高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1遼寧省部分名校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期聯(lián)合質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.十三棱錐的頂點的個數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】十三棱錐的頂點的個數(shù)為.故選：B.2.已知空間向量，.若，則（）A.12 B.10 C. D.【答案】A【解析】因為，所以有：，解得，，所以.故選：A.3.已知為空間的一個基底，則下列各組向量中能構(gòu)成空間的一個基底的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】，A錯誤.設(shè)，不共面，所以不存在使其成立，故三個向量不共面，B正確.錯誤.錯誤.故選:B.4.在空間直角坐標系中，已知，，為整數(shù)，則的最小值為（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】∵，，∴，∴當時，為增函數(shù)，∴，∵為整數(shù)，∴的最小值為，故選：C.5.某三棱錐的體積為，表面積為，則該三棱錐的內(nèi)切球的直徑為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)該三棱錐的體積為，表面積為，該三棱錐的內(nèi)切球的半徑為，則，所以，故該三棱錐的內(nèi)切球的直徑為.故選：B.6.已知空間向量，，滿足，，，，則與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)與的夾角為，由，得，兩邊同時平方得，所以1，解得，又，所以.故選：D.7.刻畫空間彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容，用“曲率”刻畫空間彎曲性，規(guī)定：多面體頂點的曲率等于與多面體在該點的面角之和的差（多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制）.例如：正四面體每個頂點均有3個面角，每個面角均為，則其各個頂點的曲率均為.若正四棱錐的側(cè)面與底面所成角的正切值為，則四棱錐在頂點處的曲率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如圖，連接，，設(shè)，連接，則平面，取的中點，連接，，則由正四棱錐的結(jié)構(gòu)特征可知，所以為側(cè)面與底面所成的角，設(shè)，則，在中，，所以，又，所以，所以正四棱錐的每個側(cè)面均為正三角形，所以頂點每個面角均為，故正四棱錐在頂點處的曲率為.故選：D.8.在三棱錐中，為的重心，，若交平面于點，且，則的最小值為（）A. B. C.1 D.【答案】C【解析】∵，∴．∵，∴．∵四點共面，∴，即．∵，當且僅當時，等號成立，∴的最小值為1．故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知幾何體為長方體，則（）A.在方向上的投影向量為B.在方向上的投影向量為C.在方向上的投影向量為D.在方向上的投影向量為【答案】AC【解析】如圖：在長方體中，因為平面，所以，所以在方向上的投影向量為，即A正確；因為在中，，所以與不垂直，所以在方向上的投影向量不是，即B錯誤；因為，，所以在方向上的投影向量為，即C正確；雖然，但與不垂直，所以在方向上的投影向量不是，即D錯誤.故選：AC.10.在空間直角坐標系中，，，，，則（）A.點在平面內(nèi) B.四面體為正四面體C.點到直線的距離為 D.點到平面的距離為【答案】ABD【解析】對于A，因為，，，，所以，則，所以為線段的中點，所以點在平面內(nèi)，故A正確，對于B，因為，，，，所以由空間兩點距離公式得，所以四面體為正四面體，故B正確，對于C，因為四面體為正四面體，所以是正三角形，則點到直線的距離為，且為線段的中點，所以點到直線的距離為，故C錯誤，對于D，由題知，，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，所以點到平面的距離為，故D正確.故選：ABD.11.如圖，現(xiàn)有一個底面直徑為10cm，高為25cm的圓錐形容器，已知此刻容器內(nèi)液體的高度為15cm，忽略容器的厚度，則（）A.此刻容器內(nèi)液體的體積與容器的容積的比值為B.容器內(nèi)液體倒去一半后，容器內(nèi)液體的高度為C.當容器內(nèi)液體的高度增加5cm時，需要增加的液體的體積為D.當容器內(nèi)沉入一個棱長為的正方體鐵塊時，容器內(nèi)液體的高度為【答案】BCD【解析】作圓錐的軸截面如圖：設(shè)，由相似三角形可得：，所以，對于A：由于液體高度與圓錐高度之比，所以容器內(nèi)液體的體積與容器的容積的比值為，A錯誤．對于B：設(shè)容器內(nèi)液體倒去一半后液體的高度為，則，解得，B正確．對于C：因為，，所以當容器內(nèi)液體的高度增加5cm時，需要增加的液體的體積為，C正確．對于D:當容器內(nèi)沉入一個棱長為的正方體鐵塊時，設(shè)容器內(nèi)液體的高度為，體積，則，，D正確．故選:BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若空間向量，，，則_____.【答案】【解析】依題意得，解得.13.已知，，，四點都在球的球面上，且，，三點所在平面經(jīng)過球心，，，則點到平面的距離的最大值為________，球的表面積為________.【答案】4【解析】在中，，.根據(jù)正弦定理（為外接圓半徑），這里，，所以，解得.因為、、三點所在平面經(jīng)過球心，所以球的半徑.因為、、三點所在平面經(jīng)過球心，當垂直于平面時，點到平面的距離最大，這個最大值就是球的半徑，所以點到平面的距離的最大值為.則球的表面積為.14.在直四棱柱中，底面為菱形，，，為棱的中點，，分別為直線，上的動點，則線段的長度的最小值為_________.【答案】【解析】連接，，設(shè)，由題意，以為坐標原點，，的方向分別為，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，，.設(shè)與，都垂直的向量為，則，即，令，則，，所以為與，都垂直的一個向量，則線段的長度的最小值為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在正四棱錐中，為底面中心，，，分別為，，的中點，點在棱上，且.（1）證明：平面.（2）證明：平面平面.證明：（1）連接，正四棱錐中，為底面中心，則為中點，又為的中點，則有，平面，平面，所以平面（2），分別為，的中點，則有，平面，平面，則有平面，，分別為，的中點，有，又，則有，平面，平面，則有平面，平面，，所以平面平面.16.在正四棱臺中，.（1）若，四棱臺的體積為，求該四棱臺的高；（2）若，求的值.解：（1）設(shè)該正四棱臺的高為，則，解得.（2）在正四棱臺中，底面與底面均為正方形，且對應(yīng)邊互相平行，所以，，，過作，垂足為，易得，所以，所以.，故.17.如圖，在四棱錐中，底面平面.（1）證明：平面平面PAB.（2）若，，且異面直線PD與BC所成角的正切值為，求平面PAB與平面PCD所成二面角的正弦值.（1）證明：底面，平面，，，，平面，平面，平面PAD，平面平面，平面，，平面，又平面平面平面PAB（2）解：，直線PD與直線BC所成的角為，底面，平面，，即，設(shè)，則，以為原點，AB，AD，AP所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，設(shè)平面PCD的法向量為，則，取，則，得，易知平面PAB的一個法向量為，則，故平面PAB與平面PCD所成二面角的正弦值為.18.如圖，在正方體中，，.（1）當取得最小值時，求與的值.（2）設(shè)與平面所成的角為.①若，求的值；②證明：存在常數(shù)，使得為定值，并求該定值.（1）解：以，，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，如圖所示：則，，，，∴，，即，∴，當時，取得最小值，此時，∵，∴；（2）①解：，設(shè)平面的法向量為m=x,y,z則即，令，得，∵，∴，∵，∴，又，∴；②證明：由①知，則，，∴，∴存在常數(shù)，使得為定值，且該定值為2.19.空間向量的叉乘是三維歐幾里得空間中定義的一種新運算，它可以用來描述空間向量之間的垂直關(guān)系.設(shè)空間向量，，則叉乘的運算公式為（1）證明：.（2）設(shè)，，是平面內(nèi)不共線的三個不同的點.①證明：是平面的一個法向量.②說明的幾何意義（即說明的長度與方向的幾何意義）.（1）證明：因為，所以，所以.（2）①證明：設(shè)，，則，所以，，所以，，所以是平面的一個法向量；②解：設(shè)，，則，所以，而，，所以，又，所以，所以的幾何意義為等于以，為鄰邊所作的平行四邊形的面積，且的方向與平面垂直.遼寧省部分名校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期聯(lián)合質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.十三棱錐的頂點的個數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】十三棱錐的頂點的個數(shù)為.故選：B.2.已知空間向量，.若，則（）A.12 B.10 C. D.【答案】A【解析】因為，所以有：，解得，，所以.故選：A.3.已知為空間的一個基底，則下列各組向量中能構(gòu)成空間的一個基底的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】，A錯誤.設(shè)，不共面，所以不存在使其成立，故三個向量不共面，B正確.錯誤.錯誤.故選:B.4.在空間直角坐標系中，已知，，為整數(shù)，則的最小值為（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】∵，，∴，∴當時，為增函數(shù)，∴，∵為整數(shù)，∴的最小值為，故選：C.5.某三棱錐的體積為，表面積為，則該三棱錐的內(nèi)切球的直徑為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)該三棱錐的體積為，表面積為，該三棱錐的內(nèi)切球的半徑為，則，所以，故該三棱錐的內(nèi)切球的直徑為.故選：B.6.已知空間向量，，滿足，，，，則與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)與的夾角為，由，得，兩邊同時平方得，所以1，解得，又，所以.故選：D.7.刻畫空間彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容，用“曲率”刻畫空間彎曲性，規(guī)定：多面體頂點的曲率等于與多面體在該點的面角之和的差（多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制）.例如：正四面體每個頂點均有3個面角，每個面角均為，則其各個頂點的曲率均為.若正四棱錐的側(cè)面與底面所成角的正切值為，則四棱錐在頂點處的曲率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如圖，連接，，設(shè)，連接，則平面，取的中點，連接，，則由正四棱錐的結(jié)構(gòu)特征可知，所以為側(cè)面與底面所成的角，設(shè)，則，在中，，所以，又，所以，所以正四棱錐的每個側(cè)面均為正三角形，所以頂點每個面角均為，故正四棱錐在頂點處的曲率為.故選：D.8.在三棱錐中，為的重心，，若交平面于點，且，則的最小值為（）A. B. C.1 D.【答案】C【解析】∵，∴．∵，∴．∵四點共面，∴，即．∵，當且僅當時，等號成立，∴的最小值為1．故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知幾何體為長方體，則（）A.在方向上的投影向量為B.在方向上的投影向量為C.在方向上的投影向量為D.在方向上的投影向量為【答案】AC【解析】如圖：在長方體中，因為平面，所以，所以在方向上的投影向量為，即A正確；因為在中，，所以與不垂直，所以在方向上的投影向量不是，即B錯誤；因為，，所以在方向上的投影向量為，即C正確；雖然，但與不垂直，所以在方向上的投影向量不是，即D錯誤.故選：AC.10.在空間直角坐標系中，，，，，則（）A.點在平面內(nèi) B.四面體為正四面體C.點到直線的距離為 D.點到平面的距離為【答案】ABD【解析】對于A，因為，，，，所以，則，所以為線段的中點，所以點在平面內(nèi)，故A正確，對于B，因為，，，，所以由空間兩點距離公式得，所以四面體為正四面體，故B正確，對于C，因為四面體為正四面體，所以是正三角形，則點到直線的距離為，且為線段的中點，所以點到直線的距離為，故C錯誤，對于D，由題知，，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，所以點到平面的距離為，故D正確.故選：ABD.11.如圖，現(xiàn)有一個底面直徑為10cm，高為25cm的圓錐形容器，已知此刻容器內(nèi)液體的高度為15cm，忽略容器的厚度，則（）A.此刻容器內(nèi)液體的體積與容器的容積的比值為B.容器內(nèi)液體倒去一半后，容器內(nèi)液體的高度為C.當容器內(nèi)液體的高度增加5cm時，需要增加的液體的體積為D.當容器內(nèi)沉入一個棱長為的正方體鐵塊時，容器內(nèi)液體的高度為【答案】BCD【解析】作圓錐的軸截面如圖：設(shè)，由相似三角形可得：，所以，對于A：由于液體高度與圓錐高度之比，所以容器內(nèi)液體的體積與容器的容積的比值為，A錯誤．對于B：設(shè)容器內(nèi)液體倒去一半后液體的高度為，則，解得，B正確．對于C：因為，，所以當容器內(nèi)液體的高度增加5cm時，需要增加的液體的體積為，C正確．對于D:當容器內(nèi)沉入一個棱長為的正方體鐵塊時，設(shè)容器內(nèi)液體的高度為，體積，則，，D正確．故選:BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若空間向量，，，則_____.【答案】【解析】依題意得，解得.13.已知，，，四點都在球的球面上，且，，三點所在平面經(jīng)過球心，，，則點到平面的距離的最大值為________，球的表面積為________.【答案】4【解析】在中，，.根據(jù)正弦定理（為外接圓半徑），這里，，所以，解得.因為、、三點所在平面經(jīng)過球心，所以球的半徑.因為、、三點所在平面經(jīng)過球心，當垂直于平面時，點到平面的距離最大，這個最大值就是球的半徑，所以點到平面的距離的最大值為.則球的表面積為.14.在直四棱柱中，底面為菱形，，，為棱的中點，，分別為直線，上的動點，則線段的長度的最小值為_________.【答案】【解析】連接，，設(shè)，由題意，以為坐標原點，，的方向分別為，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，，.設(shè)與，都垂直的向量為，則，即，令，則，，所以為與，都垂直的一個向量，則線段的長度的最小值為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在正四棱錐中，為底面中心，，，分別為，，的中點，點在棱上，且.（1）證明：平面.（2）證明：平面平面.證明：（1）連接，正四棱錐中，為底面中心，則為中點，又為的中點，則有，平面，平面，所以平面（2），分別為，的中點，則有，平面，平面，則有平面，，分別為，的中點，有，又，則有，平面，平面，則有平面，平面，，所以平面平面.16.在正四棱臺中，.（1）若，四棱臺的體積為，求該四棱臺的高；（2）若，求的值.解：（1）設(shè)該正四棱臺的高為，則，解得.（2）在正四棱臺中，底面與底面均為正方形，且對應(yīng)邊互相平行，所以，，，過作，垂足為，易得，所以，所以.，故.17.如圖，在四棱錐中，底面平面.（1）證明：平面平面PAB.（2）若，，