扣、你猜測的進價（或通過網(wǎng)絡查詢大致成本），嘗試計算商家可能獲得的利潤和利潤率。（不要求精確，主要體驗過程）設計說明：本案例緊密圍繞學生熟悉的購物情境，從概念的清晰界定入手，逐步深入到復雜的打折銷售問題。通過層層遞進的問題設計，引導學生理解各量之間的內(nèi)在聯(lián)系，特別是利潤率與利潤、進價的關系，以及折扣對售價的影響。強調(diào)對問題的整體分析和等量關系的準確把握，培養(yǎng)學生運用方程解決經(jīng)濟生活中實際問題的能力。案例三：綜合性問題——方案選擇與優(yōu)化教學目標：1.知識與技能：學生能綜合運用方程知識解決涉及多種方案選擇的實際問題，能通過建立方程模型比較不同方案的優(yōu)劣，并做出最優(yōu)選擇。2.過程與方法：經(jīng)歷分析復雜情境、辨別不同方案、建立方程、求解比較、做出決策的全過程，提升分析問題和解決復雜問題的能力。3.情感態(tài)度與價值觀：感受數(shù)學在決策中的應用價值，培養(yǎng)學生的優(yōu)化意識和理性思維，體會分類討論思想在數(shù)學中的應用。教學重難點：*重點：理解不同方案的具體內(nèi)容，找出每種方案下的數(shù)量關系，列出方程進行比較。*難點：在復雜情境中準確辨析不同方案的邊界條件，以及如何根據(jù)計算結(jié)果做出合理的方案選擇。教學過程：(一)情境引入，提出問題教師活動：“在生活中，我們經(jīng)常會遇到需要在多種方案中進行選擇的情況。比如，購買會員服務、選擇通訊套餐、租賃設備等等。不同的方案往往有不同的計費方式，如何選擇才能更省錢、更劃算呢？這就需要我們運用數(shù)學的智慧來分析和決策。今天，我們就來探討這類方案選擇與優(yōu)化的問題?！背鍪締栴}情境：“某同學想在假期參加一個英語培訓班，現(xiàn)有A、B兩家培訓機構(gòu)可供選擇，它們的收費標準如下：A機構(gòu)：一次性繳納會員費200元，然后每次上課再繳納30元。B機構(gòu)：不繳納會員費，每次上課繳納50元。假設該同學計劃參加的培訓班總課時數(shù)為x次。”(二)問題分析，方案建模教師引導：“面對這兩種不同的收費方案，我們首先要搞清楚，每種方案的總費用是如何計算的？”1.表示總費用：學生活動：分別用含x的代數(shù)式表示參加A、B兩家機構(gòu)的總費用y_A和y_B。y_A=200+30xy_B=50x2.提出核心問題：“該同學應該選擇哪家培訓機構(gòu)更合算