2025年統(tǒng)計學(xué)期末考試題庫：統(tǒng)計與決策假設(shè)檢驗試題考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每小題2分，共20分。請將正確選項的字母填在題后的括號內(nèi)。）1.在假設(shè)檢驗中，我們通常把需要重點考察的假設(shè)稱為（）。A.備擇假設(shè)B.原假設(shè)C.拒絕域D.檢驗統(tǒng)計量2.當(dāng)我們做出拒絕原假設(shè)的錯誤決策時，這種錯誤稱為（）。A.第一類錯誤B.第二類錯誤C.系統(tǒng)誤差D.隨機誤差3.在單樣本t檢驗中，當(dāng)樣本量n增大時，t分布的形狀（）。A.越來越向左偏B.越來越向右偏C.越來越接近標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布D.越來越分散4.在進行雙樣本t檢驗（假設(shè)檢驗）時，如果使用的是配對樣本，那么應(yīng)選擇的檢驗方法是（）。A.獨立樣本t檢驗B.單樣本t檢驗C.配對樣本t檢驗D.Z檢驗5.對于分類數(shù)據(jù)，如果我們要檢驗樣本的觀測頻數(shù)與期望頻數(shù)之間是否存在顯著差異，應(yīng)該使用的檢驗方法是（）。A.t檢驗B.F檢驗C.χ2檢驗D.相關(guān)性檢驗6.在假設(shè)檢驗中，P值是（）。A.在原假設(shè)為真時，得到當(dāng)前或更極端樣本結(jié)果的概率B.在備擇假設(shè)為真時，得到當(dāng)前或更極端樣本結(jié)果的概率C.拒絕域的臨界值D.檢驗統(tǒng)計量的具體數(shù)值7.對于雙側(cè)檢驗，如果檢驗的顯著性水平α=0.05，那么拒絕域位于分布的（）。A.左側(cè)5%B.右側(cè)5%C.左側(cè)2.5%和右側(cè)2.5%D.中央95%8.在方差分析（ANOVA）中，我們檢驗的是（）。A.多個總體的均值是否相等B.多個總體的方差是否相等C.兩個總體的均值是否相等D.兩個總體的方差是否相等9.如果一個假設(shè)檢驗的檢驗勢（Power）為0.80，這意味著當(dāng)備擇假設(shè)為真時，（）。A.有80%的概率拒絕原假設(shè)B.有80%的概率接受原假設(shè)C.有20%的概率犯第二類錯誤D.樣本量足夠大10.在統(tǒng)計決策中，假設(shè)檢驗為我們提供了一種系統(tǒng)的方法來（）。A.估計未知參數(shù)B.描述數(shù)據(jù)分布C.在不確定性下做出推斷和決策D.排除所有可能的錯誤二、填空題（每空2分，共20分。請將答案填在題中的橫線上。）1.假設(shè)檢驗的結(jié)論是否成立，不僅取決于檢驗統(tǒng)計量的值，還與__________有關(guān)。2.在單樣本均值檢驗中，如果總體方差未知且樣本量較小，應(yīng)選擇__________分布作為檢驗統(tǒng)計量的基礎(chǔ)。3.當(dāng)我們接受了原假設(shè)，但事實上原假設(shè)是不正確的，我們犯的是__________錯誤，其概率用β表示。4.根據(jù)樣本信息對總體參數(shù)做出區(qū)間估計的方法稱為__________。5.在進行兩個獨立樣本均值差異的t檢驗時，如果假設(shè)樣本來自的總體方差相等，應(yīng)使用__________（請寫明公式中分子的自由度和分母的自由度）來計算檢驗統(tǒng)計量。6.χ2檢驗不僅可以用于檢驗擬合優(yōu)度，還可以用于檢驗兩個分類變量之間是否__________。7.假設(shè)檢驗中的顯著性水平α，實際上代表了在__________的情況下，我們愿意犯第一類錯誤的概率。8.檢驗統(tǒng)計量是樣本統(tǒng)計量與__________之差，經(jīng)過標(biāo)準(zhǔn)化處理后得到的值。9.對于給定的樣本量n、總體方差σ2和顯著性水平α，假設(shè)檢驗的檢驗勢取決于我們設(shè)定的__________。10.統(tǒng)計決策的核心在于根據(jù)樣本信息，在__________之間做出選擇。三、判斷題（每小題2分，共10分。請將“正確”或“錯誤”填在題后的括號內(nèi)。）1.假設(shè)檢驗的結(jié)論是絕對正確的，不會犯任何錯誤。（）2.對于同一個樣本數(shù)據(jù)和同一個原假設(shè)，減小顯著性水平α，會同時減小第一類錯誤和第二類錯誤的概率。（）3.單樣本t檢驗和雙樣本t檢驗都可以用來檢驗總體均值，但它們的應(yīng)用場景和計算方法不同。（）4.如果一個檢驗的P值小于顯著性水平α，我們就應(yīng)該拒絕原假設(shè)。（）5.方差分析（ANOVA）本質(zhì)上是對多個總體的均值進行多次t檢驗的組合。（）四、計算題（共4小題，共50分。請寫出詳細(xì)的計算步驟和結(jié)論。）1.（12分）某公司聲稱其生產(chǎn)的燈泡平均壽命為1500小時，標(biāo)準(zhǔn)差為200小時。為了驗證這一claim，隨機抽取了25個燈泡進行測試，得到樣本平均壽命為1450小時。假設(shè)燈泡壽命服從正態(tài)分布。請以α=0.05的顯著性水平，檢驗該公司關(guān)于燈泡平均壽命的聲明是否成立。請寫出假設(shè)檢驗的完整步驟。2.（14分）某醫(yī)生想知道一種新的降血壓藥物是否比傳統(tǒng)藥物更有效。他隨機選取了20名高血壓患者，讓他們服用該藥物一個月，記錄下他們的血壓變化（收縮壓下降值）。假設(shè)血壓變化數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布。樣本數(shù)據(jù)如下（單位：mmHg）：-10,-8,-12,-15,-6,-9,-11,-14,-5,-7,-10,-13,-16,-4,-8,-12,-15,-6,-9,-11。傳統(tǒng)藥物的平均降壓效果已知為8mmHg。請以α=0.05的顯著性水平，檢驗新藥物的平均降壓效果是否顯著優(yōu)于傳統(tǒng)藥物。請寫出假設(shè)檢驗的完整步驟。3.（12分）為了檢驗不同廣告方式對產(chǎn)品銷售量的影響，一家公司隨機選擇了四個區(qū)域，每個區(qū)域采用一種不同的廣告方式推廣同一種產(chǎn)品。一個月后，記錄了各區(qū)域的銷售量（單位：件）：A方式：120,132,128,125；B方式：115,118,122,117；C方式：130,135,128,132；D方式：125,119,122,128。假設(shè)各區(qū)域的銷售量服從正態(tài)分布且方差相等。請以α=0.05的顯著性水平，檢驗四種廣告方式下產(chǎn)品的平均銷售量是否存在顯著差異。請寫出假設(shè)檢驗的完整步驟。4.（12分）一個包含100個觀測值的樣本，用于檢驗?zāi)硞€分類變量的分布是否符合某個理論比例：類別A占30%，類別B占50%，類別C占20%。樣本觀測頻數(shù)分別為：類別A有35個，類別B有55個，類別C有10個。請以α=0.01的顯著性水平，檢驗樣本的觀測頻數(shù)是否符合理論比例。請寫出假設(shè)檢驗的完整步驟。試卷答案一、選擇題1.B2.A3.C4.C5.C6.A7.C8.A9.A10.C二、填空題1.顯著性水平（或α）2.t3.第二類4.參數(shù)估計5.sp2√(1/n?+1/n?)/√(n?+n?-2)（假設(shè)已合并方差，n?和n?分別為兩組樣本量）6.相關(guān)性（或獨立性）7.原假設(shè)為真8.總體參數(shù)（或假設(shè)的參數(shù)值）9.備擇假設(shè)（或H?）10.原假設(shè)與備擇假設(shè)三、判斷題1.錯誤2.錯誤3.正確4.正確5.錯誤四、計算題1.解：a.提出假設(shè)：H?:μ=1500H?:μ≠1500b.選擇檢驗方法：總體方差未知，小樣本（n=25），選擇單樣本t檢驗。c.確定顯著性水平：α=0.05，雙側(cè)檢驗。d.計算檢驗統(tǒng)計量：t=(x?-μ?)/(s/√n)=(1450-1500)/(200/√25)=-50/40=-1.25e.確定拒絕域：查找t分布表，df=n-1=24，α/2=0.025，雙側(cè)。臨界值約為±2.064。拒絕域為t<-2.064或t>2.064。f.做出決策：計算得到的t=-1.25不在拒絕域內(nèi)。g.結(jié)論：在α=0.05的顯著性水平下，沒有足夠證據(jù)拒絕原假設(shè)，不能認(rèn)為該公司燈泡的平均壽命與聲稱的1500小時有顯著差異。2.解：a.提出假設(shè)：H?:μ_new≤μ_traditional(即新藥效果不優(yōu)于傳統(tǒng)藥)H?:μ_new>μ_traditional(即新藥效果優(yōu)于傳統(tǒng)藥)b.選擇檢驗方法：總體方差未知，獨立樣本，小樣本（n?=n?=20），假設(shè)方差相等，選擇兩獨立樣本均值差異（相等方差）t檢驗。c.確定顯著性水平：α=0.05，單側(cè)檢驗。d.計算檢驗統(tǒng)計量：已知傳統(tǒng)藥均值μ?=8,樣本均值為x??=-9,x??=8,n?=n?=20。合并方差估計s_p2=[(19*(s?)2+19*(s?)2)/(20+20-2)]（此處未給方差，假設(shè)計算時可用樣本方差代替或題目數(shù)據(jù)需補充）假設(shè)計算得s_p≈4.36,s_p√(1/n?+1/n?)/√(n?+n?-2)≈4.36*√(1/20+1/20)/√38≈0.948t=(x??-x??)/[s_p√(1/n?+1/n?)/√(n?+n?-2)]=(-9-8)/0.948=-17/0.948=-17.85（注：此處計算基于假設(shè)的方差估計，實際題目數(shù)據(jù)需帶入）*修正思路：應(yīng)為檢驗新藥均值是否顯著高于傳統(tǒng)藥均值（μ?>μ?）。樣本數(shù)據(jù)是降壓值，所以新藥組均值應(yīng)大于傳統(tǒng)藥均值（即應(yīng)檢驗μ?>8）。原題干描述可能意圖是檢驗新藥是否比傳統(tǒng)藥差（μ?<8），則H?:μ?≥8,H?:μ?<8，單側(cè)。計算t=(x??-x??)/...。假設(shè)是檢驗新藥優(yōu)于傳統(tǒng)藥，則計算t=(x??-x??)/...=(-9-8)/...=-17/...。但結(jié)果t為負(fù)，與原假設(shè)方向相反。如果原假設(shè)是μ?≥8，t為負(fù)，應(yīng)接受H?。如果原假設(shè)是μ?>8，t為負(fù)，則落在接受域，接受H?。根據(jù)計算，接受H?，即新藥效果不顯著優(yōu)于傳統(tǒng)藥。*e.確定拒絕域：查找t分布表，df=n?+n?-2=38,α=0.05，單側(cè)。臨界值約為1.686。拒絕域為t>1.686。f.做出決策：計算得到的t≈-17.85遠小于臨界值1.686。g.結(jié)論：在α=0.05的顯著性水平下，有足夠證據(jù)拒絕原假設(shè)，認(rèn)為新藥物的平均降壓效果顯著優(yōu)于傳統(tǒng)藥物。（根據(jù)計算結(jié)果修正為：沒有足夠證據(jù)支持新藥優(yōu)于傳統(tǒng)藥，接受H?）3.解：a.提出假設(shè)：H?:μ_A=μ_B=μ_C=μ_D（四種方式的平均銷售量相等）H?:至少有兩種方式的平均銷售量不等b.選擇檢驗方法：多個總體均值比較，使用單因素方差分析（ANOVA）。c.確定顯著性水平：α=0.05。d.計算各組的樣本均值和總均值：A:x??=(120+132+128+125)/4=125B:x??=(115+118+122+117)/4=118.75C:x??=(130+135+128+132)/4=130.5D:x??=(125+119+122+128)/4=121.5總均值x?=(120+...+128+125+119+...+128)/16=124.25e.計算組間平方和（SSBetween）、組內(nèi)平方和（SSWithin）及總平方和（SST）：SST=Σ(xi-x?)2=(120-124.25)2+...+(128-124.25)2=795.25SSB=Σn?(x??-x?)2=4[(125-124.25)2+(118.75-124.25)2+(130.5-124.25)2+(121.5-124.25)2]=4[0.5625+30.25+40.0625+7.5625]=4*78.4375=313.75SSW=SST-SSB=795.25-313.75=481.5f.計算自由度：df_B=k-1=4-1=3,df_W=N-k=16-4=12g.計算均方：MSB=SSB/df_B=313.75/3≈104.58,MSW=SSW/df_W=481.5/12≈40.125h.計算檢驗統(tǒng)計量F：F=MSB/MSW=104.58/40.125≈2.604i.確定拒絕域：查找F分布表，df?=3,df?=12,α=0.05。臨界值約為3.490。拒絕域為F>3.490。j.做出決策：計算得到的F≈2.604小于臨界值3.490。k.結(jié)論：在α=0.05的顯著性水平下，沒有足夠證據(jù)拒絕原假設(shè)，不能認(rèn)為四種廣告方式下產(chǎn)品的平均銷售量存在顯著差異。4.解：a.提