高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省廣州市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知圓：，圓：，則兩圓的位置關(guān)系為（）A.外離 B.相交 C.相切 D.內(nèi)含【答案】B【解析】對圓，圓心，半徑.圓：，圓心，半徑.圓心距：.因為，所以兩圓相交.故選：B.2.已知是橢圓：上一點，，是其左右焦點，則（）A.橢圓焦距為 B.C.橢圓的離心率 D.的面積的最大值是【答案】C【解析】如圖：根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：，得，，所以.所以：橢圓的焦距為：，故A錯；根據(jù)橢圓的定義：，故B錯；橢圓的離心率：，故C正確；當(dāng)點為橢圓短軸端點時，的面積最大，為，故D錯.故選：C.3.如圖，在平行六面體中，M為，的交點.若，，，則向量（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因為：.故選：D.4.柜子里有3雙不同的鞋，從中隨機(jī)地取出2只，則“取出的鞋不成雙”的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)柜子里的3雙不同的鞋為：，，.從中隨機(jī)地取出2只，所有的可能情況有：，，，，，，，，，，，，，，.共15種.其中“取出的鞋恰好成雙”的情況有：，，3種，“取出的鞋不成雙”的情況有：種.所以“取出的鞋不成雙”的概率為：.故選：D.5.斜率為的直線經(jīng)過拋物線的焦點，且與拋物線交于，兩點，則線段的長為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題知，拋物線方程為，所以拋物線焦點為，所以該直線方程為，即，聯(lián)立，得，設(shè)，則，所以.故選：A6.設(shè)直線的方程為，則直線的傾斜角的范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，所以，設(shè)其傾斜角為，當(dāng)時，直線為，，當(dāng)，直線的斜率，則，由正切函數(shù)性質(zhì)可知.故直線的傾斜角的范圍是，故選：C.7.在正四棱柱中，側(cè)棱，直線與平面所成角余弦值為，則該正四棱柱的體積等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如圖所示，以為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)底面正方形邊長為，則，則，設(shè)平面的法向量為，則，可取，所以，因直線與平面所成角的余弦值為，故直線與平面所成角的正弦值為，所以，解得，故正四棱柱的體積為，故選：B.8.雙曲線C的兩個焦點為，以C的實軸為直徑的圓記為D，過作D的切線與C交于M，N兩點，且，則C的離心率為（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】[方法一]：幾何法，雙曲線定義的應(yīng)用情況一M、N在雙曲線的同一支，依題意不妨設(shè)雙曲線焦點在軸，設(shè)過作圓的切線切點為B，所以，因為，所以在雙曲線的左支，，，，設(shè)，由即，則，，，，選A.情況二若M、N在雙曲線的兩支，因為，所以在雙曲線的右支，所以，，，設(shè)，由，即，則，，，所以，即，所以雙曲線的離心率.選C.[方法二]：答案回代法，特值雙曲線，過且與圓相切的一條直線為，

兩交點都在左支,，，則，，特值雙曲線，過且與圓相切的一條直線為，兩交點在左右兩支，在右支，，，則，[方法三]：依題意不妨設(shè)雙曲線焦點在軸，設(shè)過作圓的切線切點為，若分別在左右支，因為，且，所以在雙曲線的右支，又，，，設(shè)，，在中，有，故即，所以，而，，，故，代入整理得到，即，所以雙曲線的離心率，若均在左支上，同理有，其中為鈍角，故，故，即，代入，，，整理得到：，故，故，故選：AC.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對得部分分.9.下列四個正方體圖形中，l是正方體的一條對角線，點M、N、P分別為其所在棱的中點，能得出l⊥平面MNP的是（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】對于A選項：建立如圖所示坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為2，則，,則,,因為，所以，因為,所以，所以,且是平面內(nèi)的兩條相交直線，所以面，故A正確；對于B選項：建立如圖所示坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為2，則，,則,,因為，,所以，所以,但是與都不垂直，所以與面不垂直，故B錯誤；對于C選項：建立如圖所示坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為2，則，,則,,因為，所以，因為,所以，所以,且是平面內(nèi)的兩條相交直線，所以面，故C正確；對于D選項：建立如圖所示坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為2，則，,則,,因為，所以，因為,所以，所以,且是平面內(nèi)的兩條相交直線，所以面，故D正確；故選：ACD.10.一個正四面體的四個面分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，任意拋擲兩次，觀察它與地面接觸的面上的數(shù)字，事件A表示“第一次的數(shù)字小于3”，事件B表示“第二次的數(shù)字為奇數(shù)”，事件C表示“兩次的數(shù)字和為7”，則下列說法正確的是（）A. B.C.事件A和事件B相互獨立 D.事件B和事件C相互獨立【答案】BCD【解析】由題，，故事件A和事件B相互獨立，事件B和事件C相互獨立,故選項C、D正確.對于A選項，，故選項A錯誤；對于B選項，故選項B正確；故選：BCD.11.我們把由半橢圓與半橢圓：合成的曲線稱作“果圓”，其中，.如圖，設(shè)點，，是相應(yīng)橢圓的焦點，，和，，是“果圓”與x，y軸的交點，叫做“果圓”的頂點，是線段的中點，為“果圓”上任意一點.則（）A.若半橢圓方程為，則兩個半橢圓離心率的乘積為B.若是邊長為1的等邊三角形，則“果圓”部分方程為C.若，則D.若取得最小值，則為“果圓”的頂點【答案】BC【解析】對A：根據(jù)半橢圓的方程，可得：，，所以，該半橢圓的離心率為：；另外的半橢圓方程為：，其離心率為：.所以兩個半橢圓離心率的乘積為：，故A錯誤；對B：因為，，，且是邊長為1的等邊三角形，所以，，所以.所以半橢圓的方程分別為：和，故B正確；對C：因為且，所以.因為，所以，所以.故C正確；對D：因為，，所以.若點在半橢圓上，則.若，即時，在時取最小值，此時點不是“果圓”的頂點，故D錯誤.故選：BC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.過點，方向向量為的直線方程是______.【答案】【解析】因為直線的方向向量為，所以直線的斜率為：.又直線過點，所以直線方程為：，即.13.某圓拱形橋一孔圓拱如圖，圓拱跨度，拱高，建造時每間隔3m需要用一根支柱支撐，則_______m.【答案】3【解析】如圖：建立平面直角坐標(biāo)系.設(shè)過點的圓的方程為：.因為點，在圓上，所以，解得.所以圓的方程為：.令得：.又，所以.14.雙曲線具有以下光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的另一個焦點.由此可得，過雙曲線上任意一點的切線平分該點與兩焦點連線的夾角，已知，分別為雙曲線：的左，右焦點，為坐標(biāo)原點，過右支上一點作雙曲線的切線交軸于點，過點作，垂足為，則_______.【答案】【解析】如圖：根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：，得：，，.延長，交直線于點，由題意：平分，又，所以，且為中點.所以.又為中點，為中點，所以.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.一個袋子里有大小和質(zhì)地完全相同的4個球，其中3個紅球1個黃球，從中不放回地依次隨機(jī)摸出3個球.（1）寫出這個試驗的樣本空間并求第一次摸到紅球的概率；（2）分別求第二次，第三次摸到紅球的概率，并由此得到什么結(jié)論?解：（1）設(shè)三個紅球記為：，，，一個黃球記為：.從中不放回地依次隨機(jī)摸出3個球，該實驗的樣本空間為：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共有24個基本事件.第一次摸到紅球的基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，共18個.所以第一次摸到紅球的概率為：.（2）第二次摸到紅球的基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，共有18個.所以第二次摸到紅球的概率為：.第三次摸到紅球的基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，共18個.所以第三次摸到紅球的概率為：.結(jié)論：抽簽的概率與抽簽順序無關(guān).16.已知直線：與以C為圓心的圓交于A、B兩點.（1）當(dāng)時，求弦長；（2）當(dāng)面積為時，求的外接圓的方程.解：（1）當(dāng)時，直線：，以圓心半徑為2，圓，所以圓心到直線距離為，所以弦長.（2）設(shè)圓心到直線距離為，則弦長為，當(dāng)面積為時，或，所以或，解得，所以，聯(lián)立，解得．不妨設(shè)，設(shè)外接圓的方程為，將三點的坐標(biāo)代入所設(shè)圓的方程，得：，解得，所以外接圓的方程為．17.如圖，把的菱形紙片沿對角線翻折，E，F(xiàn)，G，H分別為，，，的中點，O是菱形對角線的交點.（1）證明：E，F(xiàn)，G，H四點共面；（2）若菱形紙片沿對角線翻折成直二面角，求折紙后異面直線，所成角余弦值；（3）若菱形紙片沿對角線翻折到使異面直線，的所成角為，求平面與平面的夾角的余弦值.（1）證明：如圖，連接.∵E，F(xiàn)，G，H分別為，，，的中點，∴，∴，∴E，F(xiàn)，G，H四點共面.（2）解：∵四邊形為菱形，，∴，為等邊三角形，.設(shè)菱形的邊長為2，則.∵二面角為直二面角，∴平面平面，∵平面平面，，平面，∴平面.以為原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，∴，故，∴異面直線，所成角的余弦值為.（3）解：設(shè)菱形的邊長為2，則.如圖，連接.∵為等邊三角形，∴，∵異面直線，的所成角為，∴，∵平面，，∴平面，∵平面，∴，∴.∵，平面，平面，平面平面，∴為二面角的平面角.∵，∴平面與平面的夾角的余弦值為.18.已知橢圓：的焦距為，點在橢圓上.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）點，，為橢圓上不同三點，且，關(guān)于原點對稱，以，為鄰邊作平行四邊形，已知平行四邊形存在內(nèi)切圓.（i）判斷該內(nèi)切圓是否為定圓，若不是，說明理由，若是，求出它的方程；（ii）求平行四邊形的面積的取值范圍.解：（1）易知，即，又點在橢圓上，所以.所以橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（2）（i）如圖：因為點，，為橢圓上不同三點，且，關(guān)于原點對稱，以，為鄰邊作平行四邊形，所以點也在橢圓上.又存在內(nèi)切圓，所以圓心必為，設(shè)圓的半徑為.所以點到直線，，，的距離相等，均為，又，，，的面積相等，所以，故為菱形.所以.當(dāng)直線存在斜率，且斜率不為0時，設(shè)直線：，由，不妨取.用代替，可得.由，即.當(dāng)直線斜率為0時，可取,，則，所以.當(dāng)直線不存在斜率時，類似可得：.所以該內(nèi)切圓為定圓，其方程為：.（ii）當(dāng)直線斜率為0或不存在時，.當(dāng)直線斜率存在且不為0時，令（），則，因為，所以，所以所以.綜上可知：.19.如圖，邊長為1的正方體中，M為底面上一動點，且滿足，過點M作垂直于，垂直于，直線與直線交于點P.（1）若以D為原點，為x軸，為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，求點P的軌跡方程.（2）以為直徑作圓，以圓為底面，為高作圓柱，是否存在一個與平面平行的平面，該平面與圓柱相交，所得截面面積為定值，若存在，確定平面的位置，并求截面的面積；若不存在，說明理由.解：（1）以題設(shè)建立平面直角坐標(biāo)系，并補(bǔ)充過原點D向上方向為z軸.設(shè)且，因為，所以，由,則，即，因為，，故，，設(shè)，由在上，所以，又因為在上，所以，故，有因為點滿足，將代入有，故點軌跡方程為，且；（2）先判斷在平面ABCD內(nèi)是否存在與平行的直線，使得被以為直徑的圓截得的弦長恒為定值，假設(shè)滿足條件的直線存在，其方程為，設(shè)，，的中點為，點的坐標(biāo)為.與為直徑的圓相交于點，，的中點為，則，，因為，所以，所以.令，得，此時為定值，故滿足條件的直線存在，其方程為，所以過點作一個與平面平行的平面，與圓柱相交，所得截面為矩形，底邊長為，高為1，面積為定值.廣東省廣州市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知圓：，圓：，則兩圓的位置關(guān)系為（）A.外離 B.相交 C.相切 D.內(nèi)含【答案】B【解析】對圓，圓心，半徑.圓：，圓心，半徑.圓心距：.因為，所以兩圓相交.故選：B.2.已知是橢圓：上一點，，是其左右焦點，則（）A.橢圓焦距為 B.C.橢圓的離心率 D.的面積的最大值是【答案】C【解析】如圖：根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：，得，，所以.所以：橢圓的焦距為：，故A錯；根據(jù)橢圓的定義：，故B錯；橢圓的離心率：，故C正確；當(dāng)點為橢圓短軸端點時，的面積最大，為，故D錯.故選：C.3.如圖，在平行六面體中，M為，的交點.若，，，則向量（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因為：.故選：D.4.柜子里有3雙不同的鞋，從中隨機(jī)地取出2只，則“取出的鞋不成雙”的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)柜子里的3雙不同的鞋為：，，.從中隨機(jī)地取出2只，所有的可能情況有：，，，，，，，，，，，，，，.共15種.其中“取出的鞋恰好成雙”的情況有：，，3種，“取出的鞋不成雙”的情況有：種.所以“取出的鞋不成雙”的概率為：.故選：D.5.斜率為的直線經(jīng)過拋物線的焦點，且與拋物線交于，兩點，則線段的長為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題知，拋物線方程為，所以拋物線焦點為，所以該直線方程為，即，聯(lián)立，得，設(shè)，則，所以.故選：A6.設(shè)直線的方程為，則直線的傾斜角的范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，所以，設(shè)其傾斜角為，當(dāng)時，直線為，，當(dāng)，直線的斜率，則，由正切函數(shù)性質(zhì)可知.故直線的傾斜角的范圍是，故選：C.7.在正四棱柱中，側(cè)棱，直線與平面所成角余弦值為，則該正四棱柱的體積等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如圖所示，以為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)底面正方形邊長為，則，則，設(shè)平面的法向量為，則，可取，所以，因直線與平面所成角的余弦值為，故直線與平面所成角的正弦值為，所以，解得，故正四棱柱的體積為，故選：B.8.雙曲線C的兩個焦點為，以C的實軸為直徑的圓記為D，過作D的切線與C交于M，N兩點，且，則C的離心率為（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】[方法一]：幾何法，雙曲線定義的應(yīng)用情況一M、N在雙曲線的同一支，依題意不妨設(shè)雙曲線焦點在軸，設(shè)過作圓的切線切點為B，所以，因為，所以在雙曲線的左支，，，，設(shè)，由即，則，，，，選A.情況二若M、N在雙曲線的兩支，因為，所以在雙曲線的右支，所以，，，設(shè)，由，即，則，，，所以，即，所以雙曲線的離心率.選C.[方法二]：答案回代法，特值雙曲線，過且與圓相切的一條直線為，

兩交點都在左支,，，則，，特值雙曲線，過且與圓相切的一條直線為，兩交點在左右兩支，在右支，，，則，[方法三]：依題意不妨設(shè)雙曲線焦點在軸，設(shè)過作圓的切線切點為，若分別在左右支，因為，且，所以在雙曲線的右支，又，，，設(shè)，，在中，有，故即，所以，而，，，故，代入整理得到，即，所以雙曲線的離心率，若均在左支上，同理有，其中為鈍角，故，故，即，代入，，，整理得到：，故，故，故選：AC.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對得部分分.9.下列四個正方體圖形中，l是正方體的一條對角線，點M、N、P分別為其所在棱的中點，能得出l⊥平面MNP的是（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】對于A選項：建立如圖所示坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為2，則，,則,,因為，所以，因為,所以，所以,且是平面內(nèi)的兩條相交直線，所以面，故A正確；對于B選項：建立如圖所示坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為2，則，,則,,因為，,所以，所以,但是與都不垂直，所以與面不垂直，故B錯誤；對于C選項：建立如圖所示坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為2，則，,則,,因為，所以，因為,所以，所以,且是平面內(nèi)的兩條相交直線，所以面，故C正確；對于D選項：建立如圖所示坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為2，則，,則,,因為，所以，因為,所以，所以,且是平面內(nèi)的兩條相交直線，所以面，故D正確；故選：ACD.10.一個正四面體的四個面分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，任意拋擲兩次，觀察它與地面接觸的面上的數(shù)字，事件A表示“第一次的數(shù)字小于3”，事件B表示“第二次的數(shù)字為奇數(shù)”，事件C表示“兩次的數(shù)字和為7”，則下列說法正確的是（）A. B.C.事件A和事件B相互獨立 D.事件B和事件C相互獨立【答案】BCD【解析】由題，，故事件A和事件B相互獨立，事件B和事件C相互獨立,故選項C、D正確.對于A選項，，故選項A錯誤；對于B選項，故選項B正確；故選：BCD.11.我們把由半橢圓與半橢圓：合成的曲線稱作“果圓”，其中，.如圖，設(shè)點，，是相應(yīng)橢圓的焦點，，和，，是“果圓”與x，y軸的交點，叫做“果圓”的頂點，是線段的中點，為“果圓”上任意一點.則（）A.若半橢圓方程為，則兩個半橢圓離心率的乘積為B.若是邊長為1的等邊三角形，則“果圓”部分方程為C.若，則D.若取得最小值，則為“果圓”的頂點【答案】BC【解析】對A：根據(jù)半橢圓的方程，可得：，，所以，該半橢圓的離心率為：；另外的半橢圓方程為：，其離心率為：.所以兩個半橢圓離心率的乘積為：，故A錯誤；對B：因為，，，且是邊長為1的等邊三角形，所以，，所以.所以半橢圓的方程分別為：和，故B正確；對C：因為且，所以.因為，所以，所以.故C正確；對D：因為，，所以.若點在半橢圓上，則.若，即時，在時取最小值，此時點不是“果圓”的頂點，故D錯誤.故選：BC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.過點，方向向量為的直線方程是______.【答案】【解析】因為直線的方向向量為，所以直線的斜率為：.又直線過點，所以直線方程為：，即.13.某圓拱形橋一孔圓拱如圖，圓拱跨度，拱高，建造時每間隔3m需要用一根支柱支撐，則_______m.【答案】3【解析】如圖：建立平面直角坐標(biāo)系.設(shè)過點的圓的方程為：.因為點，在圓上，所以，解得.所以圓的方程為：.令得：.又，所以.14.雙曲線具有以下光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的另一個焦點.由此可得，過雙曲線上任意一點的切線平分該點與兩焦點連線的夾角，已知，分別為雙曲線：的左，右焦點，為坐標(biāo)原點，過右支上一點作雙曲線的切線交軸于點，過點作，垂足為，則_______.【答案】【解析】如圖：根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：，得：，，.延長，交直線于點，由題意：平分，又，所以，且為中點.所以.又為中點，為中點，所以.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.一個袋子里有大小和質(zhì)地完全相同的4個球，其中3個紅球1個黃球，從中不放回地依次隨機(jī)摸出3個球.（1）寫出這個試驗的樣本空間并求第一次摸到紅球的概率；（2）分別求第二次，第三次摸到紅球的概率，并由此得到什么結(jié)論?解：（1）設(shè)三個紅球記為：，，，一個黃球記為：.從中不放回地依次隨機(jī)摸出3個球，該實驗的樣本空間為：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共有24個基本事件.第一次摸到紅球的基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，共18個.所以第一次摸到紅球的概率為：.（2）第二次摸到紅球的基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，共有18個.所以第二次摸到紅球的概率為：.第三次摸到紅球的基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，共18個.所以第三次摸到紅球的概率為：.結(jié)論：抽簽的概率與抽簽順序無關(guān).16.已知直線：與以C為圓心的圓交于A、B兩點.（1）當(dāng)時，求弦長；（2）當(dāng)面積為時，求的外接圓的方程.解：（1）當(dāng)時，直線：，以圓心半徑為2，圓，所以圓心到直線距離為，所以弦長.（2）設(shè)圓心到直線距離為，則弦長為，當(dāng)面積為時，或，所以或，解得，所以，聯(lián)立，解得．不妨設(shè)，設(shè)外接圓的方程為，將三點的坐標(biāo)代入所設(shè)圓的方程，得：，解得，所以外接圓的方程為．17.如圖，把的菱形紙片沿對角線翻折，E，F(xiàn)，G，H分別為，，，的中點，O是菱形對角線的交點.（1）證明：E，F(xiàn)，G，H四點共面；（2）若菱形紙片沿對角線翻折成直二面角，求折紙后異面直線，所成角余弦值；（3）若菱形紙片沿對角線翻折到使異面直線，的所成角為，求平面與平面的夾角的余弦值.（1）證明：如圖，連接.∵E，F(xiàn)，G，H分別為，，，的中點，∴，∴，∴E，F(xiàn)，G，H四點共面.（2）解：∵四邊形為菱形，，∴，為等邊三角形，.設(shè)菱形的邊長為2，則.∵二面角為直二面角，∴平面平面，∵平面平面，，平面，∴平面.以為原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，∴，故，∴異面直線，所成角的余弦值為.（3）解：設(shè)菱形的邊長